2023-2024学年内蒙古包头市九原区九年级（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年内蒙古包头市九原区九年级（上）期末数学试卷(含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.tan30°的值为( )
A. 12B. 22C. 32D. 33
2.一元二次方程2x2−5x+6=0的根的情况为( )
A. 无实数根B. 有两个不等的实数根
C. 有两个相等的实数根D. 不能判定
3.抛物线y=−2(x−2)2−5的顶点坐标是( )
A. (−2,5)B. (2,5)C. (−2,−5)D. (2,−5)
4.如图是一个由5个相同的正方体组成的几何体，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
5.用图中两个可自由转动的转盘作“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是( )
A. 14B. 13C. 12D. 34
6.已知关于x的一元二次方程x2−3x−4=0的两实数根分别为x1，x2，则x1x2−x1−x2的值为( )
A. −1B. 1C. 7D. −7
7.关于反比例函数y=6x，下列说法不正确的是( )
A. 函数图象分别位于第一、三象限
B. 图象与函数y=x−1的图象交点为(3,2)或(−2,−3)
C. 当x>−2时，y<−3
D. 函数图象关于原点成中心对称
8.如图，将一副三角板按如图方式放置，其中∠ABC=∠DCB=90°，∠A=45°，∠D=30°，两条斜边相交于点O，则△AOB与△COD的面积之比为( )
A. 13
B. 12
C. 33
D. 14
9.在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y(单位：米)与飞行的水平距离x(单位：米)之间具有函数关系y=−116x2+58x+32，则小康这次实心球训练的成绩为( )
A. 14米B. 12米C. 11米D. 10米
10.如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，点E在BC边上，且CE=2，AE与BD交于点F，连接CF，则下列结论不正确的是( )
A. △ABF≌△CBF
B. △ADF∽△EBF
C. FE=3 195
D. S△ABF：S△CEF=3：1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.二次函数y=3x2−4x+5的图象与y轴的交点坐标为______ ．
12.如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB/​/CD，AB=2m，CD=6m，点P到CD的距离为9m，则AB与CD间的距离是______m.
13.张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是______ ．
14.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如上表，则该函数的图象开口向______ ．
15.如图，在矩形ABCD中，AB=3，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，若cs∠BAF=35，那么EA= ______ ．
16.如图，反比例函数y=kx的图象与△ABC的两边AB、BC分别交于点E(3,m)、F(n,2)，已知AB/​/x轴，点A在y轴上，点C在x轴上，F为BC的中点，连接OE，OF，EF，若OCAB=23，则OE⋅BC= ______ ．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解下列方程：
(1)3x2+6x−4=0；
(2)3x(2x+1)=4x+2．
18.(本小题8分)
为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动.活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会.抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖.同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球(它们的大小质地与袋中的4个球完全相同)，然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份.现已知某顾客获得抽奖机会．
(1)求该顾客首次摸球中奖的概率；
(2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由．
19.(本小题8分)
如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上.为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．
(1)求∠C的度数；
(2)求货轮从A到B航行的距离(结果精确到0.1海里.参考数据：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192)．
20.(本小题8分)
一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x(分钟)的变化规律如图所示(其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分)．
(1)分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式；
(2)若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟？
21.(本小题8分)
已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，点E在线段BD上，且BE=ED，过点B作BF/​/AC，交线段AE的延长线于点F．
(1)求证：AC=3BF；
(2)若BE=1，AE= 3，求证：∠FBE=∠EAD．
22.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，AD=5，CD=4，点E是BC边上的点，BE=3，连接AE，DF⊥AE交于点F．
(1)求证：△ABE≌△DFA；
(2)连接CF，求sin∠DCF的值；
(3)连接AC交DF于点G，求AGGC的值．
23.(本小题8分)
如图，抛物线与x轴相交于原点和点A(4,0)，在第一象限内与直线y=x交于点B(5,5)，抛物线的顶点为C点．
(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
(2)点M(3,m)在抛物线上，连接MO，MB，求△MOB的面积；
(3)抛物线上是否存在点D，使得∠DOB=∠OBC？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：tan30°= 33，
故选：D．
根据特殊角三角函数值，可得答案．
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵Δ=(−5)2−4×2×6=25−48=−23<0，
∴2x2−5x+6=0无实数根，
故选：A．
求出判别式Δ=b2−4ac，判断其的符号就可得出结论．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式Δ<0时，方程无实数根是解决问题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：因为抛物线y=−2(x−2)2−5，
所以抛物线y=−2(x−2)2−5的顶点坐标是(2,−5)．
故选：D．
根据二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标即可．
本题考查了二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：A．
由题意根据从左边看得到的图形是左视图，进行观察判断可得答案．
本题考查简单几何体的三视图，注意掌握从左边看得到的图形是左视图．
5.【答案】C
【解析】解：由题意可得，
可配成紫色的概率是：12×360°−120°360∘+12×120°360∘=12，
故选：C．
根据题意可知第一个圆中抽到红，则第二个一定是蓝，若第一个圆中抽到蓝，则第二个中一定是红，然后求出这两种可能性的概率之和，即可解答本题．
本题考查列表法和树状图法，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
6.【答案】D
【解析】解：根据根与系数的关系得x1+x2=3，x1x2=−4，
所以x1x2−x1−x2=x1x2−(x1+x2)=−4−3=−7．
故选：D．
由根与系数的关系，得到x1+x2=3，x1x2=−4，即可得到答案．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=ba，x1x2=ca．
7.【答案】C
【解析】解：A.k=6>0，则图象位于第一、三象限，正确，不符合题意；
B.由y=6xy=x−1解得x=3y=2或x=−2y=−3，故图象与函数y=x−1的图象交点为(3,2)或(−2,−3)，故正确，不符合题意；
C.x=−2时，y=−3，而在每个象限内y随x的增大而减小，故当−2D.函数图象关于原点成中心对称，故正确，不符合题意；
故选：C．
根据反比例函数的性质即可逐一分析找出正确选项．
本题考查反比例函数的性质，准确理解反比例函数的性质是解题关键，可结合图象更易于分析．
8.【答案】A
【解析】解：设BC=x，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=45°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴AB=BC=x，
在Rt△BCD中，∠D=30°，
∴tanD=BCBD= 33，
∴DC= 3x，
又∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴AB/​/CD，
∴△AOB∽△COD，
∴S△AOBS△COD=(ABCD)2=(x 3x)2=1：3，
故选：A．
设BC=x，则AB=x，在Rt△BCD中由三角形函数求得DC= 3x，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的应用．根据实心球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．
【解答】
解：当y=0时，则−116x2+58x+32=0，
解得x=−2(舍去)或x=12，
则小康这次实心球训练的成绩为12米．
10.【答案】C
【解析】解：A、∵四边形BACD是菱形，
∴∠ABF=∠CBF，AB=BC，
在△ABF和△CBF中，
AB=CB∠ABF=∠CBFBF=BF，
∴△ABF≌△CBF(SAS)，
故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，
∴△ADF∽△EBF，
故本选项不符合题意；
C、过E作EM⊥AB，交AB的延长线于点M，
∵四边形ABCD是菱形，AB=6，∠DAB=60°，
∴AB=BC=6，AD//BC，
∴∠EBM=∠DAB=60°，
∵CE=2，
∴BE=4，
∴EM=BE×sin60°=2 3，BM=12BE=2，
∴AM=6+2=8，
∴AE= AM2+EM2=2 19，
∵△ADF∽△EBF，
∴AFFE=ADBE=64=32，
∴2 19−FEFE=32，
∴FE=4 195，
故本选项符合题意；
D、∵△ABF≌△CBF，
∴S△ABF=S△CBF，
∵AB=BC=6，CE=2，
∴S△CEF=26S△CBF=13S△CBF，
∴S△CEF=13S△ABF，
∴S△ABF：S△CEF=3：1，
故本选项不符合题意；
故选：C．
结合菱形的性质利用SAS即可判断△ABF≌△CBF；根据相似三角形的判定定理即可判断△ADF∽△EBF；解直角三角形求出AE=2 19，根据相似三角形的性质求出FE=4 195；根据全等三角形的性质及三角形面积即可判断S△ABF：S△CEF=3：1．
本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，全等三角形的判定等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．
11.【答案】(0,5)
【解析】解：将x=0代入y=3x2−4x+5中，
得：y=5
故答案为：(0,5)．
求函数图象与y轴的交点坐标，令x=0即可求得．
本题考查了二次函数与坐标轴交点坐标的求法，理解与坐标轴交点坐标的特点是解题关键．
12.【答案】6
【解析】解：作PE⊥CD于E，交AB于F，如图，则PE=9，
∵AB/​/CD，
∴PF⊥CD，△PAB∽△PCD，
∴PFPE=ABCD，即PF9=26，
∴PF=3，
∴EF=PE−PF=9−3=6．
∴AB与CD间的距离是6m．
故答案为6．
作PE⊥CD于E，交AB于F，如图，则PE=9，利用AB/​/CD可判断△PAB∽△PCD，利用相似比计算出PF，然后计算出EF即可．
本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，利用三角形相似的性质求相应线段的长．
13.【答案】20%
【解析】解：设每月盈利的平均增长率是x，
根据题意得：5000(1+x)2=7200，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不符合题意，舍去)，
∴每月盈利的平均增长率是20%．
故答案为：20%．
设每月盈利的平均增长率是x，利用5月份盈利=3月份盈利×(1+每月盈利的平均增长率)2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14.【答案】上
【解析】解：由题知，
当x=1和x=3时，函数值y都等于2，
所以抛物线的对称轴为：直线x=1+32=2；
故抛物线顶点的横坐标为2，
结合表格中数据可知，顶点的坐标为(2,1)，
又因为1<2，
所以点(2,1)是函数图象上的最低点，
所以抛物线的开口向上．
故答案为：上．
根据表格中的数据可得出抛物线的对称轴，再结合抛物线的顶点坐标即可解决问题．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由表格中的数据得出抛物线的对称轴是解题的关键．
15.【答案】5 103
【解析】解：在Rt△ABF中，cs∠BAF=ABAF=35，
∵AB=3，
∴AF=5，
由勾股定理得：BF= AF2−AB2= 52−32=4，
由折叠的性质可知：BC=AD=AF=5，∠AFE=∠D=90°，DE=EF，
∴FC=5−4=1，
设EF=x，则DE=x，EC=3−x，
在Rt△EFC中，EF2=FC2+EC2，即x2=12+(3−x)2，
解得：x=53，即EF=53，
∴EA= AF2+EF2=5 103，
故答案为：5 103．
根据余弦的定义求出AF，根据勾股定理求出BF，根据折叠的性质得到BC=AD=AF=5，∠AFE=∠D=90°，DE=EF，根据勾股定理求出EF，再根据勾股定理求出EA．
本题考查的是翻转变换、勾股定理、锐角三角函数的定义，折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．
16.【答案】2 61
【解析】解：过点F作FG⊥x轴于G，过点B作BH⊥x轴于H，
∵点F的坐标为(n,2)，
∴FG=2，
∵FG⊥x轴，BH⊥x轴，
∴FG//BH，
又∵点F为BC的中点，
∴FG为△CBH的中位线，
∴BH=2FG=4，
∵AB/​/x轴，
∴点E的纵坐标为4，
即：点E的坐标为(3,4)，
∴m=4，
将点E(3,4)代入y=kx，得：k=12，
∴反比例函数的解析式为：y=12x，
将点F(n,2)代入y=12x，得：n=6，
∴F(6,2)，
∵OCAB=23，
设B(a,4)，则C(23a,0)，
∴CH=a−23a=13a，CG=6−23a，
∵CGCH=12，
∴6−23a13a=12，
解得a=365，
∴B(365,4)，C(245,0)，
∴BC= (365−245)2+(4−0)2=25 61，
∴OE= 32+42=5，
∴OE⋅BC=5×25 61=2 61．
故答案为：2 61．
过点F作FG⊥x轴于G，过点B作BH⊥x轴于H，先证FG为△CBH的中位线，则BH=4，从而得点E的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，然后利用反比例函数的解析式可求出点F的坐标，由OCAB=23，设B(a,4)，则C(23a,0)，利用CGCH=12，得到6−23a13a=12，解得a=365，求得B、C的坐标，利用勾股定理求得BC、OE，即可求得OE⋅BC的值．
此题主要考查了反比例函数的图象，三角形的中位线定理等，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求反比例函数的解析式，难点是依据点F是BC的中点构造三角形及三角形的中位线．
17.【答案】解：(1)a=3，b=6，c=−4，
△=b2−4ac=36−4×3×(−4)=84>0，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴x=−6± 846=−6±2 216，
∴x1=−3+ 213,x2=−3− 213．
(2)∵3x(2x+1)=2(2x+1)，
∴(2x+1)(3x−2)=0，
∴2x+1=0或3x−2=0，
∴x1=−12,x2=23．
【解析】(1)根据公式法即可求出答案．
(2)根据因式分解法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
18.【答案】解：(1)顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果，
记“首次摸得红球”为事件A，则事件A发生的结果只有1种，
∴P(A)=14，
∴顾客首次摸球中奖的概率为14；
(2)他应往袋中加入黄球；理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：

共有20种等可能结果，
(i)若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率P1=820=25；
(i)若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率P2=1220=35；
∵25<35，
∴P1∴他应往袋中加入黄球．
【解析】(1)用概率公式直接可得答案；
(2)记往袋中加入的球为“新”，列表求出所有等可能的情况，分别求出新球为红色，黄色时获得精美礼品的概率，比较概率大小即可得到答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：(1)如图，过点B作BD/​/AF，交AC于点D，
则∠ABD=∠FAB=30°，
∵∠FAC=60°，
∴∠BAC=60°−30°=30°，
∴∠C=180°−∠BAC−∠ABD−∠DAC=180°−30°−30°−70°=50°；
(2)如图，过点B作BE⊥AC于E，
在Rt△BEC中，BC=20海里，∠C=50°，
∵sinC=BEBC，
∴BE=BC⋅sinC≈20×0.766=15.32(海里)，
在Rt△ABE中，∠BAE=30°，
则AB=2BE=2×15.32≈30.6(海里)，
答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．
【解析】(1)过点B作BD/​/AF，交AC于点D，根据平行线的性质求出∠ABD，再根据三角形内角和定理求出∠AC；
(2)过点B作BE⊥AC于E，根据正弦的定义求出BE，进而求出AB．
本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+30，
把B(10,50)代入得，k1=2，
∴AB的解析式为：y1=2x+30(0≤x≤10)，
设C、D所在双曲线的解析式为y2=k2x，
把C(44,50)代入得，k2=2200，
∴双曲线CD的解析式为：y2=2200x(x≥44)；
(2)将y=40代入y1=2x+30得：2x+30=40，
解得：x=5，
将y=40代入y2=2200x得：x=55．
55−5=50．
所以完成一份数学家庭作业的高效时间是50分钟．
【解析】此题主要考查了一次函数和反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，再根据自变量的值求对应的函数值．
(1)利用待定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，进而得出答案；
(2)将y=40代入直线和反比例函数的解析式，从而可求得时间x的值，最后可得到完成一份数学家庭作业的高效时间．
21.【答案】证明：(1)∵BF//AC，
∴BF：AC=BE：EC，
又∵BD=CD，BE=DE，
∴CE=3BE，
∴AC=3BF；
(2)∵BE=ED，BE=1，AE= 3，
∴AE= 3ED，
∴AE2=3ED2，
又∵CE=3ED，
∴AE2=CE⋅ED，即AE：ED=CE：AE，
而∠AED=∠CEA，
∴△AED∽△CEA，
∴∠EAD=∠ACE，
又∵BF/​/AC，
∴∠ACE=∠FBE，
∴∠FBE=∠EAD．
【解析】(1)根据平行线分线段成比例定理由BF/​/AC得BF：AC=BE：EC，再利用BD=CD，BE=DE，得CE=3BE，于是即可得到结论；
(2)由AE= 3ED得AE2=3ED2，把CE=3ED代入得AE2=CE⋅ED，即AE：ED=CE：AE，根据相似三角形的判定易得△AED∽△CEA，则AD：AC=ED：AE，用EB代替ED即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质：如果两个三角形有两组对应边的比相等，并且这两组对应边所夹的角也相等，那么这两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了平行线分线段成比例定理．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD//BC，
∴AE= AB2+BE2=5，∠AEB=∠DAF，
在△ABE和△DFA中，
∠AEB=∠DAF∠B=∠AFDAE=AD,
∴△ABE≌△DFA；
(2)连接DE交CF于点H．
∵△ABE≌△DFA，
∴DF=AB=CD=4，AF=BE=3，
∴EF=CE=2．
∴DE⊥CF．
∴∠DCH+∠HDC=∠DEC+∠HDC=90°．
∴∠DCH=∠DEC．
在Rt△DCE中，CD=4，CE=2，
∴DE=2 5，
∴sin∠DCF=sin∠DEC=CDDE=2 55．
(3)过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K．
∴FG/​/CK，
∴AGGC=AFFK．
在Rt△CEK中，
EK=CE⋅cs∠CEK=CE⋅cs∠AEB=2×35=65．
∴FK=FE+EK=165．
∴AGGC=AFFK=1516．
【解析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例、锐角三角函数的定义以及解直角三角形，掌握矩形的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理、解直角三角形是解题的关键．
(1)根据勾股定理求出AE，利用全等三角形的判定定理证明即可；
(2)连接DE交CF于点H，根据全等三角形的性质得到DF=AB=CD=4，AF=BE=3，证明∠DCH=∠DEC，求出sin∠DEC，得到答案；
(3)过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K，根据平行线分线段成比例定理得到AGGC=AFFK，根据余弦的概念求出EK，计算即可．
23.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
把原点(0,0)，点A(4,0)，B(5,5)代入得：
c=016a+4b+c=025a+5b+c=5，
解得：a=1b=−4，
∴抛物线解析式为y=x2−4x，
∵y=x2−4x=(x−2)2−4，
∴抛物线的顶点为C(2,−4)；
(2)∵点M(3,m)在抛物线y=x2−4x上，
∴m=9−12=−3，
∴点M(3,−3)，
如图1，过点M作MN⊥x轴交直线y=x于N，

∵点M(3,−3)，
∴N(3,3)，
∴MN=6，
∴S△MOB=12MN⋅yB=12×6×5=15；
(3)存在点D，使得∠DOB=∠OBC．

如图2，当点D在直线OB的上方时，
∵∠DOB=∠OBC，
∴OD//BC，
设直线BC的解析式为y=kx+d，则5k+d=52k+d=−4，
解得：k=3 d=−10，
∴直线BC的解析式为y=3x−10，
∴直线OD的解析式为y=3x，
联立，得：x2−4x=3x，
解得：x1=0(舍去)，x2=7，
当x=7时，y=3×7=21，
∴D(7,21)；
当点D′在直线OB的下方时，如图3，过点B作BH⊥x轴于点H，过点H作HK⊥OB于点K，交BC于点Q，连接OM交抛物线于点D′，

则H(5,0)，BH=OH=5，
∴点K是OB的中点，即K(52,52)，
∴HK是线段OB的垂直平分线，
∴QB=QO，
∴∠D′OB=∠OBC，
设直线HK的解析式为y=k′x+b′，则52k′+b′=525k′+b′=0，
解得：k′=−1b′=5，
∴直线HK的解析式为y=−x+5，
联立，得y=−x+5y=3x−10，
解得：x=154y=54，
∴Q(154,54)，
设直线OQ的解析式为y=k″x，则154k″=54，
解得：k″=13，
∴直线OQ的解析式为y=13x，
与y=x2−4x联立，得x2−4x=13x，
解得：x1=0(舍去)，x2=133，
当x=133时，y=13×133=139，
∴D(139,139)；
综上所述，存在点D，使得∠DOB=∠OBC，点D的坐标为(7,21)或(139,139).
【解析】(1)运用待定系数法即可求出抛物线解析式，将抛物线化为顶点式，即可得顶点C的坐标；
(2)过点M作MN⊥x轴交直线y=x于N，求出点M(3,−3)，则N(3,3)，根据S△MOB=12MN⋅yB即可得出结论；
(3)分当点D在直线OB的上方和下方两种情况分别运用待定系数法求出直线OD的解析式，再联立方程组求解即可求出点D的坐标．
本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数图象上的坐标特征，三角形的面积和两直线平行或相交问题，解题的关键是注意分类思想的运用．x
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−1
0
1
2
3
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y
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10
5
2
1
2
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