2023-2024学年上海市崇明区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）(含解析）

这是一份2023-2024学年上海市崇明区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）(含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，四象限内B. 第一，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 8B. 12C. x+y3D. xy3
2.若等式 a2=( a)2成立，则实数a的取值范围是( )
A. a>0B. a≥0C. a<0D. a≤0
3.下列关于x的方程中一定有实数解的是( )
A. x2−x+1=0B. x2−mx−1=0
C. 2x2−2x+1=0D. x2−x−m=0
4.已知函数y=kx中，y随x的增大而减小，那么反比例函数y=kx图象在( )
A. 第二、四象限内B. 第一、二象限内C. 第三、四象限内D. 第一、三象限内
5.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( )
A. 三条高的交点B. 三条角平分线的交点
C. 三条中线的交点D. 三条边的垂直平分线的交点
6.下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A. ∠A：∠B：∠C=1：1：2B. a：b：c=3：4：5
C. ∠A：∠B：∠C=3：4：5D. a：b：c=1：2： 3
二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。
7.计算： 12− 27=______．
8.2− 2的一个有理化因式是______ ．
9.方程x(2x−1)=2x−1的解为______．
10.在实数范围内分解因式x2+x−1= ______ ．
11.函数y= 2x+1的定义域是______．
12.已知点P(2,1)在正比例函数y=kx的图象上，则k=______．
13.某型号的手机经过连续两次降价，每部售价由原来的1152元降到了800元.设平均每次降价的百分率为x，列出关于x的方程______ ．
14.已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CH⊥AB，垂足为H，∠ACH=30°，且AH=3cm，那么AB= ______ ．
15.AD为△ABC的角平分线，DE/​/AB交AC于E，若∠BAC=100°，则∠ADE= ______ °.
16.点A的坐标为(1,4)，点P在x轴上，且PA=5.则点P的坐标为______ ．
17.已知三点(a,m)、(b,n)和(c,t)在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，若a<018.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，现将△ABC进行折叠，使顶点A、B重合，则折痕DE= ______ cm．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
19.甲、乙两人同时从A地前往相距5千米的B地．甲骑自行车，途中修车耽误了20分钟，甲行驶的路程s(千米)关于时间t(分钟)的函数图象如图所示
；乙慢跑所行的路程s(千米)关于时间t(分钟)的函数解析式为s=112t(0≤t≤60)．
(1)在图中画出乙慢跑所行的路程关于时间的函数图象；
(2)乙慢跑的速度是每分钟______千米；
(3)甲修车后行驶的速度是每分钟______千米；
(4)甲、乙两人在出发后，中途______分钟时相遇．
四、解答题：本题共8小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题5分)
化简：(3 12−2 13+ 48)÷2 3．
21.(本小题5分)
解方程：(2x−1)2−4x+2=0．
22.(本小题5分)
如果方程(m−2)x+7=0是关于x的一元一次方程，是判断关于y的方程y(y+2m)+m(1−y)−1=0的根的情况，并说明理由．
23.(本小题5分)
如图，已知∠AOB与点M、N求作一点P，使点P到边OA、OB的距离相等，且PM=PN(保留作图痕迹，不写作法)
24.(本小题6分)
已知：如图.在△ABC中.AB=AC.∠B=30°，DA⊥AC.求证：CD=2BD．
25.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=6，AC=4，△ABD的面积等于9．
求：△ADC的面积．
26.(本小题8分)
如图，已知正比例函数图象经过点A(m,6)和点(2,3)．
(1)求正比例函数的解析式及m的值；
(2)过点A作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点B(点B在点A下方)，若△ABO的面积为10.求反比例函数的解析式．
27.(本小题10分)
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是BC边上一点(不与点B、C重合)，过D且垂直于AD的直线与过B且垂直于AB的直线相交于点E，点M是AE的中点．
(1)若N为BD的中点，求证：MN⊥CB；
(2)若AC=BC=2，点D为BC的中点，求AE的长；
(3)若AC=BC=2，设CD=x，试用x的代数式表示DM的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、 8=2 2，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、 12= 22，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、是最简二次根式，故本选项正确；
D、 xy3=|y| xy，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：C．
根据二次根式的性质开方，再根据最简二次根式的定义判断即可．
本题考查了二次根式的性质和最简二次根式的定义的应用，注意：满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2.【答案】B
【解析】解：若 a2=( a)2成立，
则a≥0，
故选：B．
根据二次根式有意义的条件即可求得答案．
本题考查二次根式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3.【答案】B
【解析】解：A、∵x2−x+1=0，∴Δ=−3<0，故此方程无实数解，此选项错误；
B、∵x2−mx−1=0，∴Δ=m2+4>0，故此方程有实数解，此选项正确；
C、∵ 2x2−2x+1=0，∴Δ=4−4 2<0，故此方程无实数解，此选项错误；
D、∵x2−x−m=0，∴Δ=1+4m(由于m的值不确定，故1+4m可以≥0，可以<0)，故此方程不一定有实数解，此选项错误．
故选：B．
分别计算△，再根据△与0的关系来确定方程有无实数根．
本题考查了根的判别式，解题的关键是注意分三种情况进行讨论．
4.【答案】A
【解析】解：∵在正比例函数y=kx中，y随x的增大而减小，
∴k<0，
∴反比例函数y=kx图象在第二、四象限；
故选：A．
据“正比例函数y=kx中，y随x的增大而减小”可以确定k的符号，然后由k的符号确定反比例函数y=kx所在的象限．
本题考查了反比例函数的性质、正比例函数的性质，熟知自变量函数、反比例函数的性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【解答】
解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：D．
6.【答案】C
【解析】解：A、根据三角形内角和定理可以计算出∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°，可判定△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、32+42=52，根据勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形，故此选项不合题意；
C、根据三角形内角和定理可以计算出∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，可判定△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
D、可利用勾股定理逆定理判定△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
故选：C．
根据三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理分别进行分析可得答案．
此题主要考查了勾股定理逆定理，判断三角形是否为直角三角形可利用勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
7.【答案】− 3
【解析】解：原式=2 3−3 3=− 3．
二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
本题考查了二次根式的化简与运算能力．
8.【答案】2+ 2(答案不唯一)
【解析】解：∵(2− 2)(2+ 2)=4−2=2，
∴2+ 2是2− 2的一个有理化因式．
故答案为：2+ 2(答案不唯一)．
根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积为有理数解答即可．
本题主要考查分母有理化，熟练掌握有理化的定义以及二次根式的乘除法则是解决本题的关键．
9.【答案】x1=12，x2=1
【解析】解：移项，得x(2x−1)−(2x−1)=0，
提公因式，得，(2x−1)(x−1)=0，
解得2x−1=0，x−1=0，
x1=12，x2=1．
故答案为x1=12，x2=1．
移项后提公因式，然后解答．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
10.【答案】(x−−1+ 52)(x−−1− 52)
【解析】解：x2+x+14−14−1
=(x+12)2−54
=(x+12)2−( 52)2=[(x+12)+ 5 2][(x+12)− 52]
=(x+12+ 52)(x+12− 52).
观察式子x2+x−1，可以用求根公式法令x2+x−1=0解得两根x1、x2，则x2+x−1=(x−x1)(x−x2).
本题考查了求根公式法分解因式，即ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)，其中x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根．
该题要求熟记求根公式，并能用其进行分解因式．
11.【答案】x≥−12
【解析】【分析】
本题考查求函数的定义域；用到的知识点为：二次根式有意义，被开方数是非负数．
让被开方数为非负数列式求值即可．
【解答】
解：由题意得2x+1≥0，
解得x≥−12．
12.【答案】12
【解析】解：根据题意，得
1=2k，
解得，k=12；
故答案是：12．
将点P(2,1)代入正比例函数解析式y=kx，然后解关于k的方程．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．一次函数图象上的点的坐标，一定满足该函数的解析式．
13.【答案】1152(1−x)2=800
【解析】解：设平均每次降价的百分率为x，由题意得
1152(1−x)2=800．
故答案为：1152(1−x)2=800．
设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后售价为1152(1−x)，第二次降价后售价为1152(1−x)2，然后根据两次降阶后的售价建立等量关系即可．
本题考查从实际问题中抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b是解决问题的关键．
14.【答案】12cm
【解析】解：∵CH⊥AB，
∴∠AHC=90°，
∵∠ACH=30°，AH=3cm，
∴∠A=60°，AC=6cm，
∵∠ACB=90°，
∴∠B=30°，
∵AC=6cm，
∴AB=2AC=12cm．
根据直角三角形的性质解答即可．
本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
15.【答案】50
【解析】解：∵AD为△ABC的角平分线，∠BAC=100°，
∴∠BAD=∠CAD=12×100°=50°，
∵DE//AB，
∴∠ADE=∠BAD=50°．
故答案为50．
由角平分线的定义得到角相等及度数，由平行线得到角相等，根据等量代换可得到答案．
本题考查了三角形的角平分线、中线和高及平行线的性质；得到角相等后利用等量代换是正确解答本题的关键．
16.【答案】(4,0)或(−2,0)
【解析】解：∵点P在x轴上，
∴设P(x,0)，
∵点A的坐标为(1,4)，且PA=5，
∴(x−1)2+42=25，
解得x=4或−2，
∴P(4,0)或(−2,0)．
故答案为：(4,0)或(−2,0)．
设P(x,0)，再根据两点间的距离公式求出x的值即可．
本题考查的是点的坐标，熟知x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．
17.【答案】m【解析】解：∵k>0，
∴反比例函数的图象位于一、三象限，
∵a<0∴点(a,m)在第三象限，点(b,n)和点(c,t)在第一象限，
∴m故答案为：m先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据a<0本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
18.【答案】1.875
【解析】解：在直角△ABC中AB= AC2+BC2= 42+32=5cm.则AE=AB÷2=2.5cm．
设DE=x，易得△ADE∽△ABC，
故有AEAC=DEBC；
∴2.54=x3；
解可得x=1.875．
故答案为：1.875．
根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．
19.【答案】112 320 24
【解析】解：(1)所画图形如下所示：
(2)乙慢跑的速度即是乙慢跑所行的路程s(千米)关于时间t(分钟)的函数解析式的斜率，
即为112千米/分钟；
(3)甲修车后行驶20min，所形路程为3km，
故甲修车后行驶的速度为：3÷20=320km/min；
(4)由甲行驶的路程s(千米)关于时间t(分钟)的函数图象与乙慢跑所行的路程s(千米)关于时间t(分钟)的函数图象可知：
在距离A地2km处甲乙相遇，此时乙行驶了2×12=24分钟，
即甲、乙两人在出发后，中途24分钟时相遇．
故答案为：112；320；24．
(1)根据所给解析式可知函数过原点，并过点(60,5)，由这两点即可得出答案．
(2)乙慢跑的速度即是乙慢跑所行的路程s(千米)关于时间t(分钟)的函数解析式的斜率；
(3)甲修车后行驶路程是3km，所用时间是20min，即可求出速度；
(4)甲乙相遇，体现在(1)中的图形即是它们的交点，即求出交点得出答案．
本题考查了一次函数的实际应用，难度不大，读懂题意是关键，同时注意与图形结合解答问题．
20.【答案】解：原式=(6 3−2 33+4 3)÷2 3
=3−13+2
=143．
【解析】先进行二次根式的化简，然后进行二次根式的除法运算．
本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简以及二次根式的除法法则．
21.【答案】解：(2x−1)2−4x+2=0，
则(2x−1)2−2(2x−1)=0，
∴(2x−1)(2x−1−2)=0，
∴2x−1=0或2x−3=0，
∴x1=12，x2=32．
【解析】利用提公因式法把方程的左边变形，进而解出方程．
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
22.【答案】解：关于y的方程y(y+2m)+m(1−y)−1=0有两个不相等的实数解．
理由如下：
∵方程(m−2)x+7=0是关于x的一元一次方程，
∴m−2≠0，即m≠2，
方程y(y+2m)+m(1−y)−1=0整理为y2+my+m−1=0，
∵Δ=m2−4(m−1)=(m−2)2，
∴(m−2)2>0，
∴关于y的方程y(y+2m)+m(1−y)−1=0有两个不相等的实数解．
【解析】先根据一元一次方程的定义得到m≠2，再把方程y(y+2m)+m(1−y)−1=0整理为y2+my+m−1=0，计算判别式得到Δ=(m−2)2>0，然后根据判别式的意义可判断关于y的方程y(y+2m)+m(1−y)−1=0根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
23.【答案】解：①作∠AOB的平分线OE，②作线段MN的垂直平分线GH，GH交OE于点P．
点P即为所求．

【解析】①作∠AOB的平分线OE，②作线段MN的垂直平分线GH，GH交OE于点P，点P即为所求．
本题考查基本作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
24.【答案】证明：∵在△ABC中．AB=AC.∠B=30°，
∴∠B=∠C=30°，∠BAC=120°．
又∵DA⊥AC，
∴∠DAC=90°．
∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=30°．
∵∠DAC=90°，∠C=30°，
∴CD=2AD．
∵∠B=∠BAD=30°，
∴AD=BD．
∴CD=2BD．
【解析】根据AB=AC可知∠B与∠C的关系，由∠B=30°可知∠C的度数，由∠BAC=120°，又由DA⊥AC，可得∠BAD的度数，由∠C=30°，可得CD与AD的关系，从而可以得到CD与BD的关系．
本题考查三角形的内角和和在直角三角形中30°角所对的直角边与斜边的关系，关键是明确题意，进行正确的分析，最终得出结论．
25.【答案】解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
∵AD为∠BAC的平分线，
∴DE=DF，AB=6，AC=4，且S△ABD=9，
∴S△ABD：S△ACD=(12AB⋅DE)：(12AC⋅DF)=AB：AC=6：4=3：2，
则S△ACD=6．
【解析】过点D作DE垂直于AB，DF垂直于AC，由AD为角BAC的平分线，根据角平分线定理得到DE=DF，再根据三角形的面积公式表示出△ABD与△ACD的面积之比等于AB：AC的比值，把△ABD的面积以及AB、AC的值代入即可求出△ADC的面积．
此题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．此类题经常过角平分线上作角两边的垂线，这样可以得到线段的相等，再结合其他的条件探寻结论解决问题．
26.【答案】解：(1)设正比例函数的解析式为y=kx，
∵正比例函数图象经过点(2,3)，
∴3=2k，
∴k=32，
∴正比例函数的解析式为y=32x；
把A(m,6)代入解析式得，6=32m，
∴m=4；
(2)∵过点A作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点B(点B在点A下方)，△ABO的面积为10，
∴B点的横坐标为4，
∴12AB⋅xA=10，即12AB⋅4=10，
解得AB=5，
∴B点的纵坐标为6−5=1，
∴B(4,1)，
设反比例函数的解析式为y=k′x，
∴点B在反比例函数的图象上，
∴k′=4×1=4，
∴反比例函数的解析式为y=4x．
【解析】(1)设正比例函数的解析式为y=kx，代入A的坐标根据待定系数法即可求得正比例函数的解析式，把B代入即可求得m的值；
(2)由三角形面积求得AB的长，从而求得点B的坐标，进一步利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式．
本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，反比例函数的解析式，正比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得点B的坐标是解题的关键．
27.【答案】解：(1)证明：连接MD，MB，
∵过D且垂直于AD的直线与过B且垂直于AB的直线相交于点E，点M是AE的中点．
∴在Rt△ABE和在Rt△ADE中，BM=12AE，DM=12AE，
∴BM=DM，
又∵N为BD的中点，
∴MN⊥CB．
(2)过点E作EF⊥CB，交CB延长线于点F，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∠CAB=∠CBA=45°，
∵∠ABE=90°，
∴∠EBF=45°，
∵∠EFB=90°，
∴∠EBF=∠BEF=45°，
∴BF=EF，
∵AC=BC=2，点D为BC的中点，
∴CD=BD=1，
∴DF=BD+BF=1+EF，
∵∠ADC+∠CAD=90°，∠ADC+∠EDF=90°，
∴∠CAD=∠EDF，
又∵∠C=∠EFB=90°，
∴Rt△ACD∽Rt△DFE，
∴ACCD=DFEE，即21=1+EFEF，
∴EF=1，
∴BF=EF=1，
在Rt△BFE中，BE2=BF2+EF2=1+1=2，
又∵AB2=AC2+BC2=22+22=8，
在Rt△BAE中，AE= AB2+BE2= 8+2= 10．
答：AE的长为 10．
(3)由(2)知，BF=EF，ACCD=DFEF，
∵AC=BC=2，CD=x，
∴BD=2−x，DF=2−x+BF=2−x+EF
∴2x=2−x+EFEF，
∴EF=x，从而BF=EF=x，
∴BE2=BF2+EF2=2x2，
∴AE= AB2+BE2= 8+2x2，
∴DM=12AE=12 8+2x2．
答：DM的长为12 8+2x2．
【解析】(1)连接MD，MB，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得BM=DM，再利用等腰三角形的三线合一性质，得垂直；
(2)过点E作EF⊥CB，交CB延长线于点F，倒角证相似，从而得比例式求解；
(3)由(2)的相似三角形得比例式，用含x的式子表示相关线段，仿照(2)列比例式及用勾股定理可解．
本题综合考查了三角形的相关知识，如直角三角形的斜边中线性质，等腰三角形的三线合一，相似的判定，勾股定理等，难度中等偏上．