初中苏科版第三章 勾股定理3.1 勾股定理课后练习题

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（时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（ ）
A．（a+b）2＝c2B．（a﹣b）2＝c2C．a2+b2＝c2D．a2﹣b2＝c2
【答案】C
【解析】解：根据题意得：S＝12（a+b）（a+b），S＝12ab+12ab+12c2，
∴12（a+b）（a+b）＝12ab+12ab+12c2，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得：a2+b2＝c2．
故本题选：C．
2．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠CB．∠A＝32°，∠B＝58°
C．a＝1，b＝1，c＝2D．a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5
【答案】C
【解析】解：A．∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形，不合题意；
B．∵∠A＝32°，∠B＝58°，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形，不合题意；
C．∵a＝1，b＝1，c＝2，12+12≠22，∴△ABC不是直角三角形，符合题意；
D．∵a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5，0.32+0.42＝0.52，∴△ABC是直角三角形，不合题意．
故本题选：C．
3．已知△ABC中，AB＝13，AC＝15，AD⊥BC于D，且AD＝12，则BC的长为（ ）
A．14B．4C．14或4D．14或9
【答案】C
【解析】解：①如图，
锐角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，即BD＝5，
在Rt△ABD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，即CD＝9，
∴BC的长为BD+DC＝9+5＝14，
②如图，
钝角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，即BD＝5，
在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，即CD＝9，
∴BC＝DC﹣BD＝9﹣5＝4．
故本题选：C．
4．如图，分别以直角△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，若S2＝7，S3＝2，那么S1＝（ ）
A．9B．5C．53D．45
【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，AB2＝BC2+AC2，
∵S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，
∴S1＝S2+S3．
∵S2＝7，S3＝2，
∴S1＝7+2＝9．
故本题选：A．
5．如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”；当AC＝3，BC＝4时，计算阴影部分的面积为（ ）
A．6B．6πC．10πD．12
【答案】A
【解析】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝32+42＝25，即AB＝5，
∴阴影部分的面积S＝12×π×（32）2+12×π×（42）2+12×3×4﹣12×π×（52）2＝6．
故本题选：A．
6．如图长方体木箱的长、宽、高分别为12m，4m，3m，则能放进木箱中的直木棒最长为（ ）
A．12mB．13mC．15mD．24m
【答案】B
【解析】解：如图，
∵侧面对角线BC2＝32+42＝52（m2），
∴CB＝5m，
∵AC＝12m，
∴AB＝122+52＝169（m2），即AB＝13（m），
∴空木箱能放的最大长度为13m．
故本题选：B．
7．学校旗杆上的绳子垂到地面还多2米，将绳子的下端拉开6米后，下端刚好接触地面，则旗杆的高度为（ ）
A．8米B．10米C．12米D．14米
【答案】A
【解析】解：画出示意图如下所示：
设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+2）m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∴x2+62＝（x+2）2，
解得：x＝8，
∴AB＝8m，即旗杆的高是8m．
故本题选：A．
8．如图，△ABC中，CA＝CB＝15，AB＝18，且S(1)＝S(2)＝S(3)则，OA2+OB2+OC2的值为（ ）
A．192B．291C．225D．258
【答案】D
【解析】解：如图，延长CO交AB于点M，过点O作OE⊥AC于E，过点O作OF⊥BC于F，
∵S(1)＝S(2)，AC＝BC，
∴OE＝OF，
在Rt△COE和Rt△COF中，
OC＝OCOE＝OF
∴Rt△COE≌Rt△COF（HL），
∴∠OCE＝∠OCF，
又∵AC＝BC，
∴AM＝BM＝9，MC⊥AB，
∴S△AOM＝12S(3)＝12S(1)，
∴OM＝12OC，
在Rt△ACM中，AC＝15，AM＝9，
∴CM2＝AC2﹣AM2＝144，即CM＝12，
∴OC＝8，OM＝4，
∴OC2＝64，
∴OA2＝OM2+AM2＝97，OB2＝OM2+BM2＝97，
∴OA2+OB2+OC2的值为258．
故本题选：D．
9．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“勾股方圆图”（又称赵爽弦图），它是由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为11，小正方形的面积为3，则a4+b4的值为（ ）
A．68B．89C．119D．130
【答案】B
【解析】解：∵大正形面积11，
∴c2＝a2+b2＝11①，
∵小正形面积为3，
∴（a﹣b）2＝3，
∴a2+b2﹣2ab＝3②，
①﹣②得：2ab＝8，
∴ab＝4，
∴a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝112﹣2×42＝89．
故本题选：B．
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝6，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（ ）
A．12B．1C．2D．52
【答案】C
【解析】解：如图，取BC的中点T，连接AT，ET．
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，
∵∠ABD＝∠BCE，
∴∠CBD+∠BCE＝90°，
∴∠CEB＝90°，
∵CT＝TB＝3，
∴ET＝12BC＝3，AT2＝AB2+TB2＝42+32＝25，即AT＝5，
∵AE≥AT﹣ET，
∴AE≥2，
∴AE的最小值为2．
故本题选：C．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分。）
11．一个三角形的三边长之比是5：12：13，且周长是60，则它的面积是 ．
【答案】120
【解析】解：∵三角形的三边长之比是5：12：13，
∴三角形的三边长分别为：60×530＝10，60×1230＝24，60×1330＝26，
∵102+242＝262，
∴三角形为直角三角形，
∴三角形的面积＝12×10×24＝120．
故本题答案为：120．
12．如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支14cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为 ．
【答案】1cm
【解析】解：解：∵CD＝5cm，AD＝12cm，
∴AC2＝52+122＝13（cm），
露出杯口外的长度为＝14﹣13＝1（cm）.
故本题答案为：1cm.
13．如图，已知∠B＝45°，AB＝2cm，点P为∠ABC的边BC上一动点，则当BP2＝ cm时，△BAP为直角三角形．
【答案】2或8
【解析】解：①当∠APB＝90°时，
∵∠B＝45°，AB＝2cm，
∴BP1＝AP1，
∴BP12+AP12＝AB2＝4，
∴BP12＝2；
②当∠BAP＝90°时，
∵∠B＝45°，AB＝2cm，
∴AB＝AP2＝2，
∴BP22＝AB2+AP22＝8．
故本题答案为：2或8．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝3，D为BC边上的点，BD•DC＝16，则AC＝ ．
【答案】5
【解析】解：如图，作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2，AD2＝AE2+DE2，
两式相减得：AB2﹣AD2＝（AE2+BE2）﹣（AE2+DE2）＝BE2﹣DE2＝（BE+DE）•（BE﹣DE）＝BD•DC，
∴AB2＝AD2+BD•DC＝9+16，即AB＝5，
∴AC＝AB＝5．
故本题答案为：5．
15．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝ ．
【答案】2.5
【解析】解：∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形，
∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF，
设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG＝m，S△ACH＝n，
∵a2+b2＝c2，
∴S△ABD+S△ACE＝S△BCF，
∴S1+m+n+S4＝S2+S3+m+n，
∴S4＝3.5+5.5﹣6.5＝2.5．
故本题答案为：2.5．
16．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，对角线AC与BD相交于点E，点F，G分别是AC，BD的中点，当∠CBD＝15°，EG＝EC，FG2＝3时，则线段AC的长为 ．
【答案】6
【解析】解：如图，连接AG，CG，
∵△ABD与△BCD均是BD为斜边的直角三角形，
∴AG＝12BD，CG＝12BD，即AG＝CG，
∴△ACG为等腰三角形，
∵∠CBD＝15°，CG＝BG，
∴∠CGE＝2∠CBD＝30°，
∵EC＝EG，
∴∠ECG＝∠CGE＝30°，
又∵F为AC的中点，
∴GF为△ACG的中线，AF＝CF，
∴由“三线合一”知，GF⊥AC，∠GFC＝90°，
∴CG＝2FG，
∵FG2＝3，
∴CG2＝4FG2＝12，
由勾股定理得：CF2＝CG2﹣FG2＝9，即CF＝3，
∴AC＝2FC＝6．
故本题答案为：6．
17．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD2的长是 ．
【答案】454
【解析】解：在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，
∴BC＝3，
如图，过D作DE⊥AB于E，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，
∴CD＝ED，
在Rt△BCD与Rt△BED中，
CD＝EDBD＝BD，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BE＝BC＝3，
∴AE＝AB﹣BE＝2，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2＝DE2+AE2，
即DE2+22＝（4﹣DE）2，
解得：DE＝32，
∴BD2＝DE2+BE2＝454，
故本题答案为：454．
18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC边上的中点，E为AB边上一点，AB＝4BE，连接CE、DE，延长DE交CB延长线于F，若BF＝3，AB＝10，则CE2＝ ．
【答案】974
【解析】解：取AB的中点G，连接DG，则AB＝2BG，
∵AB＝4BE，
∴BE＝EG，
∵D为AC边上的中点，G为AB的中点，
∴DG为△ABC的中位线，
∴BC＝2DG，DG∥BF，
∴∠GDE＝∠F，
在△GDE和△BFE中，
∠GDE＝∠F∠DEG＝∠FEBGE＝BE，
∴△GDE≌△BFE（AAS），
∴DG＝BF＝3，DE＝EF，
∴BC＝6，
∴CF＝9，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝8，
∴CD＝4，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF2＝CD2+CF2＝97，
∵∠ACB＝90°，EF＝DE，
∴CE＝12DF，
∴CE2＝14DF2＝974，
故本题答案为：974．
三、解答题（本题共8小题，共66分。）
19．（6分）已知△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1．
（1）求证：△ABC是直角三角形．
（2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数．
【答案】（1）证明过程详见解析；（2）3，4，5；8，6，10（答案不唯一）
【解析】（1）证明：∵△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1，
又当m＞1时，m2﹣1＜m2+1，2m＜m2+1，
∴（m2﹣1）2+（2m）2＝m4+1﹣2m2+4m2＝（m2+1）2，
即a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：当m＝2时，直角三角形的边长为3，4，5；
当m＝3时，直角三角形的边长为8，6，10（答案不唯一）．
20．（6分）已知：如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AB上一点，F是AC上一点．若∠EDF＝90°，且BE2+FC2＝EF2，求证：∠BAC＝90°．
【答案】证明过程详见解析
【解析】证明：如图，延长FD到G使DG＝DF，连接BG，EG，
∵D为BC中点，
∴BD＝CD，
∵在△BDG和△CDF中，
BD＝CD∠BDG＝∠CDFDG＝DF，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴BG＝FC，∠GBD＝∠C，
∴BG∥AC，DG＝DF，
∵ED⊥DF，
∴EG＝EF，
∵BE2+FC2＝EF2，
∴BE2+BG2＝EG2，
∴∠ABG＝90°，
∵BG∥AC，
∴∠A+∠ABG＝180°，
∴∠BAC＝90°．
21．（8分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．
【答案】（1）BC＝4cm；（2）t的值为4s或254s
【解析】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝4cm；
（2）由题意得：BP＝tcm，分两种情况：
①当∠APB＝90°时，如图1，点P与点C重合，
∴BP＝BC＝4cm，
∴t＝4；
②当∠BAP＝90°时，如图2所示，
则CP＝（t﹣4）cm，∠ACP＝90°，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP2＝AC2+CP2，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2＝BP2﹣AB2，
∴AC2+CP2＝BP2﹣AB2，
即32+（t﹣4）2＝t2﹣52，
解得：t＝254；
综上，当△ABP为直角三角形时，t的值为4s或254s．
22．（8分）如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向320千米的B处，以24千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．
（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；
（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？
【答案】（1）A市会受到台风影响，理由详见解析；（2）10小时
【解析】解：（1）A市会受到台风影响，理由如下：
如图，过A作AC⊥BF于C，
∵AC＝12AB＝160km＜200km，
∴A市会受到台风影响；
（2）过A作AD＝AE＝200km，交BF于点D，E，
∴DC2＝AD2﹣AC2＝120km，
∵DC＝CE，A市气象站测得台风中心在A市正东方向320km的B处，以24千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，
∴该市受台风影响的时间为：120×224＝10（小时）．
23．（8分）如图，斜靠墙上的一根竹竿AB长为13m，端点B离墙角的水平距离BC长为5m．
（1）若A端下移的距离等于B端沿CB方向移动的距离，求下移的距离．
（2）在竹竿滑动的过程中，△ABC面积有最 值（填“大”或“小”）为 （两个空直接写出答案不需要解答过程）．
【答案】（1）下移的距离为7m；（2）大，1694m2
【解析】解：（1）设AA1＝BB1＝xm，
则A1C＝（12﹣x）m，CB1＝（5+x）m，
由勾股定理得：A1C2+CB12＝A1B12，
即（12﹣x）2+（5+x）2＝132，
解得：x＝7，即AA1＝7m．
答：下移的距离为7m；
（2）如图，以A1B1为底，过C作A1B1的垂线CD，D为垂足，
设Rt△A1CB1斜边上的中线为CP，则CP＝132m，
在竹竿下滑过程中，当CD为△A1CB1的中线时，△A1CB1的面积最大，
最大值＝12×13×132＝1694（m2）．
24．（10分）操作与探究
（1）图1是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图1的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形．
（2）如果（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c．请你利用图2中拼成的大正方形证明勾股定理．
（3）应用：测量旗杆的高度
校园内有一旗杆，小希想知道旗杆的高度，经观察发现从顶端垂下一根拉绳，于是他测出了下列数据：①测得拉绳垂到地面后，多出的长度为0.5米；②他在距离旗杆4米的地方拉直绳子，拉绳的下端恰好距离地面0.5米．请你根据所测得的数据设计可行性方案，解决这一问题．（画出示意图并计算出这根旗杆的高度）
【答案】（1）作图详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）旗杆的高度为8米
【解析】解：（1）如图所示即为拼接成的大正方形；
（2）S大正方形＝4×12ab+（b﹣a）2＝2ab+b2﹣2ab+a2＝a2+b2，且S大正方形＝c2，
∴a2+b2＝c2；
（3）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AD比AB长0.5米，BC＝4米，CD＝0.5米，求旗杆的高度即求AB的长．
过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝∠DEB＝90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴ED＝BC＝4米，BE＝DC＝0.5米，
设AB＝x米，则AD＝（x+0.5）米，AE＝（x﹣0.5）米，
在Rt△AED中，根据勾股定理得：AD2＝AE2+ED2
∴（x+0.5）2＝（x﹣0.5）2+42，
解得：x＝8，
答：旗杆的高度为8米．
25．（10分）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是12(9﹣1)，12(9+1)；勾是五时，股和弦的算式分别是12(25﹣1)，12(25+1)．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；
（2）根据（1）的规律，请用含n（n为奇数，且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明；
（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数，且m＞4）的代数式来表示股和弦．
【答案】（1）12(72﹣1)，12(72+1)；（2）（ⅰ）弦﹣股＝1，（ⅱ）勾2+股2＝弦2，证明过程详见解析；（3）m，(m2)2﹣1，(m2)2+1
【解析】解：（1）12(72﹣1)，12(72+1)；
（2）当n≥3，且n为奇数时，勾、股、弦分别为：n，12(n2﹣1)，12(n2+1)，
它们之间的关系为：（ⅰ）弦﹣股＝1，（ⅱ）勾2+股2＝弦2．
如证明（ⅰ）：弦﹣股＝12(n2+1)﹣12(n2﹣1)＝12n2+12﹣12n2+12＝1；
如证明（ⅱ）：勾2+股2＝n2+14(n2﹣1)2＝n2+14n4﹣12n2+14＝14n4+12n2+14＝14(n2+1)2＝弦2；
（3）当m＞4，且m为偶数时，勾、股、弦分别为：m，(m2)2﹣1，(m2)2+1．
26．（10分）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当t＝2秒时，求PQ2的长；
（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
【答案】（1）PQ2＝52cm2；（2）83秒；（3）当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形
【解析】解：（1）BQ＝2×2＝4cm，BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，
∵∠B＝90°，
∴PQ2＝BQ2+BP2＝52cm2；
（2）根据题意得：BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解得：t＝83，
即出发时间为83秒时，△PQB是等腰三角形；
（3）分三种情况：
①当CQ＝BQ时，如图1，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴AQ＝BQ＝CQ，
∵∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，
∴AC＝10cm，
∴CQ＝AQ＝12AC＝5cm，
∴BC+CQ＝11cm，
∴t＝11÷2＝5.5秒；
②当CQ＝BC时，如图2，
则BC+CQ＝12cm，
∴t＝12÷2＝6秒；
③当BC＝BQ时，如图3，过B点作BE⊥AC于点E，
则BE＝AB•BCAC＝4.8cm，
∴CE2＝BC2−BE2，即CE＝3.6cm，
∴CQ＝2CE＝7.2cm，
∴BC+CQ＝13.2cm，
∴t＝13.2÷2＝6.6秒．
综上，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．