广东省揭阳市惠来县2023-2024九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份广东省揭阳市惠来县2023-2024九年级上学期期末数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
九年级数学
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．若是关于 的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．B． C．D．
2．一个不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共10个，它们除颜色外其他都相同．小明多次摸球后记录并放回小球重复试验，发现摸到红色小球的频率稳定在0.4左右，由此可知盒子中黄色小球的个数可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．如图，每个小正方形的边长均为，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）

A． B．
C． D．
4．已知点在又曲线的图象上，则下列四个点中，在双曲线上的点是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，，，则的面积为（ ）
A．24B．30C．40D．48
6．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能证明的是（ ）
A． B． C．D．
7．如图所示的是反比例函数和一次函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．反比例函数的解析式是B．一次函数的解析式为
C．当时，最大值为1D．若，则
8．如图，已知四边形是平行四边形，下列三个结论：①当时，它是菱形，②当时，它是矩形，③当时，它是正方形．其中结论正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
9．如图，树在路灯的照射下形成投影，若树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度是( )

A．3B．4C．5D．6
10．如图，矩形与矩形是位似图形，点是位似中心．若点，点E的横坐标为，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若点都在反比例函数的图象上，则 （填“”或“”）．
12．若，则 ．
13．如图，电路图上有4个开关和1个小灯泡，同时闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为 ．

14．小颖将几盒粉笔整齐地摞在讲台桌上，同学们发现从正面，左面，上面三个方向看到的粉笔形状相同（如图所示），那么这摞粉笔一共有 盒．
15．两千多年前古希腊数学家欧多克索斯发现黄金分割，如图，点P是线段上一点，若满足，即，则称点P是的黄金分割点．黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是 ．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16．如图，是由5个大小相同的小立方体搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1厘米．
(1)直接写出这个几何体的表面积： ．
(2)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．
17．将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入函数中，所得函数值记为，再将代入函数中，所得函数值记为，…，如此继续下去．
(1)完成下表
(2)观察上表，你发现了什么规律？猜想 ．
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)当该方程的判别式的值最小时，写出m的值，并求出此时方程的解．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降了x元．
(1)完成下列表格（用含x的式子填空）．
(2)当衬衫的单价降多少元时，商场销售这批衬衫每天可盈利元，且对消费者更有利？
(3)能否通过降价使商场销售这批衬衫每天盈利元？
20．每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月3号，嘉祥某校区采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答：

(1)接受测评的学生共有_____人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为____；并补全条形统计图；
(2)若校区共有学生3200人，请估计该校区学生对消防安全知识达到“良”及“良”级以上程度的人数；
(3)测评成绩前三名的学生恰好是1个女生和2个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加区级消防安全知识竞赛，求出抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率．
21．如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，与反比例函数的图象分别交于两点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)当时，求自变量x的取值范围；
(3)若点在轴上，且，求点的坐标．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量旗杆高度

问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？
组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，标杆，镜子，甚至还可以利用无人机确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案：
请同学们根据上述材料，完成下列任务：
任务一：
根据上述方案及数据，请你选择一个方案，求出学校旗杆的高度．（结果精确到；
任务二：

（1）小宇选择的测量工具是镜子和皮尺，图③是该方案的示意图．其中线段表示学校旗杆，请写出需要测量的线段有哪些？
（2）请写出一条利用小宇设计的方案进行测量时的注意事项．
23．定义：若一个四边形满足三个条件①有一组对角互补，②一组邻边相等，③相等邻边的夹角为直角，则称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形．根据以上定义，解答下列问题．
(1)如图1，四边形是正方形，点在边上，点在边的延长线上，且，连接，，请根据定义判断四边形是否是“直等补”四边形，并说明理由．
(2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，于点，若，，求的长．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据方程的解的定义：使方程成立的未知数的值，将代入一元二次方程，得到关于的方程即可．
【详解】解：是关于 的一元二次方程的一个根，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据解的定义得出一个关于m的方程．
2．D
【分析】本题考查了利用频率估计概率．关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数．
【详解】解：设袋中有黄色小球x个，
由题意得，
解得：．
故选：D．
3．B
【分析】根据题意可得：，，，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可．
【详解】解：∵每个小正方形的边长均为，
∴，，，
A．该三角形的三边分别为：，，，但，则这个三角形与不相似，故此选项不符合题意；
B．该三角形的三边分别为：，，，且，则这个三角形与相似，故此选项符合题意；
C．该三角形的三边分别为：，，，但，则这个三角形与不相似，故此选项不符合题意；
D．该三角形的三边分别为：，，，但，则这个三角形与不相似，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，正方形的性质，勾股定理，注意：三组对应边的比相等的两个三角形相似．掌握相似三角形的判定是解题的关键．
4．D
【分析】根据已知点求出值，即可知双曲线上的点的横纵坐标之积为2，据此即可作答．
【详解】∵已知点在又曲线的图象上，
∴，
∴即双曲线上的点的横纵坐标之积为2，
∵，，，，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了求解双曲线的解析式的知识，将已知点的坐标代入双曲线解析式求出k值是解答本题的关键．
5．A
【分析】先解直角三角形，求出的长，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，正确根据正弦的定义求出的长是解题的关键．
6．C
【分析】本题考查相似三角形的判定．结合相似三角形的判定定理对各个选项进行分析，从而即可选择．
【详解】解：添加A选项后，两个三角形的两个对应角相等，故A不符合题意；
添加B选项后，两个三角形的两个对应角相等，故B不符合题意；
添加C选项后，两边对应成比例，夹角不一定相等，不能证明；
添加D选项后，∵，
∴，即，
∴两个三角形的两个对应角相等，可证明．
故选：C．
7．D
【分析】结合图象，求出两个函数的解析式，再逐一进行判断即可。
【详解】解：A、由图象可知，两个函数图象相交于两个点，其中一个点坐标为，
把代入得，，
，选项错误，不符合题意；
B、当时，，
另一个交点坐标为：，
直线解析式为：，分别代入，，得：
，
解得，
，选项错误，不符合题意；
C、由图象可知，当时，随的增大而减小，当时，，选项错误，不符合题意；
D、由图象可知， ，直线在双曲线的下方，，选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点、反比例函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式．解题的关键是待定系数法求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解．
8．B
【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐个进行判断即可得出结论．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴当时，是菱形．
故①正确；
∵四边形是平行四边形，
∴当时，是菱形．
故②错误；
∵四边形是平行四边形，
∴当时，是矩形．
故③错误；
∴正确的只有①；
故选B．
【点睛】本题主要考查了特殊平行四边形的判定，熟练掌握菱形、矩形、正方形的判定定理是解题的关键．
9．C
【分析】根据在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变建立等量关系即可求解．
【详解】解：在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变,
∵当树高，树影，且
∴ ，代入得：
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了利用相似三角形测高，掌握同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变是解题关键．
10．A
【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出，是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，进而证明，根据相似三角形的性质求出，得到答案．
【详解】解：∵四边形为矩形，，
∴，
∵矩形与矩形是位似图形，
∴，，
∴
∴，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为，
故选：A．
11．
【分析】根据题意求得，，进而即可求解．
【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比较反比例函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
12．4
【分析】将即展开即可确定a的值．
【详解】解：∵，
．
故答案为：4
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
13．
【分析】根据题意可得随机闭合两个开关有六种情况，其中能使小灯泡发光的有2种，由此问题可求解．
【详解】解：由题意得：随机闭合两个开关有六种情况，其中能使小灯泡发光的有2种，
∴小灯泡发光的概率为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用列举法求解概率是解题的关键．
14．4
【分析】根据从正面看到的图形可知，这摞粉笔由两层，根据从上面看到的图形可知，第一层粉笔有3盒，根据从左边看到的图形可知，第二层有1盒，即可得出答案．
【详解】根据从正面看到的图形可知，这摞粉笔由两层，根据从上面看到的图形可知，第一层粉笔有3盒，根据从左边看到的图形可知，第二层有1盒，
所以，共有4盒，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了由从不同方向看到的图形判断小正方体的个数，熟练掌握知识点是解题的关键．
15．
【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．本题由再建立方程即可．
【详解】解：由题意知米，，
而，即，
∴，
∴，
故答案为：
16．(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据几何体的形状得出其表面积即可；
（2）直接利用三视图的画法得出符合题意的答案即可．
【详解】（1）解：这个几何体的表面积为：；
故答案为：．
（2）解：如图所示：
【点睛】本题主要考查了三视图，正确掌握不同视图的观察角度是解题关键．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，求反比例函数值：
（1）根据规律计算，依次求出即可；
（2）由（1）计算的结果，发现循环规律，由此求即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴，
，
，
∴，
填表如下：
（2）解：由（1）的计算结果可知这一列数，每3个数为一个循环，，2，依次出现，
∵，
∴，
故答案为：．
18．(1)见解析
(2)，
【分析】（1）判断判别式的符号，即可得证；
（2）求出判别式的值最小时的m的值，再解一元二次方程即可．
【详解】（1）证明：∵，
∵，
∴．
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：由题意可知，当时，的值最小．
将代入，得
解得：．
【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及解一元二次方程．熟练掌握判别式与根的个数的关系，以及解一元二次方程的方法，是解题的关键．
19．(1)；；
(2)元；
(3)不能通过降价使商场销售这批衬衫每天盈利元；
【分析】（1）本题考查列代数式，根据衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件列式即可得到答案；
（2）本题考查一元二次方解决实际应用问题，根据利润列方程求解即可得到答案；
（3）本题考查一元二次方解决实际应用问题，根据利润列方程求解即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
降价后每天的销售量：件，
每件衬衫利润为：元，
故答案为：；；
（2）解：由题意可得，
，
整理得，
，
解得：（不符合题意舍去），，
答：当衬衫的单价降元时，商场销售这批衬衫每天可盈利元；
（3）解：由题意得，
，
整理得，
，
此方程没有实数根，
答：不能通过降价使商场销售这批衬衫每天盈利元．
20．(1)160，；补图见解析
(2)人
(3)
【分析】（1）根据等级为中的人数及其所占百分比可得总人数，用乘以“优”等级人数所占比例，根据四个等级人数之和等于总人数求出“良”的人数即可补全图形；
（2）用总人数乘以“良”及“良”以上程度的人数所占比例即可．
（3）画树状图列出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）接受测评的学生共有（人，
扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为，
等级为“良”的人数为（人，
故答案为：160，；
补全图形如下：

（2）估计该校学生对安全知识达到“良”及“良”级以上程度的人数有：（人；
（3）画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中抽到的2个学生恰好是一个男生与一个女生的有4种情况，
抽到的2个学生恰好是一个男生与一个女生的概率是．
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率等于所求情况数与总情况之比．
21．(1)一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为
(2)或
(3)点或
【分析】（1）将的坐标代入反比例函数可得反比例函数的关系式，将的坐标代入一次函数可确定一次函数的关系式；
（2）求出两个函数的交点坐标，再根据图象和交点坐标直接得出答案；
（3）利用面积公式，列方程求解即可．
【详解】（1）解：将的坐标代入反比例函数得，
，
∴反比例函数的关系式为，
将，的坐标代入一次函数得，
，
解得，
∴一次函数的关系式为，
（2）由于方程组
的解为，，
∴一次函数与反比例的交点坐标为和(-4，)，
又∵，
∴，
∴当时，自变量x的取值范围是或，
故答案为：或；
（3）∵
，
设点，则，
由，
，
解得或，
∴点或．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点坐标，根据图象求不等式的解集，求出一次函数、反比例函数关系式是解决问题的关键．
22．任务一：方案一：；
方案二：；
任务二：（1）需要测量，，的长度．
（2）多测两次，取其平均数，减小误差．
【分析】任务一：先证明三角形相似，再根据相似的性质列方程求解；
任务二：先证明三角形相似，再根据相似的性质列方程求解．
【详解】解：任务一：方案一：过作交于，交于，

则四边形，四边形都是矩形，
，，
∵，
，
，即：，
解得：；
方案二：（1），．
，
，即：，
解得：；

任务二：（1）由题意得：，
，
，
需要测量，，的长度．

（2）测量时的注意：多测两次，取其平均数，减小误差．
【点睛】本题考查了三角形相似，掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题的关键．
23．(1)四边形是“直等补”四边形，理由见解析
(2)
【分析】（1）先证明，即有，，，根据，可得，即有， 进而可得即由“直等补”四边形的定义可作答；
（2）过点作于点．先证明 ，即有，，进而有，设，则，在中，由勾股定理，得，即，解方程即可求解．
【详解】（1）四边形是“直等补”四边形．
理由：四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，，
，
，
，
又，
即由“直等补”四边形的定义可知，四边形是“直等补”四边形．
（2）如图，过点作于点．
四边形是“直等补”四边形，，
，，
，
又，，
∴四边形是矩形，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得或（不合题意，舍去）．
，，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理以及解一元二次方程的知识，掌握题干给出的“直等补”四边形定义，灵活证明三角形全等，是解答本题的关键．
每天的销售量/件
每件衬衫的利润/元
降价前
降价后
方案一
方案二
测量工具
标杆，皮尺
自制直角三角板硬纸板，皮尺
测量示意图
说明：线段表示学校旗杆，小明的眼睛到地面的距离，测点与，在同一水平直线上，，，之间的距离都可以直接测得，且，，，，，都在同一竖直平面内，点，，三点在同一直线上．
说明：线段表示旗杆，小明的身高，测点与在同一水平直线上，，之间的距离可以直接测得，且，，，，，，都在同一竖直平面内，点，，三点在同一直线上，点，，三点在同一直线上．
测量数据
，之间的距离
，之间的距离
，之间的距离
的长度
的长度
的长度
2
2