2023-2024学年新疆克孜勒苏柯尔克孜自治州阿图什市第七中学八年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年新疆克孜勒苏柯尔克孜自治州阿图什市第七中学八年级（上）学期期末数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．若a、b 是正数，a-b=l，ab=2，则a+b=（ ）
A．-3B．3C．±3D．9
3．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（ ）
A．∠BCA=∠F；B．∠B=∠E；C．BC∥EF；D．∠A=∠EDF
4．下列四个图案中，轴对称图形的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．若，则的值为( )
A．32B．22
C．12D．0
6．若分式的值是零，则的值是（ ）
A．B．C．D．
7．某乡镇决定对一段长的公路进行修建改造．根据需要，该工程在实际施工时增加了施工人员，每天修建的公路比原计划增加了，结果提前4天完成任务．设原计划每天修建，那么下面所列方程中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（ ）．
A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等边三角形
二、填空题
9．分解因式： =
10．计算： ．
11．二次三项式是一个完全平方式，则的值是 ．
12．纳米（）是一种长度单位，，已知某种植物花粉的直径约为，那么用科学记数法表示花粉的直径为
13．如图，已知于点P，，请增加一个条件，使≌不能添加辅助线，你增加的条件是 ．
14．已知等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角为40度，那么它的顶角为 ．
三、解答题
15．计算∶
16．解方程：．
17．列方程解应用题：某工人原计划在规定时间内恰好加工1500个零件，改进了工具和操作方法后，工作效率提高为原来的2倍，因此加工1500个零件时，比原计划提前了5小时，问原计划每小时加工多少个零件？
18．已知a，b，c是△ABC的三边，且满足关系式a2+c2=2ab+2bc﹣2b2，试判断△ABC的形状．
19．如图，已知∠1=∠2=∠3，且∠BAC=70，∠DFE=50，求∠ABC的度数.
20．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC=4，求PD是多少？
21．如图所示， 在中， ，， 直线l经过顶点C， 过A． B两点分别作l的垂线，， E， F为垂足．
(1)当直线l不与底边相交时， 求证∶．
(2)将直线l绕C点顺时针旋转，使l与底边相交于点D， 请你探究直线l在如下位置时．，，之间的关系（直接写出结论）∶ ①；②； ③．
22．如图（1），中，是角平分线，于点E．
(1)若，求的度数；
(2)若，试说明；
(3)如图（2）若将点A在移动到处，于点E．此时变成，（2）中的结论还正确吗？为什么？
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方；
根据同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方法则逐项判断即可．
【详解】解：A.，原式错误；
B.，计算正确；
C.，原式错误；
D.，原式错误；
故选：B．
2．B
【分析】根据（a+b）2=（a-b）2+4ab，代值计算，再开平方求解．注意若a、b 是正数，则a+b＞0．
【详解】解：∵（a+b）2=（a-b）2+4ab=12+4×2=9，
开平方，得a+b=±3，
又∵a、b 是正数，
∴a+b＞0，
∴a+b=3．
故选B．
【点睛】本题考查完全平方公式.熟练掌握完全平方公式是解题的关键.
3．B
【分析】全等三角形的判定方法SAS是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，已知AB=DE，BC=EF，其两边的夹角是∠B和∠E，只要求出∠B=∠E即可．
【详解】解：A、根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
B、在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，可以得出△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确；
C、由BC∥EF，得出∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
D、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了添加条件证明三角形全等，解决此题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
4．C
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，进行逐一判断即可
【详解】解：第一幅图是轴对称图形；第二幅图是轴对称图形；第三幅图不是轴对称图形；第四幅图是轴对称图形，
∴轴对称图形有3个，
故选C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．
5．A
【分析】本题主要考查完全平方公式，整体代入思想的利用是求解的关键．根据完全平方公式可变形为然后把整体代入求值即可．
【详解】解：，
∴当时，原式．
故选：A．
6．C
【分析】据分式的值为零的条件可以求出的值．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
7．C
【分析】本题考查了分式方程的应用；根据工作时间工作总量工作效率，以及提前4天完成任务列分式方程即可．
【详解】解：设原计划每天修建，则实际施工时每天修建 ，
由题意得：，
故选：C．
8．A
【分析】根据等边△ABC中AD=BE=CF，证得△ADF≌△BED≌△CFE即可得出：△DEF是等边三角形．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，
∴BD=CE=AF
又∵∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是等边三角形，
故选A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定；根据已知得出△ADF≌△BED≌△CFE是解答此题的关键．
9．
【分析】本题考查提公因式法进行因式分解，根据观察得到三项的公因式为，直接提公因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查了单项式与多项式相乘．根据单项式与多项式相乘，应用单项式与多项式的每一项都分别相乘，再把所得的积相加，计算即可．
【详解】解：．
故答案为：
11．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数是和，再根据完全平方式的特点求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题是完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用平方项来确定这两个数．
12．
【分析】此题考查科学记数法表示较小的数的方法，科学记数法的表示形式为的形式，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由于4330有4位，所以可以确定．
【详解】解：．
故答案为：．
13．或或或
【分析】要使△ABP≌△CDP，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，即一角一边，则我们增加直角边、斜边或另一组角，利用SAS、HL、AAS判定其全等．
【详解】解：∵AC⊥BD于点P，AP=CP，
又AB=CD，
∴△ABP≌△CDP．
∴增加的条件是BP=DP或AB=CD或∠A=∠C或∠B=∠D．
故填BP=DP或AB=CD或∠A=∠C或∠B=∠D．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定；这是一道考查三角形全等的识别方法的开放性题目，答案可有多种，注意要选择简单的，明显的添加．
14．##度
【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质，根据题意分类讨论，当顶角为钝角时；当顶角为锐角时，图形结合分析即可求解．需要注意本题等腰三角形是钝角三角形时不成立．
【详解】①如图所示，当顶角是钝角时，为腰边的高，即，
∴根据题意得，，
∴，则，
∴顶角，
∵，与顶角为钝角矛盾，
∴顶角是不合题意，舍去；
②如图所示，当顶角是锐角时，为腰边的高，即，
∴根据题意得，，
∴，
，
故答案为：80°．
15．
【分析】本题考查了整式的混合运算；
根据完全平方公式和多项式乘多项式的法则展开，然后合并同类项即可．
【详解】解：原式
．
16．原方程无解
【详解】解：方程两边同乘以3（3x﹣1），得：2（3x﹣1）+3x=1，
解得x=．
检验：当x=时，3（3x﹣1）=0，即x=不是原方程的解．
∴原方程无解．
首先去掉分母，观察可得最简公分母是3（3x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解
17．原计划每小时加工150个零件．
【分析】关键描述语为：“加工1500个零件时，比原计划提前了5小时”；等量关系为：原计划时间＝改进方法后时间+提前时间．
【详解】解：设原计划每小时加工x个零件．依题意：
，
去分母，得3000＝1500+10x．
解得x＝150．
经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每小时加工150个零件．
【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
18．△ABC是等边三角形．
【详解】试题分析：先把原式化为完全平方的形式，再利用非负数的性质求解．
解：∵a2+c2=2ab+2bc﹣2b2，
∴a2+c2﹣2ab﹣2bc+2b2=0，
a2+b2﹣2ab+c2﹣2bc+b2=0，
即（a﹣b）2+（b﹣c）2=0，
∴a﹣b=0且b﹣c=0，即a=b且b=c，
∴a=b=c．
故△ABC是等边三角形．
考点：因式分解的应用．
19．∠ABC=60°
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，∠DEF=70°，再根据三角形的内角和得到∠EDF=60°，从而即可求得∠ABC的度数．
【详解】解：∵∠DEF是△ACE的外角，
∴∠DEF=∠3+∠CAE，
∵∠1=∠3，
∴∠DEF=∠1+∠CAE=70°，
∴∠EDF=180°-∠DEF -∠DFE=180°-70°-50°=60°，
∵∠1=∠2，∠EDF=∠1+∠ABD，
∴∠ABC=∠2+∠ABD=∠1+∠ABD=∠EDF=60°．
【点睛】题目主要考查三角形内角和及外角的定义，结合图形，找准各角之间的关系是解题关键．
20．2
【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据两直线平行，内错角相等可得∠AOP=∠CPO，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PCE=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出PE，再由∠AOP=∠BOP，PD垂直于OA，PE⊥OB利用角平分线定理得到PE=PD即可．
【详解】解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，则∠CEP=90°
∵PC∥OA，
∴∠CPO=∠POD，
又∠AOP=∠BOP=15°，
∴∠CPO=∠BOP=15°，
∵∠ECP为△OCP的外角，
∴∠ECP=∠COP+∠CPO=30°，
在直角三角形CEP中，∠ECP=30°，PC=4，
∴
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE=2
【点睛】此题考查了含30°角直角三角形的性质，角平分线的性质定理，平行线的性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．同时注意辅助线的作法．
21．(1)证明见解析
(2)①时，；②时，； ③时，
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．
（1）根据直角三角形两锐角互余的性质可得，根据平角的定义可得，，证明，根据全等三角形的性质可得，，根据线段的和差关系即可得结论；
（2）①同（1）可得，可得，，根据线段的和差关系可得，②根据等腰直角三角形的性质可得；③同①可得．
【详解】（1）证明：如图，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴
∴，，
∵，
∴．
（2）①，理由如下：
如图，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴
∴，，
∵，
∴．
②如图，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，，
∴点D、E、F重合，
∴，
∴．
③如图，同①可得，，
∴．
22．(1)15°；
(2)见解析
(3)（2）中的结论仍正确，理由见解析
【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，在中，利用三角形内角和求出的度数，从而可得的度数；
（2）结合第（1）小题的计算过程进行证明即可；
（3）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和先用和表示出，再根据三角形的内角和定理可证明．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在中，，
∵是角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：（2）中的结论仍正确，理由如下：
在中，，
∵是角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的内角和定理，垂线等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键．