2023-2024学年辽宁省阜新市细河区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省阜新市细河区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.某商场的休息椅如图所示，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
2.已知关于x的一元二次方程x2−2x−a=0有两个不相等的实数根，则( )
A. a−1D. a≥−1
3.在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入3个黑球(每个球除颜色外其余都与红球相同)，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，则袋中红球的个数约为( )
A. 8B. 14C. 17D. 20
4.如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其一天中发生的先后顺序排列，正确的是( )
A. ①②③④B. ④①③②C. ④②③①D. ④③②①
5.已知△ABC的三边长分别为1， 2， 5，△DEF的三边长分别 3， 6， 15，则△ABC与△DEF( )
A. 一定相似B. 一定不相似C. 不一定相似D. 无法判定是否相似
6.用配方法解方程x2−2x−5=0时，原方程变形为( )
A. (x+1)2=6B. (x−1)2=6C. (x+2)2=9D. (x−1)2=9
7.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E点，csA=35，则tan∠DBE等于( )
A. 12
B. 2
C. 52
D. 55
8.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为x，则方程为( )
A. x2+(x−4)2=10(x−4)+x−4B. x2+(x+4)2=10x+x−4−4
C. x2+(x+4)2=10(x+4)+x−4D. x2+(x+4)2=10x+(x−4)−4
9.如图，四边形ABCD是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF.若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD=1，则CD的长为( )
A. 2−1B. 5−1C. 2+1D. 5+1
10.如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段(测速区间)上平均速度的方法.小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v(km/h)与行驶时间t(h)是反比例函数关系(如图②)，已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于60km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是( )
A. 0.1hB. 0.35hC. 0.45hD. 0.5h
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.在平面直角坐标系xOy中，若点A(2,y1)，B(5,y2)在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，则y1______y2(填“>”“=”或“0的解集是______ ．
14.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=2x的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y=kx的图象上，且OA⊥OB，tanA= 3，则k的值为______ ．
15.如图，四边形ABCD是正方形，点E在CB的延长线上，连接AE，AF⊥AE交CD于点F，连接EF，点H是EF的中点，连接BH，则BHCF= ______ ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
画出如图所示组合体的三视图．
17.(本小题10分)
(1)解方程：x2−3x+1=0．
(2)计算： 2sin45°+2cs60°−3tan230°．
18.(本小题8分)
现有四张正面分别标有数−1，1，2，3的不透明卡片，它们除数外其余完全相同，将它们背面朝上洗匀，并随机抽取一张．
(1)抽到偶数的概率为______；
(2)若将卡片背面朝上洗匀，第一次抽取的卡片不放回，再随机抽取一张，前后两次抽取的数分别记为m，n请用列表或画树状图的方法求点Q(m,n)在第二象限的概率．
19.(本小题8分)
如图，已知点D在△ABC边BC上，点E在△ABC外，∠BAD=∠CAE=∠EDC．
(1)求证：△ABC∽△ADE；
(2)若AD=4，AB=6，BC=8，求DE的长．
20.(本小题8分)
如图，有长为34米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为22米)围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，园主在花圃的前端各设计了两个宽1米的小门，设花圃的宽AB为x米．
(1)若围成的花圃面积为96平方米，求此时的宽AB；
(2)能围成面积为120平方米的花圃吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
21.(本小题9分)
如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度航行，在A处测得岛C在东北方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛C周围25海里内有暗礁.(参考数据： 3≈1.732， 2≈1.414，sin75°≈0.966，cs75°≈0.259.)
(1)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．
(2)如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？说明理由．
22.(本小题12分)
定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点(坐标轴上的点除外)，过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．

【尝试初探】：
(1)点C(2,3) ______ “美好点”(填“是”或“不是”)；
【深入探究】：
(2)①若“美好点”E(m,6)(m>0)在双曲线y=kx(k≠0，且k为常数)上，则k= ______ ；
②在①的条件下，F(2,n)在双曲线y=kx上，求S△EOF的值；
【拓展延伸】：
(3)我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点P(x,y)是第一象限内的“美好点”．
①求y关于x的函数表达式；
②对于图象上任意一点(x,y)，代数式(2−x)⋅(y−2)是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．
23.(本小题12分)
问题情境：
如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′(点A的对应点为点C).延长AE交CE′于点F，连接DE．
猜想证明：
(1)试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由；
(2)如图2，若DA=DE，请猜想线段CF与E′F的数量关系并加以证明；(提示：作DH⊥AE于E)
(3)在解决(2)问时，我们是通过构造全等三角形解决了问题，请你类比以上解法，通过构造三角形相似，解决下面问题：
如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AD=6，CD=4，连接AC，BD，当tan∠CAB=12时，请直接写出BD的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：从上面看，是一个矩形，矩形的左侧有一条纵向的实线，右侧有一条纵向的虚线．
故选：A．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意得Δ=(−2)2−4×(−a)>0，
解得a>−1．
故选：C．
利用根的判别式的意义得到Δ=(−2)2−4×(−a)>0，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0，
∴GH= 2−1，
∴DC=2+x= 2+1，
故选：C．
设HG=x，根据矩形的性质可得∠A=∠ADH=90°，AD=BC=1，再根据折叠的性质可得：∠A=∠DHE=90°，AD=DH=1，BC=CG=1，从而可得四边形ADHE是正方形，然后利用正方形的性质可得AD=HE=1，最后利用相似多边形的性质，进行计算即可解答．
本题考查了相似多边形的性质，解一元二次方程−公式法，矩形的性质，翻折变换(折叠问题)，正方形的判定与性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：由题意可设v=kt，
将(0.3,80)代入得，k=0.3×80=24，
∴v=24t．
当v=120时，t=24120=0.2，
当v=60时，t=2460=0.4，
∴通过该限速区间AB段的时间不超过0.4h，不低于0.2h，综观各选项，只有B符合题意．
故选：B．
先利用待定系数法求出AB段的平均行驶速度v(km/h)与行驶时间t(h)的函数解析式，再将v=120，v=60分别代入求出对应的t值，进而求解即可．
本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
11.【答案】>
【解析】解：∵k>0，
∴反比例函数y=kx(k>0)的图象在一、三象限，
∵5>2>0，
∴点A(2,y1)，B(5,y2)在第一象限，y随x的增大而减小，
∴y1>y2，
故答案为：>．
先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，比较简单．
12.【答案】3 3
【解析】解：如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，BC=9m，
∴AB=BC⋅tan∠ACB=3 3m，
∴这棵小树的高度为3 3米，
故答案为：3 3．
大树本身和太阳光、地面构成一个直角三角形，且与地面的夹角为30°.由此可以根据正切函数求出这棵大树的高度．
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13.【答案】x>3或x0可化为(x−2)(x−3)>0，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①x−2>0x−3>0或②x−22)；
②“对于图象上任意一点(x,y)，代数式(2−x)⋅(y−2)为定值．”理由如下：
∵y=4x−2+2，
∴(2−x)(y−2)=(2−x)(4x−2+2−2)=−4，
∴对于图象上任意一点(x,y)，代数式(2−x)⋅(y−2)是为定值，定值为−4．
(1)验证矩形的周长与面积的数值是否相等，即验证横纵坐标的绝对值之和是否等于横纵坐标的绝对值的乘积；
(2)①根据E是“美好点”，求出m，再将点E代入双曲线方程就可求出k；
②根据“F(2,n)在双曲线y=kx上”求出n，再用待定系数法求出直线EF的方程，从而求出它与x轴的交点，最后利用S△EOF=S△FOG−S△EOG求S△EOF即可；
(3)①根据点P(x,y)是第一象限内的“美好点”，利用“美好点”的定义即可求出y关于x的函数表达式；
②将①中的关系式代入(2−x)⋅(y−2)得出定值，从而得解．
本题考查反比例函数与几何综合，三角形的面积公式，待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，审清题意并理解“美好点”的含义是解题的关键．
23.【答案】解：(1)四边形BE′FE是正方形．理由如下：
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴∠AEB=∠CE′B=90°，BE=BE′，∠EBE′=90°，
∵∠BEF=90°，
∴四边形BE′FE是矩形，
∵BE=BE′，
∴四边形BE′FE是正方形；
(2)CF=E′F；理由如下：
如图2，过点D作DH⊥AE于点H，

∵DA=DE，DH⊥AE，
∴AH=12AH，∠ADH+∠DAH=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∴∠DAH+∠EAB=90°，
∴∠ADH=∠EAB，
∵AD=AB，∠AHD=∠AEB=90°，
∴△ADH≌△BAE(AAS)，
∴AH=BE=12AE．
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴AE=CE′．
∵四边形BE′FE是正方形，
∴BE=E′F，
∴E′F=CE′，
∴CF=FE′；
(3)如图3，过点D作DN⊥AD，使DN=12AD，连接AN，CN，

∴∠ADN=∠ABC=90°，DN=3，
∴AN=3 5，
∵tan∠CAB=CBAB=12=DNAD，
∴△ADN∽△ABC，
∴BDCN=ADAN=63 5，
∴BD=2 55CN，
∵CN≤CD+DN=7，
∴CN的最小值为7，
∴BD的最小值为14 55．
【解析】(1)根据旋转性质得到∠E′=∠AEB=90°，∠EBE′=90°，再由题意可得∠FEB=90°，BE′=BE，即可得四边形BE′FE是正方形；
(2)过点D作DH⊥AE于点H，可证明△AEB≌△DHA，则有AH=BE，根据正方形的性质即可解决；
(3)过点D作DN⊥AD，使DN=12AD，连接AN，CN，可得△ADN∽△ABC，进而可得ADAN=ABAC=BDCN，则BD=2 55CN，求出CN的最小值即可得出结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，证明△AEB≌△DHA是关键．