2023-2024学年辽宁省沈阳市康平县九年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市康平县九年级（上）学期期末数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题3分，共30分）
1．sin45°的值等于（ ）
A．B．C．D．1
2．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．2、3、1B．2、-3、1C．2、3、-1D．2、-3、-1
3．如图是运动会领奖台，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．所有的菱形都相似B．所有矩形都相似
C．所有正方形都相似D．所有等腰三角形都相似
5．若，则的值是
A．B．C．D．
6．如图，它是物理学中小孔成像的原理示意图，已知物体，根据图中尺寸，则的长应是（ ）
A．15B．30C．20D．10
7．如图，四个完全相同的小球，分别写有1，2，3，4，将其放入袋子里，充分搅匀，随机将小球分成数量相同的两部分，则写有奇数的小球刚好分在一起的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知是的边上一点，根据下列条件，不能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为（ ）
A．17B．18C．19D．20
10．已知在二次函数中，若，则下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向下B．抛物线与y轴交于正半轴
C．对称轴在y轴的右侧D．顶点在第一象限
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．二次函数的顶点坐标是 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，与关于点P成位似图形，则该位似中心点P的坐标是 ．
13．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为 ．（结果精确到，参考数据：，，）．
14．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，点在第二象限，反比例函数的图象恰好经过点，则的值为 ．
15．如图，在平行四边形中，，点E在边CD上，将沿直线BE翻折，点C落在点F处，且，则CE的长为 ．
三、解答题（第16小题10分，17，18，20，21小题各8分，19小题9分，22，23小题12分，共75分）
16．（1）解方程：．
（2）计算：．
17．小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销售将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为（元），日销量为（件），日销售利润为（元）．
（1）求与的函数关系式；
（2）求日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．
18．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD与AE、AF交于G、H．
（1）求证：△ABE∽△ADF；
（2）若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形．
19．“保护生存环境建设美好家园”是学校开展环保类社团活动之宗旨，为了解某校全体学生参加该学校五个环保类社团项目的意愿，随机抽取了40名学生进行问卷调查，每人只能从中选择一个项目，现将问卷调查结果绘制成不完整的统计图表：
请你根据以上信息解答下列问题：
(1)填空：______；_____；______；扇形统计图中（回收材料）部分扇形的圆心角等于________度；
(2)请用树状图或列表法求随机抽取该校两名同学选择环保类同一社团项目的概率．
20．某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得点C处的俯角为．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：）
21．如图，已知二次函数的图象经过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)判断点是否在该二次函数的图象上，如果在，请求出的面积；如果不在，试说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝的图象在第四象限相交于点A（2，﹣1），一次函数的图象与x轴相交于点B．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）当一次函数值小于反比例函数值时，请直接写出x的取值范围是 ；
（3）点C是第二象限内直线AB上的一个动点，过点C作CD∥x轴，交反比例函数y＝的图象于点D，若以O，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点C的坐标为 ．
23．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是 ，BC与CE的位置关系是 ；
（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB＝2，BE＝2，请直接写出APE的面积．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】sin45°=．
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，容易题.失分的原因是没有掌握特殊角的三角函数值.
2．D
【分析】根据一元二次方程的一般形式，，是常数且，进行解答即可．
【详解】解：一元二次方程的二次项系数是2、一次项系数是、常数项是，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，，是常数且，解题的的关键是掌握在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3．D
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：领奖台的俯视图是：
故选：D．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的定义是解题的关键．
4．C
【分析】根据矩形，菱形，正方形，等腰梯形的性质和相似多边形的定义逐项分析即可．
【详解】A、所有的菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故错误；
B、所有的矩形对应角相等但对应边的比不一定相等，故错误；
C、所有的正方形都相似，正确；
D、所有的等腰梯三角形形不一定都相似，错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似多边形的判定，判定两个图形相似的依据是：对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时具备．
5．A
【分析】将原式转化为m＝n，代入即可求得其值．
【详解】∵＝，
∴m＝n，
∴＝＝ ．
故选A．
【点睛】本题考查了比例的性质，属于基础题，相对比较简单．
6．D
【分析】根据题意，根据三角形高的比等于相似比，进而即可求解．
【详解】解：依题意，
∴
∵
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
7．C
【分析】根据题意得出确定一部分的同时，另一部分也确定，共有1，2；1，3；1，4三种分法，根据概率公式求解即可．
【详解】解：随机将小球分成数量相同的两部分，
∴确定一部分的同时，另一部分也确定，
共有1，2；1，3；1，4三种分法，
其中奇数恰好分一起的有一种，
∴，
故选：C．
【点睛】题目主要考查利用列举法求概率，理解题意，掌握求概率的方法是解题关键．
8．C
【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．
【详解】∵是公共角，
∴再加上或都可以证明，故A，B可证明，
C选项中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能证明．
∵，
若再添加，即，可证明，故D可证明．
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
9．D
【分析】根据矩形的性质和三角形中位线的性质求解即可.
【详解】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5，BC=AD=12，OA=BO=OC，OM为△ACD的中位线，
∴OM=CD=2.5，AC==13，
∴BO=OA=AC=6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，
故选D．
【点睛】BEN本题考查矩形的性质、三角形的中位线性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解答的关键.
10．C
【分析】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴方程、顶点坐标是解题的关键．由a、b、c的符号可判断开口方程，对称轴，顶点坐标，抛物线与y轴的交点逐项判断，可得出答案．
【详解】∵，
∴二次函数图象开口向上，故A不符合题意；
∵，
∴抛物线与y轴交于负半轴，故B不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴对称轴在y轴的右侧，故C符合题意；
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴其顶点坐标一定在第四象限，
故D不符合题意；
故选：C．
11．
【分析】本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线．
【详解】解：二次函数的顶点坐标是，
故答案为：．
12．
【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心位置即可．
【详解】解：如图所示：
位似中心点P的坐标是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似中心位置是解题关键．
13．
【分析】先根据等腰三角形的三线合一性质得到，再利用正切定义求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵在中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键．
14．
【分析】根据平行四边形的性质和点，，的坐标求出点的坐标，再把点的坐标代入即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，，
∴，，
解得，，
∴，
将代入并解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
15．或
【分析】画出图形，由折叠及，，及，可以求出BF、AN、BN等线段长度，在分当F在的内部或外部，根据勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴在的垂直平分线上．
在平行四边形中，,
过作于,作的垂直平分线交于,交于，
∴．
在平行四边形中，,，
∴，
∴
∴
∴
∴，
∴．
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，．
由折叠可知，设，则，
在中：，
当F在的内部时，如图：
∵，
∴ 在中：，
∴，
∴，
∴．
当F在的外部时，如图：
∵，
∴在中：，
∴，
∴，
∴．
综上所述：的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质判定，勾股定理的运用，锐角三角函数求边的长度，，掌握折叠的性质，平行四边形的性质判定，及能利用勾股定理列出方程是解题的关键．
16．（1）， ；（2）6
【分析】本题考查了解一元二次方程，二次根式的加减，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
（1）用求根公式法求解即可；
（2）选根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义，绝对值的性质逐项化简，再算加减即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）
．
17．（1）；（2）；当为12时，日销售利润最大，最大利润960元．
【分析】（1）根据题意得到函数解析式；
（2）根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）根据题意得，，
故与的函数关系式为；
（2）根据题意得，，
，
当时，随的增大而增大，
当时，W最大，
答：当为12时，日销售利润最大，最大利润960元．
【点睛】本题考查了二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键．
18．（1）证明见解析；（2）菱形，证明见解析.
【详解】解：（1）证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE=∠ADF，
∴△ABE∽△ADF（有两角相等的三角形是相似三角形）
（2）∵△ABE∽△ADF，
∴∠BAG=∠DAH，
∵AG=AH，
∴∠AGH=∠AHG，
从而∠AGB=∠AHD，
∴△ABG≌△ADH（ASA），
∴AB=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
19．(1)，，，
(2)
【分析】（1）根据B所占的百分比可求出，利用总人数减去其余人数可求出，利用总百分比减去其余占比可求出，根据所占圆的百分比可求出圆心角度数；
（2）列出树状图求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，则，
∴，
∴，
扇形统计图中（回收材料）部分扇形的圆心角等于，
故答案为：，，，；
（2）解：从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有25种，并且发生的可能性相同，其中选择环保类同一社团项目的可能性有5种，
∴P（2人选择环保类同一社团项目）
【点睛】本题主要考查了统计图，树状图求概率等知识点，利用条形统计图统计图和扇形统计图获取相关信息是解题的关键．
20．教学楼BC高约13米
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，构造直角三角形是解题关键．作于点E，过点C作于点F，由求得米，由米知米，再根据四边形是矩形知米．由知米，从而得的长．
【详解】过点D作于点E，过点C作于点F．
∵，
∴四边形是矩形．
由题意得，米，米，．
在中，，
∴．
∴米，
∵米，
∴米，
∵四边形是矩形，
∴米．
在中，，
∴．
∴米，
∴（米）．
答：教学楼高约13米．
21．(1)二次函数的解析式为，
(2)在该二次函数的图象上，的面积为
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，坐标与图形的性质，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
（1）用打定系数法求解即可；
（2）把代入解析式即可判断点是否在该二次函数的图象上，然后根据三角形的面积公式即可求出的面积．
【详解】（1）设二次函数的解析式为，
∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为：；
（2）∵当时，，
∴点是在这个二次函数的图象上，
∴的面积．
22．（1），；（2）或；（3），或，
【分析】（1）将点坐标代入反比例函数关系式求出，把代入一次函数关系式求得点横坐标，进而求得结果；
（2）先求出直线和反比例函数另一个交点坐标，然后由图象得出结果；
（3）因为，所以只需，设点的纵坐标是，表示出、两点横坐标，列出方程求得结果．
【详解】解：（1）过，
，
，
由得，，
，
；
（2）由得，
，，
当一次函数值小于反比例函数值时，
或，
故答案是：或；
（3）设，，，
，
当时，
，
，
在第二象限，
或，
，或，，
故答案是：，或，．
【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数及其图象性质，平行四边形判定等知识，解题的关键是设点的坐标，正确表示线段长度．
23．（1）BP＝CE，CE⊥BC；（2）仍然成立，见解析；（3）31
【分析】（1）连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△BAP≌△CAE即可证得结论；
（2）（1）中的结论成立，用（1）中的方法证明△BAP≌△CAE即可；
（3）分两种情形：当点P在BD的延长线上时或点P在线段DB的延长线上时，连接AC交BD于点O，由∠BCE＝90°，根据勾股定理求出CE的长即得到BP的长，再求AO、PO、PD的长及等边三角形APE的边长可得结论．
【详解】解：（1）如图1，连接AC，延长CE交AD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°；
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE＝60°﹣∠PAC，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE；
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABP＝∠ABC＝30°，
∴∠ABP＝∠ACE＝30°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BCE＝60°+30°＝90°，
∴CE⊥BC；
故答案为：BP＝CE，CE⊥BC；
（2）（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD 仍然成立，理由如下：
如图2中，连接AC，设CE与AD交于H，
∵菱形ABCD，∠ABC＝60°，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAD＝120°，∠BAP＝120°+∠DAP，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠CAE＝60°+60°+∠DAP＝120°+∠DAP，
∴∠BAP＝∠CAE，
∴△ABP≌△ACE（SAS），
∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABD＝30°，
∴∠DCE＝30°，
∵∠ADC＝60°，
∴∠DCE+∠ADC＝90°，
∴∠CHD＝90°，
∴CE⊥AD；
∴（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD 仍然成立；
（3）如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作EF⊥AP于F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD BD平分∠ABC，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴∠ABO＝30°，
∴AO＝AB＝，OB＝AO＝3，
∴BD＝6，
由（2）知CE⊥AD，
∵AD∥BC，
∴CE⊥BC，
∵BE＝2，BC＝AB＝2，
∴CE＝＝8，
由（2）知BP＝CE＝8，
∴DP＝2，
∴OP＝5，
∴AP＝＝＝2，
∵△APE是等边三角形，
∴S△AEP＝×（2）2＝7，
如图4中，当点P在DB的延长线上时，同法可得AP＝＝＝2，
∴S△AEP＝×（2）2＝31，
【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题．
社团名称
A（环保义工）
（绿植养护）
（酵素制作）
（回收材料）
（垃圾分类）
人数
4
16
4