2023-2024学年辽宁省盘锦市大洼区大洼区第一初级中学九年级（上）学期期末数学试题（含解析）

2023-2024 第一学年九年级期末数学试卷考试注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一、选择题（每小题3分，10题，共30分）1．今年元旦佳佳收到父亲送的一个礼盒（如图），该礼盒的俯视图是（    ）A． B． C． D．2．一元二次方程，配方为；则k的值为（    ）A．14 B．15 C．18 D．203．如图，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的图形为（　　）A． B． C． D．4．下列事件中，是随机事件的为（    ）A．水涨船高 B．冬天下雪 C．水中捞月 D．冬去春来5．平面直角坐标系中，若点和在反比例函数图像上，则下列关系式正确的是（      ）A． B． C． D．6．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD为（ ）A．30° B．50° C．60° D．70°7．“计里面方”（比例缩放和直角坐标网格体态）是中国古代地图制图的基本方法和数学基础，是中国古代地图独立发展的重要标志，制作地图时，人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，记照板“内芯”的高度为，且，观测者的眼睛（图中用点C表示）与在同一水平线上，若某次测量中，则下列结论中错误的是（    ） A． B．C． D． 8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y＝﹣x的图象如图所示，则方程ax2+（b+ ）x+c＝0（a≠0）的两根之和（　　）  A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定9．如图，已知双曲线，的图像经过直角三角形斜边的中点D，且与直角边相交于点C．若点A的坐标为，则的面积为（    ） A．12 B．9 C．6 D．410．如图，是等边三角形，点P是边上的一点；且，以为边作等边．若的面积与的面积相等，则的值为（    ） A． B． C． D．二、填空题（大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．已知关于x的方程的一个根是，则方程另一根是 ．12．在中，，则的值为 ．13．如图，中，，，是边上的高，，分别是，的内切圆，则与的面积比为 ．14．京剧作为一门中国文化的传承艺术，深受外国友人青睐．如图，在平面直角坐标系xOy中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G．点A，B，C，D分别是图形G与坐标轴的交点，已知点B的坐标为（0，），线段CD为半圆的直径，且CD=4，点M在半圆上，点N在抛物线上，N的纵坐标为，MN与y轴平行．下列关于图形G的四个结论，其中正确的有 ．（填正确结论的序号）①图形G关于直线y=0对称；②线段MN的长为；③扇形OMA的面积；④当＜a＜2时，直线y=a与图形G有两个公共点．15．如图，在中，，点D是线段上一动点，作，连接．若是等腰三角形，则 ．三、解答题（共8题，共75分）16．计算(1)解方程： (2)17．2023年3月22日至28日是第三十六届“中国水周”，某学校组织开展主题为“节约用水，共护母亲河”的社会实践活动．A小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两个小区居民的用水量x（）分为5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息：信息一：信息二：信息三：乙小区3月份用水量在第三组的数据为：．根据以上信息，回答下列问题：(1) ．(2)在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，比较，大小，并说明理由：(3)因任务安排，在B小组和C小组分别随机拍取1名同学加入A小组，已知B小组有3名男生和1名女生，C组有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率．18．网络购物己成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某小型的快递公司，今年5月份与7月份完成快递件数分别为6万件和8.64万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同．(1)求该快递公司投递的快递件数的月增长率；(2)如果每个快递小哥平均每月最多可投递0.8万件，公司现有12个快递小哥，按此快递增长速度，不增加人手的况下，能否完成今年8月份的投递任务？19．烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧（如图1）．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度米的A处，测得烽燧的顶部C处的俯角为，测得烽燧的底部B处的俯角为，试根据提供的数据计算烽燧的高度．（参数据：，，，，，）  20．心理学家研究发现，一般情况下，一节课分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中为线段，为双曲线的一部分）．(1)上课后的第分钟与第分钟相比较，第______分钟时学生的注意力更集中；(2)一道数学题，需要讲分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于，那么通过怎样的时间安排，教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？请通过计算说明．21．如图，是的内接三角形，是的直径， ， ，点F在上，连接并延长，交于点D，连接，作，垂足为E．(1)求证：；(2)若，求的长．22．【发现问题】由得，；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？【分析问题】例如：已知，求式子的最小值．解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．【解决问题】请根据上面材料回答下列问题：（1）______；______．（用“＝”“＞”“＜”填空）（2）当，式子的最小值为______；【能力提升】（3）当，则当______时，式子取到最大值；（4）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（5）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，、的面积分别是8和14，求四边形ABCD面积的最小值．23．综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：折叠正方形纸片，使顶点落在边上点处，得到折痕，把纸片展平；（如图1）操作二：折叠正方形纸片，使顶点也落在边上点处，得到折痕，与交于点．连接，，．根据以上操作，直接写出图2中与相等的两条线段______和______．(2)探究发现把图2中的纸片展平，得到图3，小亮通过观察发现无论点在线段上任何位置，线段和线段始终相等，请你直接用第一问发现的结论帮小亮写出完整的证明过程．(3)拓展应用已知正方形纸片的边长为，在以上的探究过程中，当点到距离是时，请直接写出的长． 参考答案与解析1．A【分析】本题考查了几何体的三视图，正确理解俯视图的画法是解题的关键．【详解】解：该礼盒的俯视图是故选A．2．C【分析】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，将原方程变形成与相同的形式，即可求解．【详解】解：∴故选：C．3．A【详解】试题分析：顺时针90°后，AD转到AB边上，所以，选A．考点：旋转的特征4．B【分析】本题考查了事件的分类，正确掌握分类是解题的关键．【详解】A. 水涨船高是必然事件，不符合题意；B. 冬天下雪是随机事件，符合题意；    C. 水中捞月是不可能事件，不符合题意；    D. 冬去春来是必然事件，不符合题意；故选B．5．A【分析】根据反比例函数图像的特点即可求解．【详解】解：∵反比例函数，∴反比例函数图像经过第一、三象限，在第一象限中，函数值随的增大而减小，∴点和中，，∴，即，故选：．【点睛】本题主要考查反比例函数图像的特点，掌握反比例函数图像的增减性是解题的关键．6．C【详解】解：连接BD，∵∠ACD=30°，∴∠ABD=30°，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°﹣∠ABD=60°．故选C．7．C【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，结合已知逐一计算判断即可．【详解】∵，，∴，∴,，∴，无法证明，故A正确，不符合题意；B正确，不符合题意；D正确，不符合题意；C错误，符合题意；故选C．8．C【分析】设的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知，；设方程的两根为m，n，再根据根与系数的关系即可得出结论．【详解】解：设的两根为x1，x2，∵由二次函数的图象可知，， ．设方程的两根为m，n，则 .故选C．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．9．B【分析】本题考查了反比例函数的解析式，k的几何意义，中点坐标公式，先求点，确定函数的解析式为，确定点，计算面积即可．【详解】∵点A的坐标为，的图像经过直角三角形斜边的中点D，∴点，，，∴，∴函数的解析式为，∴点，∴，，∴的面积为，故选B．10．B【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积公式，特殊角的三角函数值应用，一元二次方程的应用，过点Ａ作与点F，作与点D，设，根据面积公式计算即可，熟练掌握三角函数和解方程是解题的关键．【详解】过点Ａ作与点F，作与点D，设，∵是等边三角形，∴，∵是等边三角形，∴，则，，∴，，∵的面积与的面积相等，∴∴，解得，∴或（舍去），故选B．11．【分析】本题考查了根与系数关系定理，设方程的另一个为，根据题意，得，求解即可．【详解】设方程的另一个为，根据题意，得，解得，故答案为：．12．##0.8【分析】先根据勾股定理求出的长，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可．【详解】解：根据题意画出图如图所示：  ，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的正弦、余弦、正切是解题的关键．13．##【分析】本题考查了勾股定理，三角形的内切圆性质，圆的面积，先用勾股定理求得得长，再利用内切圆性质求得圆的半径，继而求得面积计算即可．【详解】∵，，是边上的高，∴，，∴，，设与的半径分别为x，y，则∴，，解得，∴与的面积比为，故答案为：．14．②④##④②【分析】用待定系数法求出抛物线表达式，从而得出对称轴，令求出点坐标，即可得出的横坐标，由勾股定理求出点坐标，从而得出的长，由三角函数求出的度数，由扇形面积公式从而得出，由图像得出当时，直线与图形的交点个数．【详解】如图，交轴于点，，，，设抛物线表达式为，把代入解得：，，图形关于直线对称，故①错误；令得：，解得：或，，，在中，，，故②正确；，，，，故③错误； 由图可知，，当时，直线与图形有两个公共点，故④正确．故答案为：②④．【点睛】本题以半圆为抛物线合成的封闭图形为背景，曲线的对称性、整点问题，构造直角三角形，利用勾股定理求点的坐标．15．或【分析】分三种情况讨论，由相似三角形的性质，等腰三角形的性质即可解决问题．【详解】解：，，，，，，，，，，，当时，，，，；当时，，，，当时，，，，，或．故答案为：或．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是要分三种情况讨论．16．(1)(2)【分析】本题考查了方程的解法，特殊角的三角函数值的计算．(1)利用因式分解法法求解即可．(2)利用特殊角的三角函数值求解即可．【详解】（1）∵，∴∴，∴，解得．（2），．17．(1)(2)，见解析(3)【分析】本题考查了用树状图法求概率，中位数，条形统计图，（1）根据中位数的定义进行计算即可．（2）根据题意分别求出3月份用水量低于平均数的户数，再计算进行比较即可．（3）画树状图，共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有8种，再由概率公式求解即可．【详解】（1）∵随机抽取了30户居民，故中位数是数据从小到大排列的第15个和第16个的平均数；根据条形统计图可知：用水量在的有3户，用水量在的有11户，用水量在的有10户，用水量在的有4户，用水量在的有2户，故中位数是在第三组中，且是第三组中第1个和第2个的平均数，∵乙小区3月份用水量在第三组的数据为：．∴乙小区3月份用水量的中位数是；故答案为：．（2）解：在甲小区抽取的用户中，3月份用水量的平均数为：；低于本小区平均用水量的户数为（户），故在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为；在乙小区抽取的用户中，3月份用水量的平均数为：；低于本小区平均用水量的户数为（户），故在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，∵，∴．（3）解：画树状图如图： 共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有6种，∴抽取的两名同学都是男生的概率为．18．(1)(2)不能完成今年8月份的投递任务【分析】（1）设该快递公司投递的快递件数的月增长率为x，根据题意，得，解方程即可．（2）根据平均增长率，求得8月份的投递任务，比较万件，判断即可．本题考查了平均增长率问题，正确列方程并熟练解答是解题的关键．【详解】（1）设该快递公司投递的快递件数的月增长率为x，根据题意，得，解得（舍去），答：设该快递公司投递的快递件数的月增长率为．（2）（万件），而实际投送量为万件），且，答：不能完成今年8月份的投递任务．19．米【分析】过点A作的平行线交的延长线于点G，过点C作，根据题意得出边形为矩形，，再由正切函数求解即可．【详解】解：过点A作的平行线交的延长线于点G，过点C作，如图所示：  根据题意得：四边形为矩形，，∴，∴，∵，∴米，∴米．【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键．20．(1)；(2)教师从第分钟开始讲课，在第分结束讲课，教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题．【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，根据函数图象获取信息是解题的关键．（1）先求出一次函数及反比例函数，根据函数解析分别求得时，时的函数值，即可得到结论；（2）分别求出注意力指数为时的两个时间，即可得解．【详解】（1）解：设线段的解析式为：，把和代入得，，解得，∴直线的解析式为：；设双曲线的函数关系式为：，把代入得，，∴，∴双曲线的函数关系式为：；当时，，时，故答案为：；（2）解：当时，则，解得；当时，则，解得．∴．∴教师从第分钟开始讲课，在第分结束讲课，教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题．21．(1)见解析(2)【分析】本题考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，解决本题的关键是得到．（1）根据圆周角定理得，进而可以证明结论；（2）过点C作，垂足为G，证明，得，代入值即可解决问题．【详解】（1）证明：∵为直径，，，，∵ 所对的圆周角为和，，；（2）解：如图，过点C作，垂足为G，  ， ， ，，，，，，，，，，，∴，．22．（1）＞，＝；（2）2；（3）；（4）这个长方形的长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米；（5）四边形面积的最小值为．【分析】本题主要考查阅读材料，材料阅读题是中学阶段所学习的重要内容，体会材料中的数学思想与方法，学会用新方法去解决数学中的问题，对学生的要求较高，是一道拔高型的综合题目．【详解】解：（1）∵当，时，有，即，令，，则．当且仅当，时，取“=”，显然，，∴．同理可得，，当且仅当，时，能取“=”，∴．故答案为：>，=．（2）当，令，，则由，得．当且仅当，时，即时，式子有最小值，最小值为2．∴的最小值为：2．故答案为：2．（3）∵，∴， 则根据，得到，当且仅当，时，，又∵，∴．故答案为：．（4）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为y米，则，∴，∴所用篱笆的长为米，（米），∵当且仅当时，的值最小，∴或（舍）．∴这个长方形的长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米．（5）设点到的距离为，点到的距离为，又∵、的面积分别是8和14，∴，∴∴。当且仅当时，取等号，∴四边形ABCD面积的最小值为．23．(1)；；(2)证明见解析；(3)或．【分析】（1）由折叠的性质可知，点、是关于直线的对称，点、是关于直线的对称，由对称的特点即可得出；（2）取的中点，连接，证明，根据平行线等分线段定理即可得出结论，（3）构造，根据和勾股定理列方程即可解答．【详解】（1）解：折叠的性质可知，点、是关于直线的对称，点、是关于直线的对称，∴，，故答案为：；．（2）如解图2，取的中点，即，连接，由（1）得，∴，即，又∵正方形中，，∴，∴，又∵，∴；（3）如解图3，过点，延长交于点M，由（2）可知四边形是矩形，，∴，，∴，，设，则，在中，，∴，解得：，，故的长为或．【点睛】本题主要考查正方形与折叠，轴对称性质、平行线等分线段定理、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．甲小区3月份用水量频数分布表用水量频数/户491052甲小区乙小区平均数中位数a