2023-2024学年广东省惠州市八年级（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年广东省惠州市八年级（上）期末数学试卷(含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四个字中可以看作是轴对称图形的是( )
A. 幸B. 福C. 惠D. 州
2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A. 1，3，4B. 2，2，7C. 4，5，7D. 3，3，6
3.下列汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是( )
A. B. C. D.
4.计算a3⋅a2的结果是( )
A. aB. a6C. 6aD. a5
5.在平面直角坐标系中，若点P的坐标为(2,1)，则点P关于y轴对称的点的坐标为( )
A. (−2,−1)B. (2,−1)C. (−2,1)D. (2,1)
6.如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是( )
A. B. C. D.
7.下列式子中是分式的是( )
A. 1πB. x3C. 25D. 1x−1
8.如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为( )
A. 30cmB. 27cmC. 24cmD. 21cm
9.如图，若AB=AC，BD=CD，∠B=20°，∠BDC=120°，则∠A等于( )
A. 70°
B. 80°
C. 90°
D. 100°
10.小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：a2−ab=______．
12.若代数式5x−2有意义，则实数x的取值范围是______ ．
13.在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1=______°.
14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD=3，AB=10，则△ABD的面积是________．
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD.若CD=1，则AD的长为 ．
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题4分)
分式化简：3−aa−2+1．
17.(本小题4分)
如图，AB=AC，∠BAD=∠CAD.求证：BD=CD．
18.(本小题8分)
将一个正六边形的纸片对折，并完全重合.那么得到的图形是几边形？它的内角和(按一层计算)是多少度？
19.(本小题8分)
随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展.敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评.某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每大制作多少个摆件？
20.(本小题9分)
回答下列问题：
(1)计算：
①(x+2)(x+3)= ______ ；
②(x+2)(x−3)= ______ ．
③(x−2)(x+3)= ______ ；
④(x−2)(x−3)= ______ ．
(2)总结公式(x+a)(x+b)=x2+ ______ x+ab
(3)已知a，b，m均为整数，且(x+a)(x+b)=x2+mx+5.求m的所有可能值．
21.(本小题9分)
如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点(网格线的交点)．
(1)画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1；
(2)将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2；
(3)描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB．
22.(本小题9分)
如图，BD是△ABC的角平分线，DE/​/BC，交AB于点E．
(1)求证：∠EBD=∠EDB．
(2)当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
23.(本小题12分)
【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为______ ．
【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______ ．
【应用】(1)根据图②所得的公式，若a+b=10，ab=5，则a2+b2= ______ ．
(2)若x满足(11−x)(x−8)=2，求(11−x)2+(x−8)2的值．
【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE=DE，BE=CE.该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草.经测量种花区域的面积和为252，AC=7，直接写出种草区域的面积和．
24.(本小题12分)
如图，在△ABC中，BC=7，AD⊥BC于D、BE⊥AC于E，AD、BE相交于点O，且AE=BE．
(1)求∠ACB+∠AOB=______°.
(2)试说明：△AEO≌△BEC；
(3)点F是直线AC上的一点且CF=BO，动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，问是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请在备用图中画出大致示意图，并求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：B，C，D选项中的字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2.【答案】C
【解析】解：∵1+3=4，∴1，3，4不能组成三角形，故A选项不符合题意；
∵2+2<7，∴2，2，7不能组成三角形，故B不符合题意；
∵4+5>7，∴4，5，7能组成三角形，故C符合题意；
∵3+3=6，∴3，3，6不能组成三角形，故D不符合题意，
故选：C．
根据三角形的三边关系分别判断即可．
本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、组成图形的四个圆形全等，故本选项不符合题意；
B、组成图形的三个图形不全等，故本选项符合题意；
C、组成图形的两个图形全等，故本选项不符合题意；
D、组成图形的三个图形全等，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据能够完全重合的两个图形叫做全等图形对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．
4.【答案】D
【解析】解：a3⋅a2=a5．
故选：D．
直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：点P的坐标是(2,1)，则点P关于y轴对称的点的坐标是(−2,1)，
故选：C．
根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于y轴的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
6.【答案】A
【解析】解：△ABC中BC边上的高的是A选项．
故选：A．
【分析】本题考查了三角形的高线，熟记高线的定义是解题的关键．
根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
7.【答案】D
【解析】解：1π，x3，25分母中都没有未知数，所以不是分式，而1x−1分母中有未知数，故D选项是分式．
故选：D．
根据分式的定义逐个判断即可．
本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，已知整式A和B，如果AB中分母B含有字母，那么AB叫分式．
8.【答案】A
【解析】解：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠BCEAC=BC，
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
由题意得：AD=EC=9cm，DC=BE=21cm，
∴DE=DC+CE=30(cm)，
答：两堵木墙之间的距离为30cm．
故选：A．
根据题意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．
此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
9.【答案】B
【解析】解：如图所示，连接BC，
∵BD=CD，∠BDC=120°
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∵∠ABD=20°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=50°，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=50°，
∴∠A=180−∠ABC−∠ACB=80°，
故选：B．
连接BC，根据等腰三角形的性质可求出∠ABC和∠DBC的度数，即可得答案．
本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图：作点A关于街道的对称点A′，连接A′B交街道所在直线于点C，
∴A′C=AC，
∴AC+BC=A′B，
在街道上任取除点C以外的一点C′，连接A′C′，BC′，AC′，
∴AC′+BC′=A′C′+BC′，
在△A′C′B中，两边之和大于第三边，
∴A′C′+BC′>A′B，
∴AC′+BC′>AC+BC，
∴点C到两小区送奶站距离之和最小．
故选：C．
本题利用轴对称的性质，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题，结合三角形的三边关系解题即可．
本题考查轴对称−最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．本题还会有变式：请你找出点C的位置．
11.【答案】a(a−b)
【解析】解：a2−ab=a(a−b)．
直接把公因式a提出来即可．
本题主要考查提公因式法分解因式，属于基础题．
12.【答案】x≠2
【解析】解：由题意得：x−2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键．
13.【答案】120
【解析】解：由三角形的外角的性质可知，∠1=90°+30°=120°，
故答案为：120．
根据三角形的外角的性质计算即可．
本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
14.【答案】15
【解析】解：如图，作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=3，
∴△ABD的面积=12×AB×DE=12×10×3=15，
故答案为：15．
作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC=3，根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15.【答案】2
【解析】【分析】
本题主要考查线段的垂直平分线，含30°角的直角三角形的性质，求得AD=BD是解题的关键．
由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，利用含30°角的直角三角形的性质可求解BD的长，进而求解．
【解答】
解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=90°−30°=60°，
∴∠CBD=∠ABC−∠ABD=30°，
∵∠C=90°，CD=1，
∴BD=2CD=2，
∴AD=2．
故答案为2．
16.【答案】解：3−aa−2+1=3−aa−2+a−2a−2
=1a−2．
【解析】根据分式的加法进行计算即可求解；
本题考查了分式的混合运算，注意1的转化．
17.【答案】证明：在△ABD与△ACD中，
AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)，
∴BD=CD．
【解析】由AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD可证明△ABD≌△ACD，从而可得BD=CD．
本题考查全等三角形的判定及性质，解题关键是掌握全等三角形的判定方法及全等三角形的性质．
18.【答案】解：当沿过两个端点的对称轴所在的直线折叠时，得到的图形是四边形，内角和是(4−2)×180°=360°；
当沿对边中点所在的直线折叠时，得到的图形是五边形，内角和是(5−2)×180°=540°．
【解析】由于正六边形有2种对称轴，可按这两种对称轴分别折叠计算．
解决本题的关键是抓住不同的对称轴进行折叠得到不同的多边形．
19.【答案】解：设原计划平均每天制作x个摆件，
根据题意，得3000x−30001.5x=5，
解得x=200，
经检验，x=200是原方程的根，且符合题意，
答：原计划平均每天制作200个摆件．
【解析】设原计划平均每天制作x个摆件，根据“结果提前5天完成任务”列分式方程，求解即可．
本题考查了分式方程的应用，理解题意并能根据题意建立方程是解题的关键．
20.【答案】解：(1)①x2+5x+6；
②x2−x−6；
③x2+x−6；
④x2−5x+6；
(2)(a+b)；
(3)(x+a)(x+b)=x2+mx+5，
∴x2+(a+b)x+ab=x2+mx+5，
∴a+b=m，ab=5，
∵a，b，m均为整数，
∴a=1，b=5或a=−1，b=−5或a=5，b=1或a=−5，b=−1，
当a=1，b=5时，m=a+b=1+5=6；
当a=−1，b=−5时，m=a+b=−1−5=−6；
当a=5，b=1时，m=a+b=5+1=6；
当a=−5，b=−1时，m=a+b=−5−1=−6；
综上，mm的所有可能值为6或−6．
【解析】【分析】
本题主要考查多项式乘多项式，注意不要漏项，漏字母，有同类项的要合并同类项．
(1)根据多项式乘多项式的法则计算①②③④这四个式子即可；
(2)根据(1)中的结果总结公式即可；
(3)运用(2)中的结论计算等式的左边，然后根据左右两边相等得到a+b=m，ab=5，再根据a，b，m均为整数，得出a=1，b=5或a=−1，b=−5或a=5，b=1或a=−5，b=−1，最后计算即可得出m的所有可能值．
【解答】
解：(1)①(x+2)(x+3)
=x2+3x+2x+6
=x2+5x+6；
②(x+2)(x−3)
=x2−3x+2x−6
=x2−x−6；
③(x−2)(x+3)
=x2+3x−2x−6
=x2+x−6；
④(x−2)(x−3)
=x2−3x−2x+6
=x2−5x+6；
故答案为：x2+5x+6；x2−x−6；x2+x−6；x2−5x+6；
(2)(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，
故答案为：(a+b)；
(3)见答案．
21.【答案】解：(1)线段A1B1如图所示；
(2)线段A2B2如图所示；
(3)直线MN即为所求．
【解析】(1)根据轴对称的性质画出图形即可；
(2)根据平移的性质画出图形即可；
(3)根据线段垂直平分线的作法画出图形即可．
本题考查了作图−轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了线段垂直平分线的性质．
22.【答案】(1)证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD=∠EBD，
∵DE/​/BC，
∴∠CBD=∠EDB，
∴∠EBD=∠EDB．
(2)解：CD=ED，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∵DE/​/BC，
∴∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
又AB=AC，
∴CD=BE，
由(1)得，∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE，
∴CD=ED．
【解析】(1)利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；
(2)利用平行线的性质可得∠ADE=∠AED，则AD=AE，从而有CD=BE，由(1)得，∠EBD=∠EDB，可知BE=DE，等量代换即可．
本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键．
23.【答案】(a+b)2=a2+2ab+b2 a2+b2 90
【解析】解：【教材原题】：观察图①可得，(a+b)2=a2+2ab+b2，
故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2；
【类比探究】：观察图②可得，图中阴影部分图形的面积和=a2+b2，
故答案为：a2+b2；
【应用】：(1)a2+b2=(a+b)2−2ab=100−10=90，
故答案为：90；
(2)(11−x)2+(x−8)2=[(11−x)+(x−8)]2−2(11−x)(x−8)=9−4=5，
∴(11−x)2+(x−8)2的值是5；
【拓展】：∵AC⊥BD，AE=DE，BE=CE，
∴S△ADE=12AE2，S△BEC=12CE2，
∵种花区域的面积和为252，
∴AE2+CE2=25，
∵AC=7，
∴AE⋅CE=12，
∴AE⋅BE=DE⋅CE=12，
∴种草区域的面积和=12(AE⋅BE+DE⋅CE)=12．
【教材原题】观察图①，可得等式；
【类比探究】阴影部分由两个正方形组成；
【应用】(1)根据完全平方公式可得；
(2)运用完全平方公式可得；
【拓展】已知种花区域面积和AC=7，可得AE⋅CE，即可求出种草区域的面积和．
本题考查了完全平方公式，关键是熟练掌握并学会运用完全平方公式解决问题．
24.【答案】180
【解析】(1)解：∵AD和BE是△ABC的高，
∴∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠ACB+∠DOE=360°−(∠BEC+∠ADC)=180°，
∵∠AOB=∠DOE，
∴∠ACB+∠DOE=180°，
故答案为：180；
(2)证明：∵∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠ACB+∠CAD=∠ACB+∠CBE=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
在△AEO和△BEC中，
∠AEO=∠AEC=90°∠CAD=∠CBEAE=BE，
∴△AEO≌△BEC(AAS)；
(3)解：如图1，
当点F在AC的延长线上时，
∵∠ACB+∠DOE=180°，∠FCQ+∠ACB=180°，
∴∠AOB=∠FCQ，
∵OB=CF，
∴当CQ=OP时，△BOP≌△CFQ，
∴7−4t=t，
∴t=75，
如图2，
同上：△FCQ≌△BOP，
此时CQ=OP，
∴4t−7=t，
∴t=73，
综上所述：当t=75或73时，△BOP与△CFQ全等．
(1)在四边形CDOE中，∠ADC=∠BEC=90°，根据四边形内角和得出∠ACB和∠DOE互补，进一步求得结果；
(2)由“AAS”可证△AEO≌△BEC；
(3)分为点F在AC的延长线时，△BOP≌△FCQ，此时CQ=OP，可求得结果；当点F在AC上，点Q带BC的延长线上时，△FCQ≌△BOP，根据CQ=OP可求得另一个值．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，考虑全面．