【备战2024年中职高考】中职数学 一轮复习专题训练（考点讲与练）专题31 双曲线（讲）.zip

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二、考点梳理
1．双曲线的定义
平面内与定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2． 双曲线的标准方程和几何性质
3.基础三角形
如图，△AOB中，|OA|＝a，|AB|＝ b ，|OB|＝c，tan∠AOB＝eq \f(b,a)，
△OF2D中，|F2D|＝ b .
4、等轴双曲线
等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝，渐近线方程为.
三、考点分类剖析
考点一、双曲线的定义
【例1】动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是( )．
双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线
【答案】D
[解析]：依题意|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹不是双曲线，而是一条射线．
【变式练习1】．已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和5时，P点的轨迹分别是( )．
A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线
【答案】C
解析：当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|，所以P点轨迹是双曲线的一支；
当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝10＝|F1F2|，所以P点轨迹是以F2为起点的一条射线．
【变式练习2】双曲线 ​的左、右焦点分别为​点​位于其左支上，则​（ ）
A．​B．​C．​D．​
【答案】D
【解析】由题意得，，，所以 .
故选：D.
【变式练习3】双曲线上的点到左焦点的距离为6，则到右焦点的距离为（ ）
A．B．10C．或10D．
【答案】B
【解析】由题知双曲线，
所以 ，
记左，右焦点分别为 ，
所以根据定义得 ，
因为,
所以或，
因为时，，即不满足题意，
所以，
故选B
【总结】：根据双曲线的定义判断动点轨迹时，一定要注意双曲线的定义中的各个条件，不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数，就认为其轨迹是双曲线，还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大于零，否则就不是双曲线．
考点二、双曲线标准方程
【例2】已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得：双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，
，故，又，
故，
故双曲线的标准方程为：.
故选：C
【变式练习1】若双曲线以椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，
则双曲线的标准方程为__________．
【答案】eq \f(x2,7)－eq \f(y2,9)＝1
【解析】：椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的焦点在x轴上，且a＝4，b＝3，c＝eq \r(7)，所以焦点为(±eq \r(7)，0)，顶点为(±4,0)．
于是双曲线经过点(±eq \r(7)，0)，焦点为(±4,0)，
于是a′＝eq \r(7)，c′＝4，所以b′2＝9，
所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,7)－eq \f(y2,9)＝1．
【变式练习2】求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－4eq \r(2))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，5))；
(2)与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1有公共焦点，且过点(3eq \r(2)，2)．
【答案】（1）eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1；（2）eq \f(x2,12)－eq \f(y2,8)＝1
【解析】(1)由已知，可设所求双曲线方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(32,a2)－\f(9,b2)＝1，,\f(25,a2)－\f(81,16b2)＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝16，,b2＝9，))∴双曲线的方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1．
(2)解法一：设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1．
由题意知c＝2eq \r(5)．
∵双曲线过点(3eq \r(2)，2)，∴eq \f((3\r(2))2,a2)－eq \f(4,b2)＝1．
又∵a2＋b2＝(2eq \r(5))2，∴a2＝12，b2＝8．
故所求双曲线的方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,8)＝1．
解法二：设双曲线方程为eq \f(x2,16－k)－eq \f(y2,4＋k)＝1(－4＜k＜16)，
将点(3eq \r(2)，2)代入得k＝4，∴所求双曲线的方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,8)＝1．[
【变式练习3】．过点(1,1)且eq \f(b,a)＝eq \r(2)的双曲线的标准方程是( )．
eq \f(x2,\f(1,2))－y2＝1 B．eq \f(y2,\f(1,2))－x2＝1 C．x2－eq \f(y2,\f(1,2))＝1 D．eq \f(x2,\f(1,2))－y2＝1或eq \f(y2,\f(1,2))－x2＝1
【答案】D
【解析】：由于eq \f(b,a)＝eq \r(2)，∴b2＝2a2．
当焦点在x轴上时，设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,2a2)＝1，将点(1,1)代入，得a2＝eq \f(1,2)．
此时双曲线方程为eq \f(x2,\f(1,2))－y2＝1．
同理求得焦点在y轴上时，双曲线方程为eq \f(y2,\f(1,2))－x2＝1．
【总结】
1．双曲线标准方程的求解方法是“先定型，后计算”．所谓“定型”，是指确定类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴，从而设出相应的标准方程的形式；所谓“计算”，是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2的值，最后写出双曲线的标准方程．
2．在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)．
3．与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1共焦点的双曲线的标准方程可设为eq \f(x2,a2－λ)－eq \f(y2,b2＋λ)＝1(－b2＜λ＜a2)．
考点三、双曲线离心率
【例3】设双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】双曲线 的渐近线方程为： ，
又 ；
故选：A.
【变式练习1】已知双曲线的离心率是2，则（ ）
A．12B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得，
解得，
故选：B.
【变式练习2】．已知F1，F2是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
【答案】1＋eq \r(2)．
【解析】设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得eq \f(c2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，则y＝±eq \f(b2,a)．
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，
知|PF1|＝|F1F2|，
∴eq \f(b2,a)＝2c，∴b2＝2ac．
∴c2－2ac－a2＝0，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))2－2×eq \f(c,a)－1＝0．
即e2－2e－1＝0．
∴e＝1＋eq \r(2)或e＝1－eq \r(2)(舍去)．
∴所求双曲线的离心率为1＋eq \r(2)．
【总结】
(1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a，c，再计算e＝eq \f(c,a)；二是依据条件建立参数a，b，c的关系式，如果含有b，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含eq \f(b,a)的方程，求出eq \f(b,a)后利用e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))求离心率．
(2)双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数，常与直线、三角形、向量等平面几何知识综合考查，求双曲线离心率(或离心率的取值范围)的关键是由条件寻找a，c所满足的等式(或不等式)．
考点四、双曲线渐近线方程
【例4】双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】双曲线焦点在轴上，
所以渐近线斜率为，
则其渐近线方程为：.
故选：C.
【变式练习1】已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【解析】因为双曲线为，所以它的一条渐近线方程为；
因为渐近线方程为，所以.
故选：C.
【变式练习2】若双曲线的渐近线与圆相切，则k=（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】B
【解析】双曲线的渐近线方程为，即,
∵双曲线的渐近线与圆相切，且圆心为，
∴，解得．
故选：B
考点五、双曲线的焦距、焦点坐标
【例5】已知双曲线，则双曲线的焦距是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得，
则，所以焦距为．
故选：D.
【变式练习1】已知双曲线，下列结论正确的是（ ）
A．C的实轴长为B．C的渐近线方程为
C．C的离心率为D．C的一个焦点的坐标为
【答案】C
【解析】对A，C的实轴长为，A错；
对B，C的渐近线方程为，B错；
对C，C的离心率为，C对；
对D，C的焦点的坐标为，D错.
故选：C
【变式练习2】已知双曲线：，则的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【解析】由题知双曲线的标准方程为，
所以其焦点坐标为，其渐近线方程为，即，
又根据双曲线的对称性，
不妨取焦点到渐近线方程为的距离，
故的焦点到其渐近线的距离为．
故选：A．
考点六、双曲线几何性质
【例6】设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是( )
eq \r(2) B．eq \r(3) C．eq \f(\r(3)＋1,2) D．eq \f(\r(5)＋1,2)
【答案】D
【解析】：不妨设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，取虚轴的一个端点为B(0，b)，一个焦点为F(c,0)，
则直线FB与渐近线y＝eq \f(b,a)x垂直，∴－eq \f(b,c)·eq \f(b,a)＝1．∴b2－ac＝0．又∵c2＝a2＋b2，∴c2－ac－a2＝0．
∴e2－e－1＝0，解得e＝eq \f(1＋\r(5),2)或e＝eq \f(1－\r(5),2)(舍去)．
【变式练习】设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2eq \r(3)，则双曲线的渐近线方程为( )
y＝±eq \r(2)x B．y＝±2x C．y＝±eq \f(\r(2),2)x D．y＝±eq \f(1,2)x
【答案】C
【解析】：由已知2b＝2,2c＝2eq \r(3)，[来源:学§科§网Z§X§X§K]
∴b＝1，c＝eq \r(3)．∴a2＝c2－b2＝2．
由双曲线的焦点在x轴上，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(\r(2),2)x．
【总结】
(1)已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准方程的先化为标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c的值，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．
(2)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即可得渐近线方程，这样就不至于记错了．
考点七、直线与双曲线的位置关系
【例7】已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试讨论实数k的取值范围．
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
【解析】由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－y2＝4，,y＝kx－1，))消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0．(*)
当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线渐近线平行，方程(*)化为2x＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点．
当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)·(－k2－4)＝4(4－3k2)．
①eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－3k2>0，,1－k2≠0，))即－eq \f(2\r(3),3)＜k＜eq \f(2\r(3),3)，且k≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．
②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－3k2＝0，,1－k2≠0，))即k＝±eq \f(2\r(3),3)时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有一个公共点．
③eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－3k20，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴对称中心：原点
对称轴：坐标轴对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
通径
过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为eq \f(2b2,a)
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)