2023-2024学年河南省周口市西华县九年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省周口市西华县九年级（上）学期期末数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题．，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共30分）．
1．下列函数中y是x的反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列事件中是必然事件的是（ ）
A．任意一个五边形的外角和等于
B．正月十五雪打灯
C．367名同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日
D．投掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次
3．方程的解是（ ）
A．B．C．D．
4．观察如图所示的图案，它可以看做图案____的通过_____（方式）得到的（ ）
A．三分之一，平移B．四分之一，平移
C．三分之一，旋转D．四分之一，旋转
5．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是【 】
A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交
7．在二次函数的图像中，若随的增大而增大，则的取值范围是
A．B．C．D．
8．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（ ）

A．cmB．cmC．cmD．1cm
9．如图，，，两两不相交，且半径都是．则图中三个阴影扇形的弧长之和为（ ）
A．B．C．D．
10．抛物线的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：
①；②；③；
④方程有两个不相等的实数根；
⑤若点在该抛物线上，则其中正确的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．请写出一个过点的函数表达式： ．
12．小聪和小明两个同学玩“石头，剪刀、布“的游戏，随机出手一次是平局的概率是 ．
13．已知反比例函数y=，当x＞0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是 ．
14．如图，数轴上点代表的数字为，点代表的数字为，已知，且点在数轴的负半轴上，则的值为 ．
15．如图，AB是半圆O的直径，，，，，E为垂足，则 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．
（1）从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，写出表示x和y关系的表达式．
（2）往盒中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为，求x和y的值．
17．已知关于x的一元二次方程．有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两个实数根分别为，，求．的值（用k的代数式表示）．
18．如图1是一名考古学家发现的一块古代车轮的碎片．
(1)图2中的是车轮上大圆圆弧，用尺规作图法，找出，所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)图3中，若点O是（1）中找出的所在圆的圆心，C是上一点，且为等腰三角形，底边，腰，求车轮大圆的半径R．
19．在一次数学兴趣小组活动中，张红和李燕两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数之和小于12，则张红获胜；若指针所指区域内两数之和大于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数之和等于12，则为平局．（若指针停在分界线上，重转）
(1)请用列表或画树状图的方法表示上述游戏中两数之和的所有可能结果．
(2)判断该游戏对张红和李燕两位同学是否公平?若不公平，请修改上述游戏规则，使该游戏对游戏双方是公平的．
20．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E．

（1）求证：AE=AB；
（2）若AB=10，BC=6，求CD的长．
21．如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点A和点为顶点，分别作矩形和矩形，点C，E在x轴上，点D，F在y轴上，以点O为圆心，的长为半径作交于点G，连接．
(1)求k的值；
(2)求的度数；
(3)求图中阴影部分的面积．
22．如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，对称轴为直线
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)点和点是抛物线上两点，且，求c的取值范围．
23．如图，连接，点D在边上（点D不与点B，C重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转α得到线段，连接，．
(1)求证：
(2)①若且与的数量关系满足求的面积．
②若连接，则的面积是否为定值，若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据定义“一般地，形如（）的函数，叫做y是x的反比例函数．”解题即可．
【详解】解：A.符合反比例函数的定义，结论正确，符合题意；
B.是正比例函数，结论不正确，不符合题意；
C.是二次函数，结论不正确，不符合题意；
D.中y是的反比例函数，结论不正确，不符合题意；
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了概率事件的分类，多边形的外角和，理解“一定会发生的事件叫必然事件；一定不会发生的事件叫不可能事件；有可能发生，也有可能不发生的事件叫随机事件．”是解题的关键．
【详解】A、任意一个五边形的外角和等于是不可能事件，结论错误，不符合题意；
B、正月十五雪打灯是随机事件，结论错误，不符合题意；
C、367名同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日是必然事件，结论正确，符合题意；
D、投掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次是随机事件，结论错误，不符合题意；
故选：C．
3．C
【分析】由题意可得或，解方程即可得到答案．
【详解】解：，
或，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，选择合适的方法进行计算，将一元二次方程转化为一元一次方程是解此题的关键．
4．D
【分析】本题主要考查了图形的旋转和平移，在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转，在同一平面内，将一个 图形 上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．
【详解】解：观察图形可知，它可以看做图案的四分之一通过每次旋转90度得到的，
故选：D.
5．A
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【详解】解：∵点A（-1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y=的图象上，
∴y1==-6，y2==3，y3==2，
又∵-6＜2＜3，
∴y1＜y3＜y2．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．
6．D
【分析】根据直线与圆的位置关系来判定：①相交：d＜r；②相切：d=r；③相离：d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此，分OP垂直于直线l，OP不垂直直线l两种情况讨论．
【详解】当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，⊙O与l相切；
当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2＜r，⊙O与直线l相交．
故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．
故选D．
7．A
【详解】∵二次函数的开口向下，
∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大．
∵二次函数的对称轴是，
∴x<1．
故选：A．
8．A
【分析】根据正六边形的内角度数可得出，再通过解直角三角形即可得出的值，进而可求出的值，此题得解．
【详解】正六边形的任一内角为，
（如图），

，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了正多边形以及解直角三角形，牢记正多边形的内角度数是解题的关键．
9．B
【分析】本题考查了三角形内角和定理，弧长公式；三个阴影扇形的弧长之和可以看作是圆心角为，半径是的弧长，即可求解；掌握弧长公式：，能将所求弧长之和转化为圆心角为，半径都是的弧长是解题的关键．
【详解】解：，
且，，两两不相交，且半径都是，
三个阴影扇形的弧长之和可以看作是圆心角为，
半径是的弧长，
三个阴影扇形的弧长之和为：
，
故选：B．
10．C
【分析】由开口方向及与轴的交点可判断，，，再根据“左同右异”的方法可判断的符号，从而可判断①；由对称轴可判断②；由图象得和对称轴可求，可得抛物线与的另一个交点为，代入即可判断③；设，则图象为过且垂直于轴的一条直线，并且与抛物线有两个交点，可判断④；当时，，即可判断⑤．
【详解】解：由图得：，，
对称轴在轴右侧，
，
，
故①错误；
抛物线的对称轴是直线，
，
，
故②正确；
由图象得，
解得：，
抛物线与的另一个交点为，
，
即：，
故③正确；
设，则图象为过且垂直于轴的一条直线，
与抛物线有两个交点，
方程有两个不相等的实数根；
故④正确；
抛物线的对称轴是直线，
且，
当时，
，
，
故⑤正确；
综上所述：正确的有②③④⑤，共个；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握性质，能利用数形结合的思想解题是解题的关键．
11．y=x 或y= 或 y=x2（答案不唯一）．
【分析】由函数图象过点（1，1），设该函数的表达式为y＝kx或y=或y=ax2，将点的坐标代入求函数的表达式．
【详解】解：设该函数的表达式为y＝kx或y=或y=ax2，
把点（1，1）代入，
可分别求出表达式为：y=x 或y= 或 y=x2，
故答案为：y=x 或y= 或 y=x2（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了反比例（一次、正比例或二次）函数的性质，根据点的坐标利用待定系数法求出函数表达式是解题的关键．
12．
【分析】列表表示所有可能出现的结果，再确定符合条件的结果，根据概率公式计算即可．
【详解】解：列表如下：
一共有9种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，出手相同的时候即为平局，有3种，所以随机出手一次平局的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了列表求概率，掌握概率计算公式是解题的关键．
13．m＞2．
【详解】分析：根据反比例函数y=，当x＞0时，y随x增大而减小，可得出m﹣2＞0，解之即可得出m的取值范围．
详解：∵反比例函数y=，当x＞0时，y随x增大而减小，∴m﹣2＞0，解得：m＞2．
故答案为m＞2．
点睛：本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质找出m﹣2＞0是解题的关键．
14．
【分析】先利用数轴上两点之间的距离的求法得到，再把方程化为一般式，接着再用因式分解法把方程转化为或，然后再解两个一次方程．
【详解】解：根据题意得，
整理得，
，
或，
所以，，
将代入中，得出为9，
因点在数轴的负半轴上，故（舍去）；
将，代入中，得出为，
点在数轴的负半轴上，故．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的因式分解法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法，也考查了数轴．
15．
【分析】由等腰三角形的性质及三角形内角和定理得，由直角三角形的锐角互余得，再由三角形外角的性质得，可求 ，由等腰三角形的判定得，再由勾股定理得，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
故答案：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质，圆的定义，直角三角形的特征，勾股定理，掌握性质，能由性质证出是解题的关键．
16．（1）关系式；（2）x=15，y=25．
【分析】（1）根据盒中有x枚黑棋和y枚白棋，得出袋中共有（x+y）个棋，再根据概率公式列出关系式即可；
（2）根据概率公式和（1）求出的关系式列出关系式，再与（1）得出的方程联立方程组，求出x，y的值即可．
【详解】（1）∵盒中有x枚黑棋和y枚白棋，
∴袋中共有（x+y）个棋，
∵黑棋的概率是，
∴可得关系式；
（2）如果往口袋中再放进10个黑球，则取得黑棋的概率变为，又可得；
联立求解可得x=15，y=25．
【点睛】考查概率的求法,如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=.
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，掌握两根之和、两根之积与方程系数的关系是解题的关键．
（1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可用k表示出两根之和与两根之积，代入已知条件可得到关于k的式子．
【详解】（1）根据题意得，
解得，
即的取值范围是；
（2）方程的两个实数根分别为，
，
．
18．(1)图形见解析
(2)车轮大圆的半径为
【分析】本题考查了圆心的确定尺规作图，线段垂直平分线的判定及性质，勾股定理；
（1）分别取弦，，作它们的垂直平分线，垂直平分线的交点为圆心；
（2）连接，，，与的交点为，由等腰三角形的定义得，由圆的定义得，由线段垂直平分线的判定定理得，，由勾股定理得，，即可求解．
掌握线段垂直平分线的作法，作出适当的辅助线，构建直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，
点即为所在圆的圆心．
（2）解：如图，连接，，，与的交点为．
，
为等腰三角形，为底边，
，
，，
，
在中，
，
在中，，
，
解得
车轮大圆的半径为．
19．(1)表格见解析
(2)该游戏对张红和李燕两位同学不公平．修改上述游戏规则见解析
【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．
（1）根据题意列表即可；
（2）根据表格中数据求出两个人获胜的概率，然后再进行判断即可；根据表格中数据修改游戏规则即可．
【详解】（1）解：根据题意列表如下：
两数和的所有结果如表所示．
（2）解：由（1）可知两数之和共有12种等可能的结果，其中和小于12的结果有6种，和大于12的结果有3种，
∴张红获胜的概率为：，李燕获胜的概率为：，
该游戏对张红和李燕两位同学不公平，
修改上述游戏规则如下：
两人分别转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数之和小于12，则张红获胜；若指针所指区域内两数之和大于或等于12，则李燕获胜．（若指针停在分界线上，重转）
20．（1）见解析；（2）．
【分析】(1)连接OC,由同旁内角互补得出AD//OC,可得∠OCB＝∠E,即可推出∠ABE＝∠E,AE=AB．
(2)连接AC,由勾股定理求出AC,由△EDC∽△ECA得出相似比,求出CD即可．
【详解】
（1）证明：连接OC
∵CD与⊙O相切于C点
∴OC⊥CD
又∵CD⊥AE
∴OC//AE
∴∠OCB＝∠E
∵OC=OB
∴∠ABE＝∠OCB
∴∠ABE＝∠E
∴AE=AB
（2）连接AC
∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB＝90°
∴
∵AB=AE，AC⊥BE
∴EC=BC=6
∵∠DEC＝∠CEA, ∠EDC＝∠ECA
∴△EDC∽△ECA
∴
∴．
【点睛】本题考查圆与三角形的综合性质及相似的证明和性质,关键在于合理作出辅助线将已知条件转换求解．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义、矩形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）将代入中即可求解；
（2）利用三角函数求出的度数，最后结合矩形的性质求解；
（3）根据即可解答．
【详解】（1）点在反比例函数的图象上，
，
．
（2）点，
又，
，
在中，，
∵，
，
四边形为矩形，
，
；
（3）
．
22．(1)抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为
(2)
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）运用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出点的坐标，然后求出对称点的坐标，再结合图象解答即可．
【详解】（1）抛物线与轴交于两点，且对称轴为直线．
抛物线的解析式为．
又，
抛物线的顶点坐标为．
（2）点在抛物线上，
当时，，
在中，当时，即
，解得，
若，则的取值范围为．
23．(1)证明见解析
(2)①，②的面积是一个定值为
【分析】（1）利用即可证明结论；
（2）①由全等三角形的对应角相等知，可得，设,则，在中，利用勾股定理列方程即可求得,然后根据三角形面积公式即可解答；②由（1）同理得，则，再证，过点E作于G，于H，然后运用三角形面积公式即可解答．
【详解】（1）解：将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，
，
又，
．
（2）解：①，
，
，
，
．
在中，，
．
设，则．
，
．
．
在中，由勾股定理，得，解得．
，
．
②的面积是一个定值，为．
当时，和都是等边三角形，
由（1）同理得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点E作于G，于H，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积是一个定值为．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的判定与性质等知识点，灵活运相关知识是解题的关键．
石头
剪子
布
石头
（石头，石头）
（石头，剪子）
（石头，布）
剪子
（剪子，石头）
（剪子，剪子）
（剪子，布）
布
（布，石头）
（布，剪子）
（布，布）
3
4
5
6
9
10
11
7
10
11
12
8
11
12
13
9
12
13
14