浙江省宁波市奉化区2023-2024学年七年级上学期期末数学试卷+

这是一份浙江省宁波市奉化区2023-2024学年七年级上学期期末数学试卷+，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）如果把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（ ）
A．13＝3+10B．25＝9+16C．49＝18+31D．36＝15+21
2．（5分）若，则＝（ ）
A．0.101B．1.01C．101D．1010
3．（5分）已知，则abc＝（ ）
A．﹣1B．3C．﹣3D．1
4．（5分）若1+2+3+4+…+100＝a，则200+201+202+203+…+299用含a的代数式表示为（ ）
A．200aB．200+aC．19900+aD．20000+a
5．（5分）已知锐角α和钝角β，四位同学分别计算，得到的答案分别为22°，51.5°，68.5°，72°，其中只有一个答案是正确的，那么这个正确的答案是（ ）
A．22°B．51.5°C．68.5°D．72°
6．（5分）一列数b0，b1，b2，…，具有下面的规律，b2n+1＝bn，b2n+2＝bn+bn+1，若b0＝1，则b2015的值是（ ）
A．1B．6C．9D．19
7．（5分）历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）的形式来表示．例如：当x＝﹣1时，多项式f（x）＝x2+2x﹣3的值记为f（﹣1），则f（﹣1）＝（﹣1）2+2×（﹣1）﹣3＝1+（﹣2）﹣3＝﹣4．已知f（x）＝ax5+bx3+4x+c，若f（5）+f（﹣5）＝6，且f（2）＝8，则f（﹣2）的值是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣8D．8
二、填空题（每小题5分，共25分）
8．（5分）观察算式71＝7，72＝49，73＝343，74＝240l…，可以得出72023的末尾两位数字是 ．
9．（5分）已知a，b为常数，若关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则ab＝ ．
10．（5分）四个各不相等的整数a，b，c，d，它们的积a•b•c•d＝9，那么a+b+c+d的值是 ．
11．（5分）山脚下有一池塘，泉水以固定的流量（即单位时间里流入池中的水量相同）不停地向池塘内流淌．现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机抽水，则1小时正好能把池塘中的水抽完；若用两台A型抽水机抽水，则20分钟正好把池塘中的水抽完．问若用三台A型抽水机同时抽，则需要 分钟恰好把池塘中的水抽完．
12．（5分）有一条长度为a的线段，第1次操作将其三等分，并去掉中间的一段；第2次操作将余下的线段各三等分，并去掉所分线段中间的一段．此后每次操作都按这个规则进行（如图所示）．则第n次操作后，余下的所有线段的长度之和为 ．
三、解答题（第13题12分，第14题14分，第15题14分，共40分）
13．（12分）已知x＝2是关于x的方程ax+b＝c的解．
（1）求（2a+b﹣c﹣1）2023；
（2）求的值；
（3）解关于x的方程（2a+b）x＝c+4a+2b（c≠0）．
14．（14分）已知（2x﹣1）5＝ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，求下列各式的值：
（1）a+b+c+d+e+f；
（2）b+c+d+e；
（3）a+c+e．
15．（14分）如图，直线EF与MN相交于点O，∠MOE＝30°，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边OA与MN重合，OB在∠NOE内部．操作：将三角尺绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，直角边OB恰好平分∠NOE？此时OA是否平分∠MOE？请说明理由；
（2）若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒9°的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．
①当t为何值时，EF平分∠AOB？
②EF能否平分∠NOB？若能请直接写出t的值；若不能，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（5分）如果把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（ ）
A．13＝3+10B．25＝9+16C．49＝18+31D．36＝15+21
【分析】本题考查探究、归纳的数学思想方法．题中明确指出：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．由于“正方形数”为两个“三角形数”之和，正方形数可以用代数式表示为：（n+1）2，两个三角形数分别表示为 n（n+1）和 （n+1）（n+2），所以由正方形数可以推得n的值，然后求得三角形数的值
【解答】解：根据规律：正方形数可以用代数式表示为：（n+1）2，
两个三角形数分别表示为 n（n+1）和 （n+1）（n+2），
只有D、36＝15+21符合，
故选：D．
【点评】本题考查探究、归纳的数学思想方法．本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
2．（5分）若，则＝（ ）
A．0.101B．1.01C．101D．1010
【分析】将1.0201变形为102.01×的形式，再利用算术平方根的意义解答即可．
【解答】解：＝＝×＝1.01．
故选：B．
【点评】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．
3．（5分）已知，则abc＝（ ）
A．﹣1B．3C．﹣3D．1
【分析】利用因式分解的方法将各数变形后化简运算即可．
【解答】解：∵a＝﹣＝＝﹣1，
b＝﹣＝﹣＝﹣1，
c＝﹣＝﹣＝﹣1，
∴abc＝（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，利用因式分解的方法将各数变形后化简运算是解题的关键．
4．（5分）若1+2+3+4+…+100＝a，则200+201+202+203+…+299用含a的代数式表示为（ ）
A．200aB．200+aC．19900+aD．20000+a
【分析】将要表示的算式改写成含有1+2+3+…+100的形式即可解决问题．
【解答】解：由题知，
200+201+202+…+299
＝199+1+199+2+199+3+…+199+100
＝199×100+1+2+3+…+100
＝19900+1+2+3+…+100，
又因为1+2+3+…+100＝a，
所以原式＝19900+a．
故选：C．
【点评】本题考查数字变化的规律，能将要表示的代数式改写成含有1+2+3+…+100的形式是解题的关键．
5．（5分）已知锐角α和钝角β，四位同学分别计算，得到的答案分别为22°，51.5°，68.5°，72°，其中只有一个答案是正确的，那么这个正确的答案是（ ）
A．22°B．51.5°C．68.5°D．72°
【分析】根据锐角和钝角的概念进行解答，锐角是大于0°小于直角（90°）的角，大于直角（90°）小于平角（180°）的角叫做钝角，求出（α+β）的范围，然后作出正确判断．
【解答】解：∵锐角是大于0°小于90°的角，大于直角（90°）小于平角（180°）的角叫做钝角，
∴0＜α＜90°，90°＜β＜180°，
∴22.5°＜（α+β）＜67.5°，
∴满足题意的角只有51.5°，
故选：B．
【点评】此题主要考查了角的计算的知识点，理解锐角和钝角的概念，锐角是大于0°小于90°的角，大于直角（90°）小于平角（180°）的角叫做钝角，本题比较基础，需要牢固掌握．
6．（5分）一列数b0，b1，b2，…，具有下面的规律，b2n+1＝bn，b2n+2＝bn+bn+1，若b0＝1，则b2015的值是（ ）
A．1B．6C．9D．19
【分析】由题意可知：b2015＝b1007＝b503＝b251＝b125＝b62＝b30+b31＝b14+b15+b15＝b6+b7+2b7＝3b3+b2+b3＝4b3+b0+b1＝5b1+b0＝6b0＝6，由此得出答案即可．
【解答】解：∵b2n+1＝bn，b2n+2＝bn+bn+1，
∴b2015＝b1007＝b503＝b251＝b125＝b62＝b30+b31＝b14+b15+b15＝b6+b7+2b7＝3b3+b2+b3＝4b3+b0+b1＝5b1+b0＝6b0，
∵b0＝1，
∴b2015的值是6．
故选：B．
【点评】此题考查数字的变化规律，理解b2n+1＝bn，b2n+2＝bn+bn+1的变化规则，利用数字特点逐步缩小数字得出答案即可．
7．（5分）历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）的形式来表示．例如：当x＝﹣1时，多项式f（x）＝x2+2x﹣3的值记为f（﹣1），则f（﹣1）＝（﹣1）2+2×（﹣1）﹣3＝1+（﹣2）﹣3＝﹣4．已知f（x）＝ax5+bx3+4x+c，若f（5）+f（﹣5）＝6，且f（2）＝8，则f（﹣2）的值是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣8D．8
【分析】利用已知条件求得含有a，b，c的代数式的值后，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：∵f（x）＝ax5+bx3+4x+c，若f（5）+f（﹣5）＝6，
∴55a+53b+20+c﹣55a﹣53b﹣20+c＝6，
∴2c＝6，
∴c＝3．
∵f（2）＝8，
∴25a+23b+8+3＝8，
∴25a+23b＝﹣3．
∴f（﹣2）＝﹣25a﹣23b﹣8+3
＝﹣（25a+23b）﹣8+3
＝3﹣8+3
＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了求代数式的值，有理数的混合运算，利用已知条件求得含有a，b，c的代数式的值后，利用整体代入的方法解答是解题的关键．
二、填空题（每小题5分，共25分）
8．（5分）观察算式71＝7，72＝49，73＝343，74＝240l…，可以得出72023的末尾两位数字是 43 ．
【分析】由题意依次求出7的乘方对应的值，归纳出末两位数出现的规律，再确定72023的末两位数．
【解答】解：根据题意得，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，
77＝823543，78＝5764801，79＝40353607…，
发现：74k﹣2的末两位数字是49，74k﹣1的末两位数字是43，74k的末两位数字是01，
74k+1的末两位数字是49，（k＝1、2、3、4、…），
∵2023＝506×4﹣1，
∴72023的末两位数字为43，
故答案为：43．
【点评】本题考查了尾数特征，利用归纳推理，经过观察、分析、归纳发现规律：74k﹣2的末两位数字是49，74k﹣1的末两位数字是43，74k的末两位数字是01，74k+1的末两位数字是49，（k＝1、2、3、4、…）是解题关键．
9．（5分）已知a，b为常数，若关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则ab＝ ﹣26 ．
【分析】根据方程的解的定义，把x＝1代入方程，由k可以取得任意值可得到关于a和b式子，求得a和b的值，进而求得代数式的值．
【解答】解：把x＝1代入方程得＝2+，
化简，得（4+b）k＝13﹣2a，
由于k可以取任意值，则，
解得：，
则ab＝×（﹣4）＝﹣26．
故答案为：﹣26．
【点评】本题考查了方程的解的定义，以及方程无解的条件，正确得到a和b的值是关键．
10．（5分）四个各不相等的整数a，b，c，d，它们的积a•b•c•d＝9，那么a+b+c+d的值是 0 ．
【分析】由于abcd＝9，且a，b，c，d是整数，所以把9分解成四个不相等的整数的积，从而可确定a，b，c，d的值，进而求其和．
【解答】解：∵9＝1×（﹣1）×3×（﹣3），
∴a+b+c+d＝1+（﹣1）+3+（﹣3）＝0．
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了有理数的乘法及加法，此题关键在于把9分解成四个不相等的整数的积，确定出四个数．
11．（5分）山脚下有一池塘，泉水以固定的流量（即单位时间里流入池中的水量相同）不停地向池塘内流淌．现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机抽水，则1小时正好能把池塘中的水抽完；若用两台A型抽水机抽水，则20分钟正好把池塘中的水抽完．问若用三台A型抽水机同时抽，则需要 12 分钟恰好把池塘中的水抽完．
【分析】设池塘中的水有a，山泉每小时的流量是b，一台A型抽水机每小时抽水量是x．根据一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完，得x＝a+b；根据用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完，得×2x＝a+b，用x表示a和b，设若用三台A型抽水机同时抽，则需要t小时恰好把池塘中的水抽完，再进一步根据3tx＝a+bt求解即可．
【解答】解：设池塘中的水有a，山泉每小时的流量是b，一台A型抽水机每小时抽水量是x．
根据题意，得，
解得b＝x，a＝x．
设若用三台A型抽水机同时抽，则需要t小时恰好把池塘中的水抽完．
3tx＝a+bt，
t＝＝．
即t＝12分钟．
答：若用三台A型抽水机同时抽，则需要12分钟恰好把池塘中的水抽完．
故答案为：12．
【点评】此题考查了三元一次方程组的解法，解决此题的关键是能够设出辅助未知数，根据题目中的等量关系列方程组求解．
12．（5分）有一条长度为a的线段，第1次操作将其三等分，并去掉中间的一段；第2次操作将余下的线段各三等分，并去掉所分线段中间的一段．此后每次操作都按这个规则进行（如图所示）．则第n次操作后，余下的所有线段的长度之和为 （）na ．
【分析】易得第一次操作后余下的线段为（1﹣）a，进而得到每次操作后有几个（1﹣）的积，即可得到第n次操作时，余下的所有线段的长度之和．
【解答】解：第一次操作后余下的线段之和为（1﹣）a，
第二次操作后余下的线段之和为（1﹣）2a，
…，
第n次操作后余下的线段之和为（1﹣）na＝（）na，
故答案为：（）na．
【点评】本题主要考查了图形的变化规律；得到第n次操作后有n个 是解决本题的关键，难度适中．
三、解答题（第13题12分，第14题14分，第15题14分，共40分）
13．（12分）已知x＝2是关于x的方程ax+b＝c的解．
（1）求（2a+b﹣c﹣1）2023；
（2）求的值；
（3）解关于x的方程（2a+b）x＝c+4a+2b（c≠0）．
【分析】（1）根据方程的解的定义得出2a+b＝c，然后代入要求的式子中计算即可；
（2）把2a+b＝c代入要求的式子中求值即可；
（3）根据解一元一次方程的步骤求解即可．
【解答】解：∵x＝2 是关于x的方程ax+b＝c 的解，
∴2a+b＝c；
（1）（2a+b﹣c﹣1）2023
＝（c﹣c﹣1）2023
＝（﹣1）2023
＝﹣1；
（2）＝；
（3）解关于x的方程（2a+b）x＝c+4a+2b，
cx＝c+2（2a+b），
cx＝c+2c，
cx＝3c，
∵c≠0，
∴x＝3．
【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义，得出2a+b＝c是解题的关键．
14．（14分）已知（2x﹣1）5＝ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，求下列各式的值：
（1）a+b+c+d+e+f；
（2）b+c+d+e；
（3）a+c+e．
【分析】利用多项式的乘法法则，利用恒等式，系数相等求出a b c d e f 的值，再代入求出代数式的值．
【解答】解：（1）令x＝1，并代入原式可得：
a+b+c+d+e+f＝1；
（2）根据题意可知，（2x﹣1）5的展开式中x5的系数为：25＝32，
∴a＝32，
令x＝0，并代入原式可得：
f＝﹣1，
∴b+c+d+e＝1+1﹣32＝﹣30；
（3）令x＝﹣1，并代入原式可得：
﹣a+b﹣c+d﹣e+f＝﹣243，
根据（1）可知a+b+c+d+e+f＝1，
联立方程组可得：，
①﹣②得2a+2c+2e＝244，
∴a+c+e＝122．
【点评】考查了代数式求值，掌握代数式的计算方法是关键．
15．（14分）如图，直线EF与MN相交于点O，∠MOE＝30°，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边OA与MN重合，OB在∠NOE内部．操作：将三角尺绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，直角边OB恰好平分∠NOE？此时OA是否平分∠MOE？请说明理由；
（2）若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒9°的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．
①当t为何值时，EF平分∠AOB？
②EF能否平分∠NOB？若能请直接写出t的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据：角度＝速度×时间进行计算，由等量关系：直角边OB恰好平分∠NOE，列出方程求解即可．
（2）①由于OE的旋转速度快，需要考虑2种情形列方程解决．
②通过计算分析OE，OB的位置，需要考虑2种情形列方程解决．
【解答】解：（1）∵当直角边OB恰好平分∠NOE时，∠NOB＝∠NOE＝（180°﹣30°）＝75°，
∴90°﹣3°t＝75°，
解得：t＝5．
此时∠MOA＝3°×5＝15°＝∠MOE，
∴此时OA平分∠MOE．
（2）①OE平分∠AOB，
依题意有30°+9°t﹣3°t＝90°÷2，
解得t＝2.5；
OF平分∠AOB，
依题意有30°+9°t﹣3°t＝180°+90°÷2，
解得t＝32.5．
故当t为2.5s或32.5s时，EF平分∠AOB
②OB在MN上面，
依题意有180°﹣30°﹣9°t＝（90°﹣3°t）÷2，
解得t＝14；
OB在MN下面，
依题意有9t﹣（360°﹣30°）＝（3°t﹣90°）÷2，
解得t＝38．
故EF能平分∠NOB，t的值为14或38s．
【点评】本题目考查了角平分线的定义，旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键，还需要通过计算进行初步估计位置，掌握分类思想，注意不能漏解．