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【备战2024年中职高考】中职数学 一轮复习专题训练（考点讲与练）专题20 正弦定理和余弦定理 （讲）.zip
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这是一份【备战2024年中职高考】中职数学 一轮复习专题训练（考点讲与练）专题20 正弦定理和余弦定理 （讲）.zip，文件包含备战2024年中职高考中职数学一轮复习之专题突破讲练测专题20正弦定理和余弦定理讲-中职专用中职高考数学一轮复习讲练测考点讲与练原卷版docx、备战2024年中职高考中职数学一轮复习之专题突破讲练测专题20正弦定理和余弦定理讲-中职专用中职高考数学一轮复习讲练测考点讲与练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共14页， 欢迎下载使用。
一、考点要求
二、考点梳理
1、三角形有关性质
（1）在△ABC中，A＋B＋C＝；a＋bc，a－bb⇔sin Asin B⇔AB；
（2）三角形面积公式：S△ABC＝eq \f(1,2)ah＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝ ；
（3）在三角形中有：sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或⇔三角形为等腰或直角三角形；
sin(A＋B)＝sin C，，sin eq \f(A＋B,2)＝cs eq \f(C,2).
2.正弦定理和余弦定理
3、解斜三角形的类型
（1）已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解；
（2）已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在中，已知、和角时，解的情况如下：
上表中，为锐角，时，无解；为钝角或直角时，或均无解.
三、考点剖析
考点一 利用正余弦定理解三角形
【例1】在△ABC中：
，，，求；
（2），，，求；
（3），求角、、；
（4），，，判断的形状.
【答案】（1），（2）,(3)为钝角三角形.
【解析】
（1）由正弦定理得，又
得，.
（2）由正弦定理得，，故
（3）令，，，
由余弦定理的推论得
，同理，，，，.
（4）， 最大
由余弦定理的推论得
， 为钝角三角形.
【变式练习1】在△ABC中，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在△ABC中，已知，，，由余弦定理得：，
故选：A
【变式练习2】记△ABC的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【解析】根据正弦定理有，得； 故选：D.
【由题悟法】在解三角形时，常常将正弦定理、余弦定理结合在一起使用，要注意恰当地选取定理，简化运算过程，提高解题速度，同时要挖掘题目中的隐含条件.解题时，要综合、灵活地运用两个定理，认真分析已知条件，选择需要先解的三角形和相关定理，并结合三角形的有关性质，如大边对大角、内角和定理等.注意数形结合，正确地求解三角形，防止出现漏解或增解的情况.
考点二、三角形解的情况的判定
【例2】在△ABC中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，则此三角形的解的情况是（ ）
A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定
【答案】C
【解析】由正弦定理可得可得，所以无解，所以三角形的解的情况是无解，故选:C.
【例3】不解三角形，判断下列三角形解的个数
（1），，； （2），， ；
（3），，； （4），，.
【解析】（1）唯一解，（2）无解，（3）两解，（4）两解
（1），且为钝角， 有唯一解；
（2），且为钝角， 有无解；
（3）， ， 有两解；
（4），又，故有两解.
【变式练习】在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情况为（ ）
A．一个解B．二个解C．无解D．无法确定
【答案】B
【解析】因为，如图所示：
所以，即，所以三角形解的情况为二个解. 故选：B
【由题悟法】
方法总结：已知三角形的两边和其中一边的对角，由正弦定理可以求出另一边的对角的正弦值，从而解出三角形，但这个三角形不一定有解.这类问题可以通过计算来判断，也可以通过画图用几何方法来判断.讨论时应注意两点：一是其正弦值与“1”的大小关系，从而决定符合正弦值的角是否存在；二是由此确定的角有几个，它与已知角的和是否小于.
考点三 、三角形形状的判定
【例4】在中，，试判断三角形的形状.
【答案】直角三角形
【解析】由余弦定理代入已知条件得，
整理，得，
即，，即或
根据勾股定理知是直角三角形.
【变式练习1】已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，则一定为_____三角形．
【答案】等腰
【解析】因为，由正弦定理可得，即，故一定为等腰三角形.
故答案为：等腰.
【变式练习2】在中，，则三角形的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形
C．正三角形D．等腰三角形
【答案】A
【解析】中，，则，整理得，则，
则的形状为直角三角形，故选：A.
【由题悟法】
依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：
（1）利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
（2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
考点四、求三角形面积
【例5】在中，，，，则的面积等于______．
【答案】
【解析】在中，由余弦定理得：
，解得：，
所以的面积为：.故答案为：.
【变式练习1】在中，有.
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）解：由题意可得，，故.
（2）解：由三角形的面积公式可得.因此，的面积为.
【变式练习2】在中，内角所对的边长分别为，且满足.
(1)求；
(2)若，求.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）因为，由正弦定理可得，
因为，所以，因为为三角形的内角，所以
（2）因为，，，由正弦定理可得：，所以
因为为三角形的内角，所以，.
【由题悟法】求三角形面积一般步骤如下：
第一步 利用正、余弦定理求出三角形的基本元素如角与边
第二步 结合三角形的面积公式直接计算其面积
考点五、 正、余弦定理与其他知识的综合应用
【例6】中，已知，.
（1）求的值；
（2）若，为的中点，求的长.
【答案】（1）,(2)
【解析】（1），且，
（2）由（1）得，
由正弦定理得，即，解得.
在中，，，.
【变式练习1】已知的内角所对的边长分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1),(2),(3)
【解析】（1）在中，，，，
由余弦定理得，又因为，所以；
（2）在中，由（1）知，，，
由正弦定理可得；
（3）由知，所以角A为锐角，因为，所以，
所以，，
所以.
【由题悟法】正、余弦定理与三角函数、平面向量综合考查出现频率较高.解决此类问题首先要把握题目重点考查知识点是什么，它们之间有怎样的联系，怎样将他们整合在一起，然后，将问题合理转化，特别注意三角形中角范围的限制.
考试内容
考试要求
1.利用正余弦定理解三角形
2.判断三角形形状
3.由余弦定理求角的大小
4.求三角形面积
掌握
掌握
掌握
掌握
定理
正弦定理
余弦定理
内容
变形
形式
= 1 \* GB3 ①，，；
②，，；
③；
④.
；
；
解决
的问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.
为锐角
为钝角或直角
图
形
关系式
解个数
无解
一解
两解
一解
一解
一、考点要求
二、考点梳理
1、三角形有关性质
（1）在△ABC中，A＋B＋C＝；a＋bc，a－b
（2）三角形面积公式：S△ABC＝eq \f(1,2)ah＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝ ；
（3）在三角形中有：sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或⇔三角形为等腰或直角三角形；
sin(A＋B)＝sin C，，sin eq \f(A＋B,2)＝cs eq \f(C,2).
2.正弦定理和余弦定理
3、解斜三角形的类型
（1）已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解；
（2）已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在中，已知、和角时，解的情况如下：
上表中，为锐角，时，无解；为钝角或直角时，或均无解.
三、考点剖析
考点一 利用正余弦定理解三角形
【例1】在△ABC中：
，，，求；
（2），，，求；
（3），求角、、；
（4），，，判断的形状.
【答案】（1），（2）,(3)为钝角三角形.
【解析】
（1）由正弦定理得，又
得，.
（2）由正弦定理得，，故
（3）令，，，
由余弦定理的推论得
，同理，，，，.
（4）， 最大
由余弦定理的推论得
， 为钝角三角形.
【变式练习1】在△ABC中，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在△ABC中，已知，，，由余弦定理得：，
故选：A
【变式练习2】记△ABC的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【解析】根据正弦定理有，得； 故选：D.
【由题悟法】在解三角形时，常常将正弦定理、余弦定理结合在一起使用，要注意恰当地选取定理，简化运算过程，提高解题速度，同时要挖掘题目中的隐含条件.解题时，要综合、灵活地运用两个定理，认真分析已知条件，选择需要先解的三角形和相关定理，并结合三角形的有关性质，如大边对大角、内角和定理等.注意数形结合，正确地求解三角形，防止出现漏解或增解的情况.
考点二、三角形解的情况的判定
【例2】在△ABC中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，则此三角形的解的情况是（ ）
A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定
【答案】C
【解析】由正弦定理可得可得，所以无解，所以三角形的解的情况是无解，故选:C.
【例3】不解三角形，判断下列三角形解的个数
（1），，； （2），， ；
（3），，； （4），，.
【解析】（1）唯一解，（2）无解，（3）两解，（4）两解
（1），且为钝角， 有唯一解；
（2），且为钝角， 有无解；
（3）， ， 有两解；
（4），又，故有两解.
【变式练习】在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情况为（ ）
A．一个解B．二个解C．无解D．无法确定
【答案】B
【解析】因为，如图所示：
所以，即，所以三角形解的情况为二个解. 故选：B
【由题悟法】
方法总结：已知三角形的两边和其中一边的对角，由正弦定理可以求出另一边的对角的正弦值，从而解出三角形，但这个三角形不一定有解.这类问题可以通过计算来判断，也可以通过画图用几何方法来判断.讨论时应注意两点：一是其正弦值与“1”的大小关系，从而决定符合正弦值的角是否存在；二是由此确定的角有几个，它与已知角的和是否小于.
考点三 、三角形形状的判定
【例4】在中，，试判断三角形的形状.
【答案】直角三角形
【解析】由余弦定理代入已知条件得，
整理，得，
即，，即或
根据勾股定理知是直角三角形.
【变式练习1】已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，则一定为_____三角形．
【答案】等腰
【解析】因为，由正弦定理可得，即，故一定为等腰三角形.
故答案为：等腰.
【变式练习2】在中，，则三角形的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形
C．正三角形D．等腰三角形
【答案】A
【解析】中，，则，整理得，则，
则的形状为直角三角形，故选：A.
【由题悟法】
依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：
（1）利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
（2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
考点四、求三角形面积
【例5】在中，，，，则的面积等于______．
【答案】
【解析】在中，由余弦定理得：
，解得：，
所以的面积为：.故答案为：.
【变式练习1】在中，有.
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）解：由题意可得，，故.
（2）解：由三角形的面积公式可得.因此，的面积为.
【变式练习2】在中，内角所对的边长分别为，且满足.
(1)求；
(2)若，求.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）因为，由正弦定理可得，
因为，所以，因为为三角形的内角，所以
（2）因为，，，由正弦定理可得：，所以
因为为三角形的内角，所以，.
【由题悟法】求三角形面积一般步骤如下：
第一步 利用正、余弦定理求出三角形的基本元素如角与边
第二步 结合三角形的面积公式直接计算其面积
考点五、 正、余弦定理与其他知识的综合应用
【例6】中，已知，.
（1）求的值；
（2）若，为的中点，求的长.
【答案】（1）,(2)
【解析】（1），且，
（2）由（1）得，
由正弦定理得，即，解得.
在中，，，.
【变式练习1】已知的内角所对的边长分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1),(2),(3)
【解析】（1）在中，，，，
由余弦定理得，又因为，所以；
（2）在中，由（1）知，，，
由正弦定理可得；
（3）由知，所以角A为锐角，因为，所以，
所以，，
所以.
【由题悟法】正、余弦定理与三角函数、平面向量综合考查出现频率较高.解决此类问题首先要把握题目重点考查知识点是什么，它们之间有怎样的联系，怎样将他们整合在一起，然后，将问题合理转化，特别注意三角形中角范围的限制.
考试内容
考试要求
1.利用正余弦定理解三角形
2.判断三角形形状
3.由余弦定理求角的大小
4.求三角形面积
掌握
掌握
掌握
掌握
定理
正弦定理
余弦定理
内容
变形
形式
= 1 \* GB3 ①，，；
②，，；
③；
④.
；
；
解决
的问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.
为锐角
为钝角或直角
图
形
关系式
解个数
无解
一解
两解
一解
一解
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