2023-2024学年河北省廊坊市三河市八年级（上）学期期末数学试题（含解析）

2023-2024学年度第一学期期末考试八年级数学试题一、选择题（共10个小题，每小题2分，共20分．）1．下列图形中，不是轴对称图形的是（    ）A． B． C． D．2．下列计算正确的是（　　）A． B． C． D．3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ）A．5，6，11 B．3，4，8 C．3，10，7 D．4，5，64．等腰三角形两边长分别为5和8，则这个等腰三角形的周长为（    ）A．18 B．21 C．20 D．18或215．如果一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形是(     )A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形6．已知点P（x，y）与点Q（﹣5，2）关于y轴对称，则x+y等于（　　）A．-7 B．-3 C．3 D．77．若中的和都扩大到原来的2倍，那么分式的值（    ）A．缩小为原来的一半 B．不变C．扩大到原来的4倍 D．扩大到原来的2倍8．如图所示的四边形均为矩形或正方形，下列等式能够正确表示该图形面积关系的是（    ）  A． B．C． D．9．如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S是（　　）  A．30 B．50 C．60 D．8010．某工厂生产、两种型号的扫地机器人．型机器人比型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫所用的时间型机器人比型机器人多用40分钟． 两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设型扫地机器人每小时清扫，根据题意可列方程为（   ）A． B．C． D．二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）11．如图是两个全等的三角形，图中字母表示三角形的边长，则的度数为 ．  12．计算：（﹣a）2021÷（﹣a）2020＝ ．13．若分式的值为零，则 ．14．如图，在中，已知点、、分别是、、的中点，且，则 ．  15．如图，是等边的边上的中线，是边上的动点，是边上动点，当取得最小值时，则的度数为 ．16．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，EF垂直平分线段BC，P是直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是 ．17．若关于x的分式方程有非负数解，则a的取值范围是 ．18．将12张长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按如图方式不重叠地放在大长方形ABCD内，未被覆盖的部分用阴影表示，若阴影部分的面积是大长方形面积的，则小长方形纸片的长a与宽b的比值为 ．三、解答题（本大题共8个小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）分解因式：（2）解方程：．20．如图，△ABC中，CA=CB，D是AB的中点，∠B=42°，求∠ACD的度数．21．先化简，再求值：，其中为不等式组的整数解．22．已知，如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF．    23．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．(1)求证：△ABC≌△ADE；(2)求∠FAE的度数；(3)求证：CD＝2BF+DE．24．如图，在的正方形网格中，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．  (1)在图中作出关于直线l对称的（要求A与，B与，C与相对应）(2)在直线l上找一点P，使得的周长最小(3)的面积为 ．25．某服装店用4000元购进一批某品牌的文化衫若干件，很快售完，该店又用6300元钱购进第二批这种文化衫，所进的件数比第一批多40%，每件文化衫的进价比第一批每件文化衫的进价多10元，请解答下列问题：（1）求购进的第一批文化衫的件数；（2）为了取信于顾客，在这两批文化衫的销售中，售价保持了一致．若售完这两批文化衫服装店的总利润不少于4100元钱，那么服装店销售该品牌文化衫每件的最低售价是多少元？26．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，n），C（2，0），B（m，0），且已知，(1)求证：∠ABC=∠ACB．(2)如图①，过x轴上一点D（，0）作DE⊥AC于E，DE交y轴于点F，求F点的坐标；(3)将△ABC沿x轴向左平移，AC边与y轴交于一点P（P不同于A和C两点），过P作一直线与AB的延长线交于Q点，与x轴交于点M，且CP=BQ，在△ABC平移过程中，M点的坐标是否发生变化？写出你的结论及理由． 参考答案与解析1．C【分析】若一个平面图形沿着某条直线对折后，直线两旁的图形能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线是对称轴．根据此定义即可判断．【详解】选项A、B、D中的三个图形均是轴对称图形，选项C中的图形则不是轴对称图形故选：C【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的概念是关键．2．D【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法及除法和积的乘方运算法则逐一判断即可求解．【详解】解：A、，原选项错误，故不符合题意；B、，原选项错误，故不符合题意；C、，原选项错误，故不符合题意；D、，原选项正确，故符合题意；故选D．【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法及除法和积的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键．3．D【分析】根据三角形的三边关系判断即可．【详解】解：A．，不能组成三角形，不符合题意；B．，不能组成三角形，不符合题意．C．3+7=10,不能组成三角形，不符合题意；D．4+5＞6，能组成三角形，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．4．D【分析】分8长的边为腰和底两种情况进行讨论，并利用三角形的三边关系进行判断，再计算其周长即可．【详解】解：当8的边长为腰时，三角形的三边长为：8、8、5，满足三角形的三边关系，其周长为8+8+5＝21，当5的边长为腰时，三角形的三边长为：5、8、5，满足三角形的三边关系，其周长为8+5+5＝18，故选：D．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，分两种情况并利用三角形的三边关系进行判定是解题的关键．5．C【详解】试题分析：这个正多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=720°，解得：n=6．则这个正多边形的边数是6．故选C．考点：多边形内角与外角．6．D【分析】根据关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数，先求出x和y的值，然后代入求解即可．【详解】解：∵P（x，y）与点Q（﹣5，2）关于y轴对称，∴x＝5，y＝2，∴x+y＝7．故选D．【点睛】本题考查关于y轴对称的点的坐标，用到的知识点为：两点关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数．7．D【分析】本题考查了分式的基本性质，考核学生的计算能力，熟记分式的基本性质是解题的关键．将分式中的x，y全部换成，进行计算即可．【详解】解：当x，y都扩大为原来的2倍时，，∴分式的值扩大到原来的2倍，故选：D．8．C【分析】根据阴影部分的面积的不同表示方法，即可求出答案．【详解】解：如图所示，根据图中的阴影部分面积可以表示为：（a-b）2图中的阴影部分面积也可以表示为：a2-2ab+b2可得：（a-b）2=a2-2ab+b2  故选：C【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，解决问题的关键是能用算式表示出阴影部分的面积9．B【详解】试题分析：已知AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF=∠ABG，而AE=AB，∠EFA=∠AGB，由此可以证明△EFA≌△ABG，所以AF=BG，AG=EF；同理证得△BGC≌△DHC，GC=DH，CH=BG，故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，利用面积的割补法和面积公式即可得S=（6+4）×16-3×4-6×3=50．故答案选B．考点：全等三角形的判定及性质．10．D【分析】根据清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟列出方程即可．【详解】解：设A型扫地机器人每小时清扫xm2，由题意可得：，故选D．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系．11．##70度【分析】本题考查全等三角形的性质，先根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的性质得出答案．掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．【详解】解：如图所示：，∵两个三角形全等，∴，∴的度数为．故答案为：．  12．-a【分析】根据同底数幂的除法法则即可即可求解．【详解】解：（﹣a）2021÷（﹣a）2020＝（﹣a）2021-2020=-a．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法法则（同底数幂相除，底数不变，指数相减）是解题关键．13．1【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0；②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．根据分子等于0，且分母不等于0列式求解即可．【详解】解：根据题意可得：且，解得：．（使分母为0舍去）故答案为：1．14．3【分析】本题考查了利用三角形的中线求三角形的面积，根据点是的中点得出，，进而得到，再根据为的中点，得到，进行计算即可得到答案，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解此题的关键．【详解】解：点是的中点，，，，，为的中点，，故答案为：3．15．##30度【分析】本题考查最短路径问题——垂线段最短，等边三角形的性质，根据垂线段最短找到点E、F是解题的关键．过点B作于点E，交于点F，连接，根据垂线段最短可知此时取得最小值，再利用等边三角形的性质求解即可．【详解】解：如图：过点B作于点E，交于点F，连接，根据垂线段最短可知此时取得最小值，∵是等边三角形，∴，，∴，∵是等边的边上的中线，∴，∴．故答案为：．16．15【分析】如图，连接PC．求出PA+PB的最小值可得结论．【详解】解：如图，连接PC．∵EF垂直平分线段BC，∴PB=PC，∴PA+PB=PA+PC≥AC=9，∴PA+PB的最小值为9，∴△ABP的周长的最小值为6+9=15，故答案为：15．【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．17．且【分析】将a看作已知数，表示出分式方程的解，根据解为非负数列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．【详解】分式方程去分母得：2x=3a﹣4（x﹣1），解得：，∵分式方程的解为非负数，∴，解得：，又当x=1时，分式方程无意义，∴把x=1代入得，∴要使分式方程有意义，必须，∴a的取值范围是且，故答案为：且．【点睛】此题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，本题注意x-1≠0这个隐含条件．18．4【分析】用a，b分别表示出大长方形的长和宽，根据阴影部分的面积是大长方形面积的，列式计算即可求解．【详解】解：根据题意得：AD=BC=8b+a，AB=CD=2b+a，∵阴影部分的面积是大长方形面积的，∴非阴影部分的面积是大长方形面积的，∴，整理得：，即，∴，则小长方形纸片的长a与宽b的比值为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算的应用，以及因式分解的应用，解题的关键是弄清题意，列出长方形面积的代数式及整式的混合运算顺序与运算法则．19．（1）；（2）【分析】本题考查的是因式分解，解分式方程，掌握因式分解的方法与解分式方程的步骤是解本题的关键；（1）先利用完全平方公式把括号内分解因式，再利用平方差公式分解因式即可；（2）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可．【详解】解：（1）；（2），∴，去分母得：，整理得：，检验：把代入，∴原方程的解为：．20．48°【分析】根据等腰三角形的性质和角平分线的定义即可得到结论．【详解】解：∵CA=CB，∴△ABC是等腰三角形，∵∠B=42°，∴∠A=∠B=42°，∴∠ACB=96°，又∵D是AB的中点，即CD是底边AB上的中线，∴CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ACB=48°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”，是解题的关键．21．，【分析】根据分式的运算法则化简式子，再解不等式组得到不等式组的整数解，代入即可．【详解】解：，解不等式组可得，∵，即，且为整数，∴，代入原式=．【点睛】本题考查分式的化简求值、不等式组的整数解，解题的关键是取值时，注意分式的分母不能为0．22．见解析【分析】连接AD，利用“边边边”证明△ABD和△ACD全等，然后根据全等三角形对应角相等可得∠BAD＝∠CAD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等证明即可．【详解】证明：如图，连接AD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD，∴AD是∠BAC的平分线，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定及性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．23．(1)见解析；(2)；(3)见解析【分析】（1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可；（2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可求解；（3）延长BF到G，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论．【详解】（1）证明：∵，∴，，∴，在△BAC和△DAE中，∵，∴；（2）解：∵，，∴，由（1）知，∴，∵，∴，∴，∴；（3）证明：延长BF到G，使得，∵，∴，在△AFB和△AFG中，∴，∴，∴，，∵，  ∴，，，∴，，∴，∵，∴在△CGA和△CDA中，，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键．24．(1)见解析(2)见解析(3)5【分析】（1）分别作出点A、B、C关于直线l对称的点，然后顺次连接；（2）连接与l的交点即为点P，此时的周长最小．（3）利用割补法求解即可．【详解】（1）解：所作图形如图所示；（2）解：点P即为所求的点．  由轴对称知，又的长为定值，∴的周长为，∴当，，共线时，的周长最小．（3）的面积．【点睛】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出点A、B、C关于直线l对称的点，然后顺次连接．25．（1）50件；（2）120元．【分析】（1）设第一批购进文化衫x件，根据数量=总价÷单价结合第二批每件文化衫的进价比第一批每件文化衫的进价多10元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）根据第二批购进的件数比第一批多40%，可求出第二批的进货数量，设该服装店销售该品牌文化衫每件的售价为y元，根据利润=销售单价×销售数量-进货总价，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其内的最小值即可得出结论．【详解】解：（1）设第一批购进文化衫x件，根据题意得： +10=，解得：x=50，经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，答：第一批购进文化衫50件；（2）第二批购进文化衫（1+40%）×50=70（件），设该服装店销售该品牌文化衫每件的售价为y元，根据题意得：（50+70）y﹣4000﹣6300≥4100，解得：y≥120，答：该服装店销售该品牌文化衫每件最低售价为120元．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．26．(1)见解析(2)(3)结论：M点的坐标不变化，，理由见解析【分析】（1）根据非负数的性质求得的值，即可得出 的坐标，进而求得，根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角即可得证；（2）证明（ASA），得出，可得；（3）过点作交于点，证明，得出，根据，得出，由可得，即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∵C（2，0），∴，又∵，∴，∴∠ABC=∠ACB；（2）解：如图，∵，∴，∴，∵，∴平分，∴，∴，∴，∴，在与中，，∴（ASA），∴，∴；（3）M点的坐标不变化，，理由如下，过点作交于点，则，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴（AAS）∴，∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．