贵州省2023-2024学年高二上学期期中联考数学试卷(含答案)

这是一份贵州省2023-2024学年高二上学期期中联考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．复数的实部为( )
A.B.2C.34D.36
3．圆不经过( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4．已知点P为所在平面内一点,O为平面ABC外一点,若,则的值为( )
A.B.C.D.
5．抛掷两枚质地均匀的骰子,设事件“两枚骰子的点数之和为偶数”,事件“恰有一枚骰子的点数为偶数”,则( )
A.B.
C.A与B互为对立事件D.A与B互为互斥但不对立事件
6．已知空间三点,,,则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为( )
A.B.C.D.
7．埃及金字塔是世界古代建筑奇迹之一,它形状可视为一个正四棱锥,若金字塔的高为3,,点E满足,则点D到平面的距离为( )
A.B.C.D.
8．定义在R上的奇函数在区间上单调递减,且,则不等式的解集为( )
A.B.
CD.
二、多项选择题
9．甘肃省2017到2022年常住人口变化图如图所示:
则( )
A.甘肃省2017到2020年这4年的常住人口呈递增趋势
B.甘肃省2017到2022年这6年的常住人口的第40百分位数为2501.98万
C.甘肃省2017到2022年这6年的常住人口的极差为156.41万
D.从2017到2022年这6年中任选1年,则该年的甘肃省常住人口大于2500万的概率为
10．已知点,,,若直线l经过点C,且A,B到l的距离相等,则l的方程可能是( )
A.B.C.D.
11．已知曲线,直线,则下列说法正确的是( )
A.曲线C关于直线对称
B.直线l恒过点
C.若l与曲线C有两个交点,则k的取值范围是
D.若l与曲线C有两个交点,则k的取值范围是
12．如图,正方体的棱长为,M是的中点,点P满足,其中,,则下列结论正确的有( )
A.当时,
B.当时,平面ABCD
C.当时,异面直线MP与AC所成角的余弦值为
D.若,二面角的平面角为,则的面积为
三、填空题
13．若,则______.
14．已知两条平行直线,间的距离为,则______.
15．已知函数,若函数在上恰有两个零点,则的取值范围为__________.
16．已知,点P在圆上,且,则a的取值范围为______.
四、解答题
17．如图,在三棱柱中,D,E分别为和AB的中点,设,,.
（1）用表示向量;
（2）若,,,求.
18．已知直线l经过点.
（1）若l在两坐标轴上的截距相等,求l的斜截式方程;
（2）若l与圆相切,求l的一般式方程.
19．已知直线l经过点,且与直线平行.
（1）求直线l的方程;
（2）已知圆C与y轴相切,直线l被圆C截得的弦长为,圆心在直线上,求圆C的方程.
20．如图1,在菱形中,,将沿着翻折至如图2所示的的位置,构成三棱锥.
（1）证明:;
（2）若平面平面ACD,求与平面所成角的正弦值.
21．在中,D为边AC上一点,,.
（1）若,求的面积;
（2）若,,,求AD长.
22．已知圆
（1）证明:圆C恒过两个点.
（2）当时,若过点的直线l与圆C交于M,N两点,且,求直线l的斜率.
参考答案
1．答案：D
解析：集合,
又因为,
所以.
故选:D.
2．答案：D
解析：因为,
所以z的实部为36.
故选:D.
3．答案：A
解析：可化为,即圆心为,半径为5,
故选A.
4．答案：B
解析：
5．答案：C
解析：
6．答案：D
解析：
7．答案：A
解析：如图,连接BD,设AC与BD相交于点O,连接PO,
以点O为坐标原点,OA,OB,OP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,,,,
所以,,,
设平面AEC的法向量为,则,
取,得,
所以点D到平面AEC的距离,
故选:A.
8．答案：A
解析：
9．答案：BD
解析：根据题意,依次分析选项:
对于A,由图可知,从2019年到2020年,常住人口下降了,则A错误;
对于B,甘肃省2017到2022年这6年的常住人口(单位:万)按照从小到大的顺序排列为:2490.02,2492.42,2501.98,2625.71,2637.26,2647.43,
因为,所以这6年的常住人口的第40百分位数为2501.98万,B正确;
对于C,甘肃省2017到2022年这6年的常住人口的极差为万,C
错误;
对于D,从2017到2022年这6年中任选1年,则该年的甘肃省常住人口大于2500万的概率为,D正确.
故选:BD.
10．答案：AC
解析：若A,B在l的同侧,则,,,
则,
所以l的方程为,
若A,B在l的两侧,则l经过线段AB的中点,此时l的方程为,综上所述,l的方程可能是或.
故选:AC.
11．答案：BC
解析：曲线可化为:,,即,,
曲线C表示以点为圆心,2为半径,且位于x轴上方的半圆,(包括点,).
对A选项,显然曲线C不关于直线对称,A选项错误;
对B选项,显然直线恒过点,B选项正确;
对C,D选项,当l与曲线C相切时,,解得或(舍去),
故l与曲线C有两个交点时,k的取值范围是,C选项正确,D选项错误.
故选:BC.
12．答案：ABD
解析：
13．答案：或
解析：,
则,
故答案为:.
14．答案：或16
解析：因为,所以,解得,
则,可化直线为,
所以与的距离为,解得
或,则或.
15．答案：
解析：
16．答案：
解析：由,可知点P在圆上,
所以问题等价于与圆C有交点,
所以,所以,解得或,
故a的取值范围为.
故答案为:.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）
（2）略
18．答案：（1）或
（2）或
解析：（1）已知直线l经过点,
若l在两坐标轴上的截距相等,
当l经过原点时,l的斜率为,则l的斜截式方程为,
当l不经过原点时,设l的截距式方程为,代入点,得,则,即l的斜截式方程为,
综上,l的斜截式方程为或;
（2）由题意圆,
得,圆M的半径为2,
当l的斜率不存在时,与圆M相切,
当l的斜率存在时,设,即,
由,得,则,
综上,l的一般式方程为或.
19．答案：（1）
（2）.
解析：（1）直线l与直线平行,
,
设直线l方程:
直线l过点
解得
直线l的方程为:
（2）圆心C在直线上,设圆心C坐标
圆C与轴相切,
半径为圆心到y轴的距离.即
圆心到直线的距离,
截得弦长为即
即
圆心坐标经
化简有
解得
圆C方程
20．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:取AC的中点O,连接,OD,因为ABCD是菱形,,
所以,为等边三角形,
所以,,
又因为,平面,
,
所以平面,
因为平面,所以;
（2）因为平面平面ACD,且平面平面,
,所以平面ACD,
以O为坐标原点,分别以OD,OA,所在直线为x,y,z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
设,则,,,,,,,
设平面的法向量为,
则,取,则,,所以,
所以,
所以与平面所成角的正弦值为.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中,由余弦定理得,
即,
解得;
所以,
（2）在中,由正弦定理得,即
可得,
因为,所以为锐角,
即,
所以;
在中,由正弦定理得,即,
解得.
22．答案：（1）证明见解析
（2）或2
解析：（1）证明:圆C的方程可化为.
令,得,或,故圆C恒过两个定点,
且这两个定点的坐标为和;
（2）当时,圆C的方程可化为,
由题知直线l的斜率k存在且不为0,设直线l的方程为,
设,,因为,所以①,
联立,消去x得,
所以,将①代入得,
则,解得或(满足)
所以直线l的斜率为2或.