2023_2024学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用午练5向量数量积的坐标表示新人教A版必修第二册

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午练5　向量数量积的坐标表示1.设向量a与b的夹角为θ,a=(2,1),3b+a=(5,4),则cos θ=(　　)A. B. C. D.2.向量a=(2,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=(　　)A.1 B.-1 C.-6 D.63.已知向量a=(4,2),b=(-1,m),若a⊥b,那么m的值为(　　)A. B.- C.2 D.-24.向量b=(1,2)在向量a=(-1,1)上的投影向量为(　　)A.± B. C. D.5.若e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则a=2e1+e2与b=-3e1+2e2的夹角为(　　)A.30° B.60° C.120° D.150°6.已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|等于(　　)A. B. C.5 D.257.已知a=(1,2),b=(-2,n),且a⊥b,则|3a+b|=　　　　　. 8.已知a=(m,6),b=(2,1),向量a与向量b的夹角是锐角,则实数m的取值范围是　　　　　. 9.已知向量a=(2,1),b=(3,-1).(1)求向量a与b的夹角;(2)若c=(3,m)(m∈R),且(a-2b)⊥c,求m的值.10.在平面四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=90°,AD=4,连接AC,∠ACD=90°,∠CAD=30°.(1)求;(2)E为线段AD上的动点,求的最小值.午练5　向量数量积的坐标表示1.D　因为3b=3b+a-a=(5,4)-(2,1)=(3,3),所以b=(1,1),所以cosθ=.2.D　因为a=(2,-1),b=(-1,2),所以(2a+b)·a=(3,0)·(2,-1)=3×2+0=6.故选D.3.C　向量a=(4,2),b=(-1,m),若a⊥b,则a·b=0,即4×(-1)+2m=0,解得m=2.故选C.4.D　根据题意可得a·b=-1+2=1,|a|=,向量b=(1,2)在向量a=(-1,1)上的投影向量为×a=(-1,1)=(-).故选D.5.C　不妨设e1=(1,0),e2=,则a=2e1+e2=,b=-3e1+2e2=(-2,),所以a·b=·(-2,)=-,|a|=,|b|=,设a,b的夹角为θ,则cosθ==-,又0°≤θ≤180°,所以θ=120°.故选C.6.C　∵a=(2,1),∴a2=5,又|a+b|=5,∴(a+b)2=50,即a2+2a·b+b2=50,∴5+2×10+b2=50,∴b2=25,∴|b|=5.7.5　因为a⊥b,所以-2+2n=0.于是n=1,因此a=(1,2),b=(-2,1),所以3a+b=(1,7),故|3a+b|=5.8.(-3,12)∪(12,+∞)　∵向量a与向量b的夹角是锐角,∴a·b=2m+6>0,即m>-3.当a与b共线时,,∴m=12,此时a与b同向,夹角为0°.∴实数m的取值范围是(-3,12)∪(12,+∞).9.解 (1)由a=(2,1),b=(3,-1),则a·b=2×3+1×(-1)=5,由题得a=,b=,设向量a与b的夹角为θ,则cosθ=,由于θ∈[0,π],所以θ=.即向量a与b的夹角为.(2)由a=(2,1),b=(3,-1),所以a-2b=(-4,3),又(a-2b)⊥c,所以(a-2b)·c=0,又c=(3,m),所以(-4)×3+3m=0,解得m=4.10.解 (1)由于∠ABC=90°,如图,以B为坐标原点,BC,BA所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系.由于AD=4,∠CAD=30°,故CD=2,AC=2.又AB=BC,故BC=,AB=3,∴B(0,0),C(,0),A(0,3),D(2,1),∴=(-,0)·(,1)=-3.(2)不妨设=t(0≤t≤1),∴+t=(0,3)+t(2,-2)=(2t,3-2t),=(-,0)+(2t,3-2t)=(2t-,3-2t),∴=2t×(2t-)+(3-2t)2=16t2-18t+9,故当t=时,取得最小值.