2023_2024学年新教材高中数学第八章立体几何初步午练16直线与直线垂直直线与平面垂直新人教A版必修第二册

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午练16　直线与直线垂直、直线与平面垂直1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱中,与棱AB垂直的棱有(　　)　　　　　　　　　　　　　A.2条 B.4条 C.6条 D.8条2.设a,b,c是三条不同直线,且c⊥a,c⊥b,则a和b(　　)A.平行 B.相交C.异面 D.以上都有可能3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AC和BC1所成角的大小为(　　)A. B. C. D.4.若直线a⊥平面α,直线b⊥平面α,直线c⊥直线a,则直线c与直线b的位置关系为(　　)A.异面 B.相交C.垂直 D.平行或异面5.已知直线a⊥平面α,直线b∥平面α,则a与b的关系为(　　)A.a∥b B.a⊥bC.a,b相交不垂直 D.a,b异面不垂直6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线B1D1与CD所成角的大小是　　　　. 7.将一块边长为2的正三角形铁皮沿各边的中位线折叠成一个正四面体,则这个正四面体某顶点到其相对面的距离是　　　　　. 8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=,BC=AA1=1,则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为　　　　　. 9.如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.求证:AE⊥BE.10.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2.(1)求直线A1B和平面ABCD所成角的大小;(2)求直线BD1和平面ABCD所成角的正切值.午练16　直线与直线垂直、直线与平面垂直1.D　在长方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱中,与棱AB垂直的棱有BC,B1C1,A1D1,AD,AA1,BB1,CC1,DD1,共8条.故选D.2.D　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若DD1=c,D1C1=a,A1D1=b,则a和b相交;若DD1=c,D1C1=a,AD=b,则a和b异面;若DD1=c,D1C1=a,DC=b,则a和b平行.故选D.3.A　如图,连接AD1,CD1,∵BC1∥AD1,∴∠D1AC即为异面直线AC与BC1所成的角.又AD1=AC=CD1,∴∠D1AC=,即异面直线AC与BC1所成角为.4.C5.B　由b∥α,过b作平面β,使α∩β=c,则b∥c,且c⊂α.∵a⊥α,∴a⊥c.∴a⊥b.6.45°　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∵C1D1∥CD,∴∠B1D1C1即异面直线B1D1与CD所成的角.∵△B1D1C1为等腰直角三角形,∴∠B1D1C1=45°.7.　依题意可得如图所示的正三棱锥S-ABC,且棱锥的所有棱长为1.取AB的中点D,连接CD,过S作底面ABC的射影O.根据正三棱锥的性质可知点O为△ABC的重心,所以CD=,CO=CD=,所以SO=.8.30°　如图所示,连接B1D1,则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影,则∠BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角.在Rt△BD1B1中,tan∠BD1B1=,则∠BD1B1=30°.9.证明 ∵AD⊥平面ABE,AD∥BC,∴BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE,∴AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE,AE⊂平面ACE,∴AE⊥BF.∵BF⊂平面BCE,BC⊂平面BCE,BF∩BC=B,∴AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE,∴AE⊥BE.10.解 (1)因为A1A⊥平面ABCD,∴A1B在平面ABCD上的射影为AB,∴∠A1BA就是直线A1B和平面ABCD所成的角.在Rt△A1BA中,AA1=AB,则∠A1BA=,∴直线A1B和平面ABCD所成角的大小为.(2)因为D1D⊥平面ABCD,∴D1B在平面ABCD上的射影为DB,∴∠D1BD就是直线D1B和平面ABCD所成的角.∵在Rt△D1BD中,DD1=2,BD=2,则tan∠D1BD=,∴直线BD1和平面ABCD所成角的正切值为.