人教版八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.2 等边三角形课文内容课件ppt

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⁠ 三条边都相等的三角形是等边三角形
例1 如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是各边上的一点，且AD＝BE＝CF，连接DE，EF，FD.求证：△DEF是等边三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵AD＝BE＝CF，∴AE＝BF＝CD.∴△ADE≌△BEF≌△CFD(SAS)．∴DE＝EF＝FD.∴△DEF是等边三角形．
1.如图，△ABC是等边三角形，分别延长AB至点F，BC至点D，CA至点E，使AF＝3AB，BD＝3BC，CE＝3CA．求证：△DEF是等边三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝BC＝CA．∴∠EAF＝∠FBD＝∠DCE＝120°.∵AF＝3AB，BD＝3BC，CE＝3CA，∴AF＝BD＝CE.∴AE＝BF＝CD.∴△AEF≌△BFD≌△CDE(SAS)．∴EF＝FD＝DE.∴△DEF是等边三角形．
⁠ 三个角都相等的三角形是等边三角形
例2 如图，在等边三角形ABC中，点D，E在边AB，AC上，DE∥BC，△ADE是等边三角形吗？请说明理由．
解：△ADE是等边三角形．理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°.∴∠ADE＝∠AED＝∠A．∴△ADE是等边三角形．
2.如图，∠B＝∠C，AB∥DE，EC＝ED.求证：△DEC是等边三角形．
证明：∵∠B＝∠C，AB∥DE，∴∠DEC＝∠B＝∠C.∵EC＝ED，∴∠C＝∠EDC.∴∠DEC＝∠C＝∠EDC.∴△DEC为等边三角形．
⁠ 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
例3 如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°.求证：△ADC是等边三角形．
证明：∵DC＝DB，∠B＝30°，∴∠DCB＝∠B＝30°.∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝60°.∵AD＝DC，∴△ADC是等边三角形．
3.如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，BE⊥AC于点D，且DE＝DB.求证：△CEB是等边三角形．
证明：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，BE⊥AC，∴∠CBE＝∠ABE＝60°.∵DE＝DB，BE⊥AC，∴AC垂直平分BE.∴BC＝CE.∴△CEB是等边三角形．
1．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有(　D　)
2．(2022·湘潭改编)如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段AB＝2，分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点C，D；②连接AC，BC，作直线CD，且CD与AB相交于点H.则下列说法错误的是(　D　)
3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AB于点D，连接DC，则∠DCB的度数为 　30°　 ⁠．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AE是∠BAC是的平分线，CD是AB边上的高，请从图中找出一个等边三角形，并说明理由．
5．如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为点E，且BE∥AC.求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.∵AB平分∠DAE，∴∠BAE＝∠BAD.∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAE.∵AE⊥BE，∴∠E＝90°.又BE∥AC，∴∠EAC＝90°.∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAE＝30°.∴∠BAC＝60°.∴△ABC是等边三角形．
6．【教材P83习题T12改编】在图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
(1)如图1，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；
(2)如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，连接EF，试探究△CEF的形状，并证明你的结论．
(2)△CEF是等边三角形．证明如下：
由(1)知△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMF.
∴△ACE≌△MCF(ASA)．∴CE＝CF.
∵∠ECF＝180°－∠ACM－∠BCN＝60°，
∴△CEF是等边三角形．
1．如图，在△ABC中，下列条件能说明△ABC是等边三角形的是(　C　)
2．已知a，b，c是三角形的三边长，且满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则这个三角形一定是(　B　)
3．如图，在△ABC中，点D为BC延长线上的一点，∠A＝60°，∠ACD＝120°.求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠ACD＝120°，∴∠ACB＝180°－∠ACD＝60°.∵∠A＝60°，∴∠B＝180°－∠A－∠ACB＝60°.∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°.∴△ABC是等边三角形．
4．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝CF，∠BDE＝30°.求证：△ABC是等边三角形．
5．如图，在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．
6．(2022·阳江市期末)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于点E，AD，BE相交于点F.
(1)若∠BAC＝60°，∠C＝70°，求∠AFB的大小；