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选择性必修 第一册4.1 两个计数原理课堂教学课件ppt
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这是一份选择性必修 第一册4.1 两个计数原理课堂教学课件ppt，共31页。PPT课件主要包含了新知初探•课前预习，题型探究•课堂解透，m1＋m2＋＋mn，m1×m2××mn，答案C，答案D，答案A等内容，欢迎下载使用。
最新课程标准通过实例，了解分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其意义．
教 材 要 点要点一 分类加法计数原理❶如果完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，每种方法都能独立完成这件事，那么完成这件事共有N＝______________种不同的方法．(也称“加法原理”) 要点二 分步乘法计数原理❷如果完成一件事需要分成n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法，…，第n步有mn种不同的方法，每个步骤都完成才算做完这件事，那么完成这件事共有N＝_____________种不同的方法．(也称“乘法原理”)
批注❶ 确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类办法，不同类办法的任意两种方法是不同的方法，也就是分类必须既“不重复”也“不遗漏”. 批注❷ 根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏．
基 础 自 测1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)在分类加法计数原理中，某两类不同方案中的方法可以相同. ( )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事. ( )(3)在分步乘法计数原理中，只有各步骤都完成后，这件事情才算完成．( )(4)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )
2．从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班．若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有( ) A．3种 B．4种C．7种 D．12种
解析：由分类加法计数原理，从甲地去乙地共3＋4＝7(种)不同的交通方式．
3．某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有( )A．3种 B．6种C．7种 D．9种
解析：分3类，买1本书，买2本书，买3本书，各类的方法依次为3种，3种，1种，故购买方法有3＋3＋1＝7(种)．
4．已知x∈{2，3，7}，y∈{－3，－4，8}，则x·y可表示不同的值的个数为( )A．10个 B．6个C．8个 D．9个
解析：因为x从集合{2，3，7}中任取一个值共有3个不同的值，y从集合{－3，－4，8}中任取一个值共有3个不同的值，故x·y可表示3×3＝9个不同的值．
5．某商场共有4个门，购物者若从任意一个门进，从任意一个门出，则不同走法的种数是_____.
解析：不同的走法可以看作是两步完成的，第一步是进门共有4种；第二步是出门，共有4种．由分步乘法计数原理知共有4×4＝16(种)．
题型1 分类加法计数原理的应用例1 (1)从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？
解析：分四类：从一班中选一人，有4种选法；从二班中选一人，有5种选法；从三班中选一人，有6种选法；从四班中选一人，有7种选法．共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22种．
(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
解析：方法一 按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．方法二 按个位上的数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
方法归纳 利用分类加法计数原理解题的一般步骤
巩固训练1 (1)一项工作可以用两种方法完成，有3人会用第1种方法完成，有5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同的选法种数是( )A．8 B．15C．16 D．30
解析：第1类，从会第1种方法的3人中选1人，有3种不同的选法；第2类，从会第2种方法的5人中选1人，有5种不同的选法，共有5＋3＝8(种)不同的选法．
(2)有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个．若从三个袋子中任取1个小球，有____种不同的取法．
解析：有三类不同方案：第一类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；第二类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；第三类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法．其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事，根据分类加法计数原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15种．
题型2 分步乘法计数原理的应用例2 用0，1，2，3，4这五个数字(1)可以组成多少个无重复数字的四位数？
解析：直接法：完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步：第一步，从1，2，3，4中选取一个数字作千位数字，有4种不同的选取方法；第二步，从1，2，3，4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字作百位数字，有4种不同的选取方法；第三步，从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种不同的选取方法；第四步，从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种不同的选取方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位数共有N＝4×4×3×2＝96个．间接法：将5个数字不重复排在4个位置上有5×4×3×2＝120种排法，其中不合要求的有4×3×2＝24种排法．所以排成无重复数字的四位数为120－24＝96个．
(2)可以组成多少个四位密码？
解析:完成“组成四位密码”这件事，可以分为四步：第一步，选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步，选取左边第二个位置上的数字，有5种选取方法；第三步，选取左边第三个位置上的数字，有5种选取方法；第四步，选取左边第四个位置上的数字，有5种选取方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有N＝5×5×5×5＝625个．
方法归纳(1)应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可．(2)解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘，做到不重不漏．
巩固训练2 (1)[2022·湖南测试]某储蓄卡密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个，则可设置的银行卡密码共有_____种；
解析：每位上的数字有10个数字可选，由乘法原理总共有106种．
(2)如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？
解析：按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成，第一步，m1＝3种，第二步，m2＝2种，第三步，m3＝1种，第四步，m4＝1种，所以根据乘法原理，得到不同的涂色方案种数共有N＝3×2×1×1＝6种．
题型3 两个计数原理的综合应用 例3 现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组. (1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？ (2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？ (3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
解析：(1)分四类：第1类，从一班学生中选1人，有7种选法；第2类，从二班学生中选1人，有8种选法；第3类，从三班学生中选1人，有9种选法；第4类，从四班学生中选1人，有10种选法．由分类加法计数原理知共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步：第1、2、3、4步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．由分步乘法计数原理知共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种)．(3)分六类，每类又分两步．从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．由分类加法计数原理知共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．
方法归纳使用两个原理的原则 使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手．“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理.
巩固训练3 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
解析：分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法，根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法；
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
解析：分为三步：第一步从国画中选，有5种不同的选法；第二步从油画中选，有2种不同的选法；第三步从水彩画中选，有7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法．
(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？
解析： 分为三类：第一类是一幅选自国画，有5种不同的选法；一幅选自油画，有2种不同的选法；由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；第二类是一幅选自国画，有5种不同的选法；一幅选自水彩画，有7种不同的选法，由分步乘法计数原理知，有5×7＝35(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，有2种不同的选法；一幅选自水彩画，有7种不同的选法，由分步乘法计数原理知，有2×7＝14(种)不同的选法，所以根据分类加法计数原理，共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法．
易错辨析 分类标准不清致误例4 甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，问有多少种不同的冠军获得情况？
解析：可先举例说出其中的1种情况，如数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军分别是甲、甲、丙，可见研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生1名冠军，才算完成了这件事，而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分三步．第1步，产生数学学科冠军，它一定被其中1名同学获得，有4种不同的获得情况；第2步，产生物理学科冠军，因为夺得数学学科冠军的同学还可以去争夺物理学科冠军，所以物理学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况；第3步，产生化学学科冠军，同理，也有4种不同的获得情况．由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有4×4×4＝43＝64(种)．
最新课程标准通过实例，了解分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其意义．
教 材 要 点要点一 分类加法计数原理❶如果完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，每种方法都能独立完成这件事，那么完成这件事共有N＝______________种不同的方法．(也称“加法原理”) 要点二 分步乘法计数原理❷如果完成一件事需要分成n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法，…，第n步有mn种不同的方法，每个步骤都完成才算做完这件事，那么完成这件事共有N＝_____________种不同的方法．(也称“乘法原理”)
批注❶ 确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类办法，不同类办法的任意两种方法是不同的方法，也就是分类必须既“不重复”也“不遗漏”. 批注❷ 根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏．
基 础 自 测1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)在分类加法计数原理中，某两类不同方案中的方法可以相同. ( )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事. ( )(3)在分步乘法计数原理中，只有各步骤都完成后，这件事情才算完成．( )(4)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )
2．从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班．若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有( ) A．3种 B．4种C．7种 D．12种
解析：由分类加法计数原理，从甲地去乙地共3＋4＝7(种)不同的交通方式．
3．某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有( )A．3种 B．6种C．7种 D．9种
解析：分3类，买1本书，买2本书，买3本书，各类的方法依次为3种，3种，1种，故购买方法有3＋3＋1＝7(种)．
4．已知x∈{2，3，7}，y∈{－3，－4，8}，则x·y可表示不同的值的个数为( )A．10个 B．6个C．8个 D．9个
解析：因为x从集合{2，3，7}中任取一个值共有3个不同的值，y从集合{－3，－4，8}中任取一个值共有3个不同的值，故x·y可表示3×3＝9个不同的值．
5．某商场共有4个门，购物者若从任意一个门进，从任意一个门出，则不同走法的种数是_____.
解析：不同的走法可以看作是两步完成的，第一步是进门共有4种；第二步是出门，共有4种．由分步乘法计数原理知共有4×4＝16(种)．
题型1 分类加法计数原理的应用例1 (1)从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？
解析：分四类：从一班中选一人，有4种选法；从二班中选一人，有5种选法；从三班中选一人，有6种选法；从四班中选一人，有7种选法．共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22种．
(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
解析：方法一 按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．方法二 按个位上的数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
方法归纳 利用分类加法计数原理解题的一般步骤
巩固训练1 (1)一项工作可以用两种方法完成，有3人会用第1种方法完成，有5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同的选法种数是( )A．8 B．15C．16 D．30
解析：第1类，从会第1种方法的3人中选1人，有3种不同的选法；第2类，从会第2种方法的5人中选1人，有5种不同的选法，共有5＋3＝8(种)不同的选法．
(2)有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个．若从三个袋子中任取1个小球，有____种不同的取法．
解析：有三类不同方案：第一类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；第二类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；第三类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法．其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事，根据分类加法计数原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15种．
题型2 分步乘法计数原理的应用例2 用0，1，2，3，4这五个数字(1)可以组成多少个无重复数字的四位数？
解析：直接法：完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步：第一步，从1，2，3，4中选取一个数字作千位数字，有4种不同的选取方法；第二步，从1，2，3，4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字作百位数字，有4种不同的选取方法；第三步，从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种不同的选取方法；第四步，从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种不同的选取方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位数共有N＝4×4×3×2＝96个．间接法：将5个数字不重复排在4个位置上有5×4×3×2＝120种排法，其中不合要求的有4×3×2＝24种排法．所以排成无重复数字的四位数为120－24＝96个．
(2)可以组成多少个四位密码？
解析:完成“组成四位密码”这件事，可以分为四步：第一步，选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步，选取左边第二个位置上的数字，有5种选取方法；第三步，选取左边第三个位置上的数字，有5种选取方法；第四步，选取左边第四个位置上的数字，有5种选取方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有N＝5×5×5×5＝625个．
方法归纳(1)应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可．(2)解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘，做到不重不漏．
巩固训练2 (1)[2022·湖南测试]某储蓄卡密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个，则可设置的银行卡密码共有_____种；
解析：每位上的数字有10个数字可选，由乘法原理总共有106种．
(2)如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？
解析：按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成，第一步，m1＝3种，第二步，m2＝2种，第三步，m3＝1种，第四步，m4＝1种，所以根据乘法原理，得到不同的涂色方案种数共有N＝3×2×1×1＝6种．
题型3 两个计数原理的综合应用 例3 现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组. (1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？ (2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？ (3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
解析：(1)分四类：第1类，从一班学生中选1人，有7种选法；第2类，从二班学生中选1人，有8种选法；第3类，从三班学生中选1人，有9种选法；第4类，从四班学生中选1人，有10种选法．由分类加法计数原理知共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步：第1、2、3、4步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．由分步乘法计数原理知共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种)．(3)分六类，每类又分两步．从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．由分类加法计数原理知共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．
方法归纳使用两个原理的原则 使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手．“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理.
巩固训练3 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
解析：分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法，根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法；
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
解析：分为三步：第一步从国画中选，有5种不同的选法；第二步从油画中选，有2种不同的选法；第三步从水彩画中选，有7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法．
(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？
解析： 分为三类：第一类是一幅选自国画，有5种不同的选法；一幅选自油画，有2种不同的选法；由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；第二类是一幅选自国画，有5种不同的选法；一幅选自水彩画，有7种不同的选法，由分步乘法计数原理知，有5×7＝35(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，有2种不同的选法；一幅选自水彩画，有7种不同的选法，由分步乘法计数原理知，有2×7＝14(种)不同的选法，所以根据分类加法计数原理，共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法．
易错辨析 分类标准不清致误例4 甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，问有多少种不同的冠军获得情况？
解析：可先举例说出其中的1种情况，如数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军分别是甲、甲、丙，可见研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生1名冠军，才算完成了这件事，而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分三步．第1步，产生数学学科冠军，它一定被其中1名同学获得，有4种不同的获得情况；第2步，产生物理学科冠军，因为夺得数学学科冠军的同学还可以去争夺物理学科冠军，所以物理学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况；第3步，产生化学学科冠军，同理，也有4种不同的获得情况．由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有4×4×4＝43＝64(种)．
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