2023-2024学年广东省广州市增城区八年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州市增城区八年级（上）学期期末数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
八年级 数学
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（ ）
A．3.2×107B．3.2×108C．3.2×10-7D．3.2×10-8
2．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．长度分别为a，2，4的三条线段能组成一个三角形，则a的值可能是( )
A．1B．2C．3D．6
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，，若，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．如图，等腰中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（ ）

A．13B．16C．8D．10
7．如图，在中，，分别是边上的中线和高，若，则的长为（ ）
A．5B．6C．8D．10
8．已知是完全平方式，则的值为（ ）
A．3B．C．6D．
9．如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图矩形，这个图形的变化过程写出一个正确的等式( )
A．B．
C．D．
10．如图，把三角形纸片沿折叠，当点落在四边形外部时，则与、之间的数量关系是（ ）

A．B．
C．D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．四边形的内角和为 ．
12．若分式有意义，则x的取值范围是 ．
13．计算： ．
14．已知，则 ．
15．若，则 ．
16．如图，∠AOB＝30°，M，N分别是OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，如果记∠AMP＝，∠ONQ＝，当MP＋PQ＋QN最小时，则与的数量关系是 .

三、解答题：（本题有9个小题，共72分．解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．）
17．因式分解：ab2﹣4a．
18．如图，已知，，求证：．
19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．
(1)画出关于x轴对称的；
(2)求的面积．
20．先化简，再求值：，其中．
21．如图，在△ABC 中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点 E．
（1）求证：DE=CE．
（2）若∠CDE=35°，求∠A 的度数．
22．某中学为了创设“书香校园”，准备购买两种书架，用于放置图书．在购买时发现，种书架的单价比种书架的单价多20元，用600元购买种书架的个数与用480元购买种书架的个数相同．
（1）求两种书架的单价各是多少元？
（2）学校准备购买两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个种书架？
23．如图，是等腰直角三角形，．
(1)尺规作图：作的角平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）所作的图形中，延长至点E，使，连接．请你探究与之间的数量和位置关系，并证明你的结论．
24．例如：若，求的值．
解：因为，所以，即，
又因为，所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，求的值；
(2)若，求的值
(3)如下图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是12，分别以为边作正方形和正方形，求x的值．
25．如图1图2，点O是线段的中点，．
(1)如图1，若，求的长；
(2)如图1，在（1）的条件下，若点D在射线上，点D在点C右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点P，求的长度；
(3)如图2，在（1）的条件下，若点M在线段上，是等边三角形，且点M沿着线段从点B运动到点C，点N随之运动，求点N的运动路径的长度．
参考答案与解析
1．C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.00000032=3.2×10-7；
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．D
【分析】利用关于x轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．
【详解】点关于轴对称的点的坐标为（3，-2），
故选：D．
【点睛】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键．
3．C
【分析】根据三角形三边关系定理得出4-2＜a＜4+2，求出即可．
【详解】由三角形三边关系定理得：4﹣2＜a＜4+2，
即2＜a＜6，
即符合的只有3．
故选：C．
【点睛】此题考查三角形三边关系定理，能根据定理得出5-3＜a＜5+3是解题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
4．C
【分析】根据同底数幂的乘法，除法，幂的乘方，合并同类项的法则，逐一进行计算，判断即可．掌握相关运算法则，是解题的关键．
【详解】解：A、，故原选项错误；
B、，故原选项错误；
C、，故原选项正确；
D、，不能合并，故原选项错误；
故选：C．
5．D
【分析】根据全等三角形的性质，即可得出结果，掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴；
故选D．
6．A
【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线上的点到线段两端点的距离相等，得到，进而得到的周长等于，即可．掌握中垂线的性质，是解题的关键．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，交于点E，
∴，
∴的周长；
故选A．
7．A
【分析】本题考查三角形的中线和高线，利用面积公式求出的长，根据中线的定义得到即可．掌握相关定义，是解题的关键．
【详解】解：∵，分别是边上的中线和高，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选A．
8．D
【分析】本题考查了完全平方式，掌握是解题的关键．根据完全平方式的特点即可解答．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
即
故选：D．
9．D
【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．
【详解】解：第一个图形阴影部分的面积是，
第二个图形的面积是．
则．
故选：D．
10．A
【分析】根据折叠的性质可得，根据邻补角的定义可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得，然后利用三角形的内角和等于列式整理即可得解．
【详解】解：∵沿折叠得到，
∴，
又∵，，
∴，
即，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质、邻补角的定义、三角形的外角的性质，把、、转化到同一个三角形中是解题的关键．
11．360°．
【详解】试题分析：根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入公式就可以求出四边形的内角和为：（4﹣2）×180°=360°．
考点：多边形内角和定理．
12．
【分析】根据分式有意义的条件列式求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零成为解题的关键．
13．##0.5
【分析】根据负指数幂的运算法则即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查负指数幂的运算法则，掌握负指数幂运算法则是解题的关键．
14．
【分析】本题考查因式分解，代数式求值，利用平方差公式法进行因式分解后，代值计算即可，掌握平方差公式法因式分解，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴；
故答案为：．
15．32
【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用．掌握同底数幂的乘法法则，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴；
故答案为：32．
16．α－β＝90°
【分析】分别作点M,N关于OB,OA的对称点,连接，交OA于点Q,交OB于点P时MP＋PQ＋QN有最小值.通过三角形的内角和与外角和性质可得出， 从而得出两者间的关系.
【详解】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，

易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，
∵∠OQN=180°-30°-∠ONQ，∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP，
∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ，
∴．
∵，
∴
故答案为：.
【点睛】本题考查的知识点主要有轴对称，最短路线问题，三角形的内角和定理，三角形外角和的性质，解题的关键是正确的作出图形.
17．a（b+2）（b-2）
【分析】先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可．
【详解】解：ab2-4a．
=a（b2-4）
=a（b+2）（b-2）．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
18．见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应角相等．连接，即可根据得出，即可求证．
【详解】证明：连接，
在和中，
，
∴，
∴．
19．(1)图见解析
(2)
【分析】本题考查坐标与轴对称，轴对称作图．
（1）根据成轴对称的性质，画出即可；
（2）利用分割法求出的面积即可．
掌握成轴对称的性质，是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）的面积为．
20．
【分析】本题考查分式的化简求值，零指数幂的计算．除法变乘法，进行约分化简，求出的值，代入计算即可．掌握相关运算法则，是解题的关键．
【详解】解：原式；
∵，
∴原式．
21．(1)见解析;(2) 40°.
【分析】（1）根据角平分线的性质可得出∠BCD=∠ECD，由DE∥BC可得出∠EDC=∠BCD，进而可得出∠EDC=∠ECD，再利用等角对等边即可证出DE=CE；
（2）由（1）可得出∠ECD=∠EDC=35°，进而可得出∠ACB=2∠ECD=70°，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出∠A的度数．
【详解】（1）∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ECD．
∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠EDC=∠ECD，∴DE=CE．
（2）∵∠ECD=∠EDC=35°，∴∠ACB=2∠ECD=70°．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质以及角平分线．解题的关键是：（1）根据平行线的性质结合角平分线的性质找出∠EDC=∠ECD；（2）利用角平分线的性质结合等腰三角形的性质求出∠ACB=∠ABC=70°．
22．（1）购买种书架需要100元，种书架需要80元；（2）最多可购买10个种书架．
【分析】（1）根据题意以书架个数为等量关系列出分式方程求解即可；
（2）根据题意用代数式表示总费用，小于等于1400，列出不等式求解即可．
【详解】解：（1）设种书架的单价为元，根据题意，得
解得
经检验：是原分式方程的解
答：购买种书架需要100元，种书架需要80元．
（2）设准备购买个种书架，根据题意，得
解得
答：最多可购买10个种书架．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题关键在于根据题意列出方程和不等式．
23．(1)见解析
(2)，，证明见解析
【分析】本题考查基本作图—作角平分线，全等三角形的判定和性质．
（1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可；
（2）证明即可得出结论．
掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为所作，
（2）解：，，理由如下：
如图，延长，交于，
∵是等腰直角三角形，
∴
又∵
∴
∴，，
∴，
∴，即．
24．(1)12
(2)6
(3)5
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，充分理解题意，树立数形结合思想是正确解答的关键．
（1）求出，利用完全平方公式展开即可求出的值；
（2）类比（1）先求出的和，再利用完全平方公式求解即可；
（3）结合图形，得出，，参照题目给出的方法求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）由图可知：，
∵，
∴
∴，
∴，
∴或（舍去）．
25．(1)18
(2)18
(3)18
【分析】（1）利用垂直平分线的性质可得，再得，即可证明是等边三角形；
（2）证明，得出，继而得到，即可求得的长度；
（3）取的中点H，分两种情况证明，得出或，可知点N的运动路径是一条线段，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
，
是线段中点，，
，
是等边三角形；
∴；
（2）∵、是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
；
（3）取的中点H，连接，连接，
分两种情况讨论：
当M在线段上时，如图2，
∵H是的中点，，
∴，
∴是等边三角形，
∵是等边三角形，
∴，， ，
∴，
∴，
点从起点到做直线运动，
∵当点M在点B时，，
∴点M从B运动到H时，点N运动路径的长度等于9；
当点M在线段上时，如图3，
∵H是的中点，，
∴，
∴是等边三角形，
∵是等边三角形，
∴，， ，
∴，
∴，
点从到终点做直线运动，
∵当点M在点C时，，
∴点M从H运动到C时，点N运动路径的长度等于9；
综上所述，的路径长度为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，中垂线的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，及全等三角形的性质与判定，发现或构造全等三角形是解题的关键，本题难度较大，旨在培养学生综合运用所学知识解决复杂问题的能力．