2023-2024学年山东省烟台市莱州市教育科学研究院九年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省烟台市莱州市教育科学研究院九年级（上）学期期末数学试题（含解析），共27页。
1．本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共6页，共3道大题，24道小题，满分120分．考试时间为120分钟．
2．答题前，请将自己的班级、姓名、座号填写在相应的位置上．
一、选择题（本题共10个小题，下列每小题均给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的）．
1．如图，将三棱柱的一个角切割掉，所得几何体的左视图为（ ）

A． B． C． D．
2．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
3．若与都是反比例函数图象上的点，则a的值是（ ）
A．4B．C．2D．
4．如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC=5，∠BAC=∠D．则AB的长为（ ）
A．B．C．D．
5．二次函数图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点．将该二次函数的图象以原点为旋转中心旋转，则旋转后得到的函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，是某斜坡横断面示意图，为了防止水土流失，将原来的斜坡改造成斜坡，过点作水平面的垂线，设斜坡的坡度为，坡角为，斜坡的坡度为，坡角为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．坡度的单位是度B．C．D．
7．如图，六个直角边长均为1和的直角三角形围成两个正六边形，若向该图形内随意投掷一个点，则该点落在小正六边形内部的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知圆锥的母线与高的夹角为30°，则圆锥侧面展开扇形的圆心角度数为（ ）
A．90°B．120°C．180°D．210°
9．的半径为1，直线与相离，点是直线上一动点，过点作的一条切线（其中点是切点），圆心到直线的距离为3，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且．则下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题（本题共6个小题）
11．写出一个经过原点、开口向上且对称轴是直线的抛物线的解析式： ．
12．如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为 m．
13．5G技术大大促进了农业的发展．某5G智慧农业试验区内，一台无人机正在进行规模化自助施药作业．如图，已知无人机的飞行速度为，在地面的A点测得B处无人机的仰角为45°，经过4s后，无人机水平飞行至C处，此时在A点测得C处无人机的仰角为30°，则无人机的飞行高度为 m．（结果保留根号）
14．如图所示，点的坐标是，与轴相切于点，交轴于点，双曲线与的一个交点为，连接，若，则 ．
15．如图所示，边长为1的正方形网格中，，，，，是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为 ．
16．等腰中，，，，点，分别是的内心和外心，则 ．
三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤）
17．计算．
18．“中国梦”关系每个人的幸福生活，为展现巴中人追梦的风采，我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．

（1）参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率．
19．（1）尺规作图：已知及圆外一点，过点作圆的两条切线，，切点分别是点、点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接并延长，交于点，连接，，求的度数．
20．如图，正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，在中，，，点坐标为．
（1）求的值；
（2）求所在直线的解析式．
21．某广场的旗杆旁边有一个半圆形的时钟模型，如图所示，时钟的9点和3点的刻度线刚好和地面重合．半圆的半径为2米．旗杆的底端到钟面9点刻度的距离为5米．一天，小明观察到阳光下旗杆顶端的影子刚好投到时钟11点的刻度处（，都在圆弧上），同时测得一米长的标杆的影长1.6米．
(1)计算时钟的9点转到11点时的旋转角是多少度？
(2)求旗杆的高度（精确到0.1米，参考数据，）．
22．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）如果该文具的销售单价高于进价且不超过30元，请你计算最大利润．
23．如图，在等腰中，．E为的中点，平分交于D．经过B，D两点的圆O交于点G．交于点F．恰为圆O的直径．

(1)求证：与圆O相切．
(2)当，＝时，求圆O的半径．
24．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上存在一点，使的值最小，此时的坐标为 ；
(3)点是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点、点重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标：若不能，请说明理由；
(4)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形．请直接写出点的坐标．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，看不见的轮廓线用虚线表示，即可解得．
【详解】解：从左边看，可得选项B的图形．
故选：B．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图中的左视图，理解定义，会用定义看出几何体的三视图是解题的关键．
2．D
【分析】本题考查了同角三角函数的关系，根据“一个角的正弦值等于它的余角的余弦值”即可求解．
【详解】解：∵，
又
∴，
∴，
∴，
故选：D．
3．B
【分析】先把用代入确定反比例函数的比例系数k，然后求出函数解析式，再把点（-2，a）代入可求a的值．
【详解】解：∵点是反比例函数图象上的点；
∴k=2×4=8
∴反比例函数解析式为：
∵点是反比例函数图象上的点，
∴a=-4
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
4．C
【分析】根据圆周角定理得出∠D=∠B，得出△ABC是等腰直角三角形，进而解答即可．
【详解】∵AC=AC，
∴∠D=∠B，
∵∠BAC=∠D，
∴∠B=∠BAC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AB是直径，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AC=5，
∴AB=，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，关键是根据圆周角定理得出∠D=∠B．
5．C
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，将二次函数图象以原点为旋转中心旋转，则顶点为，与轴的交点坐标为，再由待定系数法进行计算即可，在抛物线旋转过程中，求得二次函数顶点坐标和与轴的交点是解此题的关键．
【详解】解：将二次函数图象以原点为旋转中心旋转，则顶点为，与轴的交点坐标为，
设，
把代入解析式得：，
解得：，
旋转后得到的函数表达式为，
故选：C．
6．D
【分析】由坡度的概念可知，，由可得．
【详解】∵坡度=斜坡的铅直高度与水平宽度的比值，
∴坡度的单位是比值没有单位，故A选项错误，不符合题意；
∵，故选项C错误，不符合题意；
又∵，，
∴，
∴，
由，故D选项正确，
由，推导不出，故选项B错误，不符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了坡度的概念：坡度=斜坡的铅直高度与水平宽度的比值，关键是根据定义求出和．
7．A
【分析】本题主要考查了几何概率的计算，以及多边形的面积计算，根据正六边形的面积为六个正三角形的面积之和分别计算出外面和内部的正六边形面积，然后根据概率公式计算即可．
【详解】解：由题意得外面的正六边形的面积为：，
内部的正六边形的面积为：，
∴向该图该图形内随意投掷一个点，则该点落在小正六边形内部的概率是：
故选：A．
8．C
【分析】设底面圆的半径为，则母线长为，再根据底面圆的周长等于圆锥侧面展开图扇形的弧长，再利用弧长公式即可求出圆心角的度数．
【详解】设底面圆的半径为，
圆锥的母线与高的夹角为
圆锥的母线长为
底面圆的周长等于圆锥侧面展开图扇形的弧长
故选：
【点睛】本题考查的知识点为：弧长圆锥底面周长及弧长与圆心角的关系．解题的关键是熟知圆锥与扇形的相关元素的对应关系．
9．B
【分析】本题考查了勾股定理，切线的性质，连接，由是的切线，可得，得出，现由圆心到直线的距离为3，即的最小值为3，据此可求出的最小值．
【详解】如图，连接，
是的切线，
，
，
∵圆心到直线的距离为3，即的最小值为3，
∴的最小值．
故选：B．
10．B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数与轴的交点问题、二次函数的图象与性质、解一元二次方程，由二次函数的图象得出、、，即可判断①；由二次函数与轴有两个交点得出，结合，即可判断②；求出，代入抛物线解析式得出，即可判断③；解一元二次方程即可判断④，从而得到答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴在轴的右侧，
，
，
抛物线交轴于正半轴，
，
，故①正确，符合题意；
抛物线与轴有两个交点，
，
，
，故②错误，不符合题意；
在中，当时，，
，
，
，
把代入得：，
，故③正确，符合题意；
，
，
，
，
，
，
方程有两个不相等的实数根，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有①③④，共个，
故选：B．
11．（答案不唯一）
【分析】设抛物线解析式为，则，，，赋于一个合适值，得到解析式．
【详解】解：设抛物线解析式为，
经过原点，则时，，
对称轴为，则，，
若则，
解析式为．
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查二次函数的解析式及性质，根据二次函数的性质结合已知条件得到关于系数的关系式是解题的关键．
12．
【分析】由于OP和AB与地面垂直，则AB∥OP，根据相似三角形的判定可证△ABC∽△OPC，然后利用相似三角形的性质即可求出OP的长．
【详解】解：∵AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴，
即，
∴OP＝m．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
13．
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据平行线的性质，得出，，，根据三角函数用h表示出BD、CD，列出关于h的方程，解方程即可．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
设，，
∵，
∴，，
∵AD⊥BC，
∴，
∴在Rt△ABD中，，即，
解得：，
在Rt△ACD中，，即，
解得：，
，
∴，解得：，
即无人机的飞行高度为．
故答案为：．
【点睛】本题是解直角三角形的实际应用，主要考查了平行线的性质，三角函数的定义，理解仰角的含义，构造直角三角形运用方程思想是解题的关键．
14．2
【分析】本题主要考查了圆的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、反比例函数与几何等知识点，连接，作于，于，由等腰三角形的性质可得，求出，由，求出，由勾股定理得出，得出点的坐标，从而即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，作于，于，
点的坐标是，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在反比例函数图象上，
，
故答案为：．
15．
【分析】根据勾股定理分别求出、，根据勾股定理的逆定理得到，根据弧长公式计算，得到答案．
【详解】解：由勾股定理得，，
则，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，，
阴影部分的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形面积公式，求出对应的圆心角和半径是解题的关键．
16．
【分析】本题侧重考查三角形的内切圆与圆心、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．连接、，根据题意分别求出及，再作差即可求得的长．
【详解】解：连接、，如图，
，，
为线段的垂直平分线，
．
在中，，
设的半径为，
，
，
，
，
，为的内心，
为内切圆的半径．
设内切圆的半径为，则，
，
即，
．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查特殊三角函数值与实数的综合运算，熟练掌握特殊锐角三角函数值是解题的关键，根据绝对值、零指数幂、负指数幂和开平方的运算方法即可得到答案．
【详解】解：原式
．
18．（1）20，72，40；（2）作图见试题解析；（3）．
【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，根据D级的人数求得D等级扇形圆心角的度数和m的值；
（2）求出等级B的人数，补全条形统计图即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】（1）根据题意得：3÷15%=20（人），
表示“D等级”的扇形的圆心角为×360°=72°；
C级所占的百分比为×100%=40%，故m=40，
故答案为20，72，40．
（2）故等级B的人数为20﹣（3+8+4）=5（人），
补全统计图，如图所示；

（3）列表如下：
所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，则P（恰好是一名男生和一名女生）==．
考点：1．列表法与树状图法；2．扇形统计图；3．条形统计图．
19．（1）见解析；（2）
【分析】本题考查了作图—基本作图，切线的性质、等边对等角等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）以为直径，作圆交于，，作直线，即可；
（2）由等边对等角可得，从而可得，由切线的性质可得，再由四边形内角和定理求出的度数即可．
【详解】解：如图，、即为所求作的的切线，
（2）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵、分别是的切线，
∴，
．
20．（1）；（2）
【分析】（1）利用正比例函数求解的坐标，再代入反比例函数的解析式求解即可得到答案；
（2）如图，过作于 过作于 证明利用全等三角形的性质求解的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可．
【详解】解：（1）

在上，
则
把代入中，则
（2）如图，过作于 过作于








设为

解得：
所以为
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，一次函数与反比例函数的基本性质，利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，熟练应用以上知识是解题的关键．
21．(1)
(2)旗杆的高度约为5.5米
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，解直角三角形，求钟面角，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）根据钟表的一大格是，从时钟的9点转到11点时针转过2个大格，列式计算即可；
（2）过点作于，作于，设半圆的圆心为，连接，解直角三角形求出、，然后求出，再根据同时同地的物高与影长成比例列式计算求出，最后根据计算即可．
【详解】（1）解：时钟每一格对应的圆心角度数为：，
从时钟的9点转到11点时针转过2个大格，
时钟的9点转到11点时的旋转角是：；
（2）解：如图，过点作于，作于，设半圆的圆心为，连接，
点在点的刻度上，
，
∴（米），（米），
∴（米），
∴（米），
∵同时测得1米长的标杆的影长米，
∴，
∴，
∵米，
∴（米），
答：旗杆的高度约为米．
22．（1）w=-10x2+700x-10000；（2） 当单价为35元时，该文具每天的利润最大；（3）2000．
【分析】（1）根据利润=（单价-进价）×销售量，列出函数关系式即可；
（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；
（3）利用二次函数增减性直接求出最值即可．
【详解】（1）由题意得，销售量=250-10（x-25）=-10x+500，
则w=（x-20）（-10x+500）
=-10x2+700x-10000；
（2）w=-10x2+700x-10000=-10（x-35）2+2250．
∵-10＜0，
∴函数图象开口向下，w有最大值，
当x=35时，wmax=2250，
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；
（3）20＜x≤30，对称轴左侧w随x的增大而增大，
故当x=30时，w有最大值，此时w=2000．
23．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，可得，进而推出,由平行线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，得到，由圆的切线的判定即可证得结论；
（2）首先证得，根据相似三角形对应边成比例即可求解.
【详解】（1）证明：连接，

则，
，
平分，
，
，
，
，
在中，，是角平分线，
，
，
是圆O的半径，
与圆O相切；
（2）解：在中，，E为的中点，
∴在中，
，
设圆O的半径为r，则，
，
，
∴
即
即圆O的半径为．
【点睛】本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线进行证明．
24．(1)抛物线解析式为
(2)
(3)能，当点的坐标为或时，直线把分成面积之比为2∶3的两部分
(4)满足条件的点的坐标为，，，
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出抛物线的对称轴，交抛物线对称轴于点P，根据两点之间线段最短可得此时最小，则点P为所求，利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出点P的坐标；
（3）设点，则点，根据题意分两种情况，利用等高时，三角形的面积比等于底之比列出方程即可求出结论；
（4）设点，利用平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式即可求出，，，然后根据直角三角形斜边的情况分类讨论，利用勾股定理列出方程即可求出结论．
【详解】（1）将点与点代入中，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）令，则，
∴
∵
∴抛物线的对称轴为直线，
如图，点B是点A关于函数对称轴的对称点，交抛物线对称轴于点P，
根据对称性可知此时，即，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，则点P为所求．
设直线的解析式为
将点B、C的坐标分别代入，得
解得：
∴直线BC的解析式为，
当时，，
故点P的坐标为．
（3）设，则，，
．
当时，则，
即，
整理得，
解得，（舍去），
此时点的坐标为；
当时，，
即，
整理得，
解得，（舍去），
此时点的坐标为．
综上所述，当点的坐标为或时，直线能把分成面积之比为的两部分；
（4）∵抛物线与x轴交于A(−1，0)，B(5，0)两点，
∴抛物线的对称轴为直线，
设，
∵，
，，．
①当时，为直角三角形，，
即，
解得，
此时点的坐标为；
②当时，为直角三角形，，
即，
解得，
此时点的坐标为；
③当时，为直角三角形，，
即，
解得，，
此时点的坐标为或．
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或．
【点睛】此题考查的是二次函数与一次函数的综合题，掌握抛物线与坐标轴的交点坐标求法、抛物线对称轴公式、利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式、两点之间线段最短、平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式和勾股定理是解决此题的关键．
男
女
女
男
（女，男）
（女，男）
女
（男，女）
（女，女）
女
（男，女）
（女，女）