重庆市永川中学2023-2024学年高一上学期期末复习数学试题（二）（Word版附解析）

这是一份重庆市永川中学2023-2024学年高一上学期期末复习数学试题（二）（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据绝对值的几何意义求出集合，再进行补集运算即可求解.
【详解】或或，
因为，所以，
所以，
故选：C.
2. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据幂函数、指数函数和对数函数的单调性可得三者的大小关系.
【详解】因为在上为增函数，故即，
而在上为减函数，故，故，
因为在上为减函数，故，故，
故
故选：A.
3. 将函数的图象沿轴向右平移一个单位后，所得图象对应的解析式为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出的解析式，再解方程后可求的值.
【详解】由题设可得，令，故，
故选：B.
4. 已知，点是角终边上一点，则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义求出，从而可得.
【详解】因为，故，
因为是角终边上一点，故，
故，而，
故与的终边相同，而，故.
故选：B.
5. 某药厂为提高医药水平，计划逐年增加研发资金投入，若该公司年全年投入研发资金万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金超过万元的第一年是（ ）(参考数据：，)
A. 年B. 年C. 年D. 年
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题设条件得到从而2020年起第年投入的研发资金的表达式，再根据参考数据可得正确的选项.
【详解】设2020年起第年投入的研发资金为（2020年为第一年），则，
即，
令，故，故.
故2030年第一次研发资金超过.
故选：D.
6. 函数(其中为实数)的图象不可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
取可判断排除D，再根据图象的对称性可求的值，讨论相应的函数性质后可得正确的选项.
【详解】若，则，故D中图象符合，排除D.
AC中对应的函数的定义域为，故，故，
此时，而，故为奇函数，
且当时，为增函数，故在上为减函数，故A中图象符合，排除A，C中图象不符合.
B中对应的函数的定义域为，且为偶函数，故，
因为，故，故，
此时，
当时，，故为上的增函数，
所以为上的减函数，B中图象符合，排除B.
故选：C.
【点睛】方法点睛：函数图象的识别，一般从函数的定义域，奇偶性、单调性和特殊点处的函数的正负去讨论.
7. （ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角恒等变换对应的公式，将原式逐步化简整理，即可得出结果.
【详解】
.
故选：A
8. 已知定义在上的函数满足：当时，，且对任意的，，均有.若，则的取值范围是（e是自然对数的底数）（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抽象函数的性质先判断函数为奇函数，再由单调性定义证明函数单调性，即可求解不等式.
【详解】对任意的，，都有，
令，则，，
即，由，可得，
令，则，
∴，∴是奇函数.
设，，且，则，令，
则，
由是奇函数，可得，
∵当时，，且，，∴，
由函数是奇函数，可得当时，，
∴，即，即，
∴函数在上是增函数，∴函数在上是增函数，
则不等式等价于，解得，
即不等式的取值范围是.
故选：B
二、多项选择题
9. 已知、均为实数，则“”成立的必要条件可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据必要条件的定义逐项判断可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，由绝对值的性质可知，若，则，A选项合乎要求；
对于B选项，若，则，B选项合乎要求；
对于C选项，若，则、不同时为零，
可得，则，C选项合乎要求；
对于D选项，若，取，则，D选项不合乎要求.
故选：ABC.
10. 已知函数为偶函数，点、是图象上的两点，若的最小值为，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D. 在区间上单调递增
【答案】AC
【解析】
【分析】
求出函数的最小正周期，可求出的值，可判断A选项的正误；根据函数为偶函数可求出的值，可判断B选项的正误；求出的值，可判断C选项的正误；利用余弦型函数的单调性可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，点、是图象上两点，
可得，
若的最小值为，则函数的最小正周期为，，A选项正确；
对于B选项，，
由于该函数为偶函数，则，可得，
，，B选项错误；
对于C选项，若，则，则；
若，则，则.C选项正确；
对于D选项，取，则，
取，则，当时，，
此时，函数在区间上单调递减，D选项错误.
故选：AC.
【点睛】结论点睛：函数的性质：
（1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数；
（2）周期性：存在周期性，其最小正周期为；
（3）单调性：根据和的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间；
（2）对称性：对称中心：利用的对称中心为求解，令，求得；
对称轴：利用的对称轴为求解，令得其对称轴．
11. 关于函数，下列说法正确的有（ ）
A. 函数是周期为的周期函数
B.
C. 不等式的解集是
D. 若存在实数满足，则的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据函数解析式的形式分段讨论后可得正确的选项.
【详解】因为当时，，
故，，
故不是周期为的周期函数，故A错误，且B正确.
等价于或（无解），
解得，故C正确.
的图象如图所示：
在上，的图象的对称轴为，
因为且，故且，
又，故，故，所以，
由双勾函数的性质可得，故，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】思路点睛：分段函数的处理方法有两种：（1）分段处理，因为在不同的范围上有不同的解析式，故可考虑在不同范围上对应的方程、不等式等；（2）数形结合，即画出分段的函数的图像，从而考虑与分段函数相关的范围问题、方程的解等问题.
12. 已知奇函数的定义域为，且满足：对任意的，都有.设，且当时，的值域为，则下列说法正确的有（ ）
A. 的图象关于直线轴对称
B. 在内至少有个零点
C. 的图象关于点中心对称
D. 在上的值域为
【答案】ACD
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性，对称性，周期性判断各选项对错.
【详解】由为奇函数，，
且，
故函数关于直线对称，且周期，
故函数关于直线对称，且关于点中心对称，故A、C选项正确；
即，故在内至少有个零点，B选项错误；
又，故函数为奇函数，
当时，的值域为，
所以当时，的值域为，
当时，，的值域为，
当时，，的值域为，
综上当时，的值域为，D选项正确；
故选：ACD
【点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．
三、填空题
13. 已知幂函数的图象过点，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】由幂函数所过的点求解析式，再代入自变量求函数值即可.
【详解】由题设，令，且，则，
所以，故.
故答案为：
14. 已知，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出，再利用两角差的余弦可求.
【详解】因为，故，
若，则，而，
故不成立，而，故，
所以，
所以
.
故答案为：.
15. 已知，且，则的最小值是______.
【答案】2
【解析】
【分析】将条件等式因式分解可得，然后将待求式子通分并结合基本不等式可求解出最小值.
【详解】因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以最小值为，
故答案为：.
16. 对于实数，若两函数，满足：①，或；②，，则称函数和互为“相异”函数.若和互为“相异”函数，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据两个函数互为“相异”函数可得，有恒成立，且在上有解，利用参变分离先讨论前者，再结合二次函数的图象和性质可得所求的取值范围.
【详解】因为当时，，当时，，当时，，
结合互为“相异”函数，
故，有恒成立，且在上有解.
先考虑，有恒成立，则在上恒成立，
故在上恒成立，
因为，故，故.
再考虑在上有解，
若，则，故在上无解，
若，的对称轴为，且开口向下，
由在上有解可得，
故或（舍）.
故实数的取值范围是，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：对于新定义背景下的函数性质的讨论，一般是先根据定义得到含参数的函数的性质，对于不等式的恒成立或有解问题，可优先考虑参变分离的方法，也可以结合函数图象的性质处理.
四、解答题
17. 已知是第四象限角．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先由余弦值求出正切值，再结合诱导公式，化弦为切，代入求值即可；
（2）变形得到，求出的值.
【小问1详解】
∵是第四象限角，，所以，
∴，
∴．
小问2详解】
∵，
∴，
∴或．
18. 已知函数，.
（1）求的单调递增区间和最值；
（2）若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）的单调递增区间是 ，；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用两角差的余弦公式，二倍角公式和辅助角法，将函数转化为，再利用正弦函数的性质求解.
（2）将函数有且仅有一个零点，转化为函数 与有且仅有一个交点，利用数形结合法求解.
【详解】（1）函数，
，
，
，
，
令，
解得 ，
因为，
所以函数的单调递增区间是 .
因为，则，
所以，
所以.
（2）因为有且仅有一个零点，
所以有且仅有一个零点，
即函数 与有且仅有一个交点，
如图所示：
由图象知：或 ，
所以实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acs(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．
19. 某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数p不小于81时听课效果最佳.
（1）试求的函数关系式；
（2）一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由.
【答案】（1）；
（2）能，详见解析.
【解析】
【分析】（1）由，解得时的函数值，将点的坐标代入 求解；
（2）分，，由求解.
【小问1详解】
解：因为，
所以当时，，
又因为点在，
所以，
即，即，
解得，
所以，
所以；
【小问2详解】
当时，，
解得，此时；
当时，，
解得，此时，
综上：时学生听课效果最佳，
此时，
所以老师能经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完.
20. 已知函数的图象的一部分如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数，的最大值为3，求实数的值.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）利用函数的最大值求出,利用函数的周期求出，再根据函数的最大值点求出的值即得解；
（2）求出，设，，，再分类讨论求解即得解.
【小问1详解】
解：由题得. 所以.
因为函数的图象过点所以，
因为，所以. 所以函数的解析式为.
【小问2详解】
解：因为，
所以.
设，所以，，
函数的对称轴为.
当即，，舍去；
当即，；
当即，；
当即，，舍去.
综合得或.
21. 已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并证明；
（2）设函数，若对任意的，总存在使得成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）偶函数，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）为偶函数，利用偶函数定义证明即可；
（2）转化为，利用均值不等式可求解的最大值，利用一次函数性质求解的最大值，分析即得解.
【小问1详解】
为偶函数
证明：，
故，解得
的定义域为，关于原点对称
，
为偶函数
【小问2详解】
若对任意的，总存在，使得成立
则
又，当且仅当，即取等号
所以
所求实数m的取值范围为
22. 已知.
（1）求函数的表达式；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）若对恒成立，求的取值范围.
【答案】22.
23. 单调递增，证明见解析
24.
【解析】
【分析】（1）换元法求出函数表达式；
（2）定义法证明出函数单调性；
（3）换元后转化为在上恒成立，由，得到不等式，求出的取值范围.
【小问1详解】
令，则，故，所以；
【小问2详解】
单调递增，理由如下：
任取且，
故，
因为，在R上单调递增，所以，
又，故，，
单调递增；
【小问3详解】
变形为
，
即，，
令，显然在上单调递增，
故，
原不等式为，，
故在上恒成立，
其中，当时等号成立，
故，解得，
所以的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题第三问解题关键是将所给不等式变形为，采用换元法转化为在上恒成立.