2023-2024学年吉林省白山市江源区九年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省白山市江源区九年级（上）学期期末数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

九年级数学试题
（考试时间：90分钟 试卷满分：150分）
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）
1．对称美是美的一种重要形式，它能给与人们一种圆满、协调和平的美感，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，下列汽车的标识是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0时，配方后得到的方程为（ ）
A．（x﹣1）2＝4B．（x﹣1）2＝﹣4C．（x+1）2＝4D．（x+1）2＝﹣4
3．在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（2，1）
4．下列事件中是必然事件的是（ ）
A．任意一个三角形的外角和等于180°
B．一个数与它的相反数的和是0
C．明天会下雨
D．正月十五雪打灯
5．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（ ）
A．25°B．50°C．60°D．30°
6．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了白色和红色两个区域，任意转动转盘一次， 当转盘停止转动时（若指针停在边界处，则重新转动转盘），指针落在红色区域内的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．如果在二次函数的表达式y＝2x2＋bx＋c中，b>0，c<0，那么这个二次函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或B．或C．D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣2）的抛物线解析式 ．
12．一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ．
13．如图，AB是⊙O的直径，O为圆心，点C是半圆O上的点，若∠CAB=4∠CBA，点D是上任意一点，则∠BDC的度数为 度．
14．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：则当x＝0时，y的值为 ．
15．一副直角三角板位置如图所示，∠A＝45°，∠M＝30°，若O为AC中点，CD＝1，AE＝3，连接DE，则DE的长为 ．
16．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠CAD＝∠BCD＝45°，AC＝4cm，则△ABD的周长为 cm．
三、解答题（共102分）
17．解方程：x（x﹣4）＝2﹣8x．
18．在湖州创建国家卫生文明城市的过程中，张辉和夏明积极参加志愿者活动，当时有下列四个志愿者工作岗位供他们选择：
①清理类岗位：清理花坛卫生死角；清理楼道杂物（分别用表示）．
②宣传类岗位：垃圾分类知识宣传；交通安全知识宣传（分别用表示）．
（1）张辉同学从四个岗位中随机选取一个报名，恰好选择清理类岗位概率为是 ；
（2）若张辉和夏明各随机从四个岗位中选一个报名，请你利用树状图或列表法求出他们恰好都选择同一个岗位的概率．
19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣6x＋5＝0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)当m为正整数时，求方程的根．
20．如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为551m2，求道路的宽．
21．如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交的延长线于点，过点作的平行线，交于点，连接．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求弧的长．
22．如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
(2)一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
23．列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
24．若，为等腰三角形，，，将绕点旋转，连接，为中点，连接，．
(1)若，如图1，试探究与的关系并证明；
(2)若，，如图2，请直接写出与的关系．
25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋x经过点A（3，4）．
(1)求a的值；
(2)过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，在直线AB上任取一点P，作点A关于直线OP的对称点C；
①当点C恰巧落在x轴时，求直线OP的表达式；
②连结BC，求BC的最小值．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．
【详解】解：A.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B. 不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C. 是中心对称图形，故本选项符合题意；
D. 不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是指一个图形绕某一点旋转180°后能与原图形完全重合，故在判断是否是中心对称图形时要找对称中心，旋转180°后能与自身重合．
2．A
【分析】移项后把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【详解】x2−2x=3，
x2−2x+1=3+1,即(x−1)2=4.
故答案选：A.
【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程-配方法，解题的关键是熟练的掌握解一元二次方程-配方法.
3．A
【分析】根据若两点关于坐标原点对称，横纵坐标均互为相反数，即可求解．
【详解】解：∵P（1，2），
∴点P关于原点对称的点的坐标是：（-1，-2）．
故选：A
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，解题的关键是掌握两个点关于原点对称时坐标变化特点：横纵坐标均互为相反数．
4．B
【分析】直接利用随机事件以及不可能事件、必然事件的定义分析得出答案．
【详解】解：∵三角形的外角和等于360°，
∴任意一个三角形的外角和等于180°不是必然事件，是不可能事件，
∴A错误；
∵相反数的和为零，
∴一个数与它的相反数的和为0是必然事件，
故B正确；
∵明天会下雨是随机事件，不是必然事件，
故C错误；
∵正月十五雪打灯是随机事件，不是必然事件，
故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
5．A
【详解】如图，∵∠BOC=50°，
∴∠BAC=25°，
∵AC∥OB，
∴∠OBA=∠BAC=25°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=25°.
故选A.
6．C
【分析】认真审题, 仔细观察和分析题干中的已知条件和所给的图形.根据概率的应用, 据此计算后选择求解.
【详解】解: 转盘被等分成红、白二个扇形，且红色区域的圆心角为，
指针落在红色区域的概率是P==
故选C.
【点睛】解决这个问题的关键之处在于认真审题, 仔细观察和分析题干中的已知条件和所给的图形.根据概率的定义和公式的运用, 据此计算后求解.
7．B
【分析】由a=2，b>0，c<0，推出-<0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，交y轴于负半轴，由此即可判断．
【详解】解：∵a=2，b>0，c<0，
∴-<0，
∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，交y轴于负半轴，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题．
8．B
【分析】设年平均增长率为x，根据2020年底森林覆盖率＝2018年底森林覆盖率乘，据此即可列方程求解．
【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得：
，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，列出方程即可．
9．C
【分析】由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求解．
【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，
∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°．
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
10．D
【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及两一次函数图象的关系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【详解】与关于y轴对称
抛物线的对称轴为y轴，
因此抛物线与直线的交点和与直线的交点也关于y轴对称
设与交点为，则，
即在点之间的函数图像满足题意
的解集为：
故选D．
【点睛】本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．理解与关于y轴对称是解题的关键．
11．y=x2-2（答案不唯一）
【分析】根据二次函数的性质，开口向上，要求a值大于0即可．
【详解】解：抛物线y=x2-2开口向上，且与y轴的交点为（0，-2）．
故答案为：y=x2-2（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写抛物线的a值必须大于0．
12．1
【分析】根据判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．
【详解】解：根据题意得，即，
解得：．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
13．108
【分析】利用圆周角定理以及三角形内角和定理求出∠A=72°，可得结论．
【详解】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵∠CAB=4∠ABC，
∴5∠ABC=90°，
∴∠ABC=18°，∠A=72°，
∵∠CDB+∠A=180°，
∴∠BDC=108°，
故答案为：108．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握圆周角定理．
14．-3
【分析】根据表格，选择合适的方法确定函数的解析式，把为转化为求函数值问题解答．
【详解】∵y＝a＋bx＋c经过(-3，3)，(-2，5)，(-1，3)，
∴，
解得
∴y＝-2-8x-3，
当x=0时，
y= -3，
故答案为：-3．
【点睛】本题考查了表格法表示函数，二次函数解析式的确定，求函数值，学会根据表格确定点的坐标是解题基础，灵活运用待定系数法是解题的关键．
15．
【分析】连接OB，利用ASA证明△COD≌△BOE，得BE=CD，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，连接OB，
∵△ABC是等腰直角三角形，O为AC的中点，
∴BO=OC，BO⊥AC，∠C=∠OBA=45°，
∴∠BOC=∠MON=90°，
∴∠COD=∠BOE，
∴△COD≌△BOE（ASA），
∴BE=CD，
∵AB=BC，
∴AE=BD，
∴BE=1，BD=3，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△COD≌△BOE是解题的关键．
16．8
【分析】过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，证明四边形AECF是正方形，将△DCF逆时针旋转90°，得到△CEG，证明△DBC≌△GBC，从而得到三角形的周长是AE+AF，根据AC的值，求出AE的长即可．
【详解】如图，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，
∵∠BAC＝∠CAD＝∠BCD＝45°，
∴∠ACE＝∠ACF＝45°，∠EAF＝90°，∠ECB+∠DCF＝45°，
∴四边形AECF是矩形，AE=EC，
∴四边形AECF是正方形，
∵AC＝4
∴AE=EC=CF=AF=4，
将△DCF逆时针旋转90°，得到△CEG，
∴∠DCF=∠ECG，CD=CG，DF=EG，
∵∠ECB+∠DCF＝45°，
∴∠ECB+∠ECG＝45°，
∴∠BCD=∠BCG，
∵BC=BC，
∴△DBC≌△GBC，
∴BD=BG=BE+EG=BE+DF，
∴△ABD的周长是AB+AD+BD=AB+AD+BE+DF=AE+AF=2AE=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，正确构造正方形是解题的关键．
17．，
【分析】将原方程整理后再运用配方法，再开方，得到两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：x（x﹣4）＝2﹣8x
整理为：
方程两边都加上4，得，
∴
∴
∴，
【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解答本题的关键．
18．（1）；（2）．
【分析】（1）根据列举法易得；
（2）利用树状图绘制，总共有16种类型，满足条件的是4种，可求．
【详解】解：（1）张辉同学选择清理类岗位的概率为：；
故答案为：；
（2）画树状图为：

共有16种等可能的结果数，张辉和夏明恰好选择同一岗位的结果数为4，
所以他们恰好选择同一岗位的概率：．
【点睛】本题考查（1）利用频率估算法：大量重复试验中，事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率（有些时候用计算出A发生的所有频率的平均值作为其概率）；
(2)定义法：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，考查事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为；
(3)列表法：当一次试验要设计两个因素，可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．其中一个因素作为行标，另一个因素作为列标；
(4)树状图法：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率．
19．(1)且
(2)，
【分析】（1）利用一元二次方程的根的判别式，即可求解；
（2）根据m为正整数，可得，再解出方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵一元二次方程mx2﹣6x＋5＝0有两个不相等的实数根，
∴且，
∴且；
（2）解：∵且，m为正整数，
∴，
∴方程为：，即，
解得：，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法，二次函数，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
20．
【分析】设道路的宽为，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设道路的宽为，根据题意得：
，
解得：，（不合题意，舍去），
答：道路的宽为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OB，先根据直角三角形的性质得到∠AOB=60°，再运用平行线的性质结合已知条件可得，再证明可得即可；
（2）先求出∠COD，然后再运用弧长公式计算即可．
【详解】（1）证明：连接
∵，
∴
又∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵点在上
∴是的切线；
（2）∵
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、弧长公式等知识点，掌握圆的切线的证明方法成为解答本题的关键．
22．(1)y=-x2+2x （0≤x≤8）；
(2)不会碰到头，理由见解析
【分析】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点B （4，4），先设抛物线的顶点式y=a（x-4）2+4，再根据图象过原点，求出a的值即可；
（2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y的值，然后和1.68比较即可．
【详解】（1）解：如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m，
结合函数图象可知，顶点B （4，4），点O （0，0），
设二次函数的表达式为y=a（x-4）2+4，
将点O （0，0）代入函数表达式，
解得：a=-，
∴二次函数的表达式为y=-（x-4）2+4，
即y=-x2+2x （0≤x≤8）；
（2）解：工人不会碰到头，理由如下：
∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间，
由题意得：工人距O点距离为0.4+×1.2=1，
∴将x=1代入y=-x2+2x，
解得：y==1.75，
∵1.75m＞1.68m，
∴此时工人不会碰到头．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解决问题的关键．
23．29元．
【分析】设这种水果每千克降价元，根据超市每天要获得销售利润3640元列一元二次方程，解一元二次方程，再由题意要尽可能让顾客得到实惠，筛选符合条件的的值，即可解题售价．
【详解】解：设这种水果每千克降价元，
则每千克的利润为：元，销售量为：千克，
整理得，
或，
要尽可能让顾客得到实惠，
即售价为（元）
答：这种水果的销售价为每千克29元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
24．(1)且，见解析
(2)且，见解析
【分析】（1）延长至点，使，连接，，，延长交延长线于点．先证明，再证，得到为等腰直角三角形，即可求解；
（2）延长至点．使，连接，，，延长交延长线于点，先证明，再证，得到为等腰直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解： 且，
延长至点，使，连接，，，延长交延长线于点，
，，，
，
，，
，
，
在四边形中，，
，
又，
，
又，，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
点是中点，
，；
（2）且，
延长至点．使，连接，，，延长交延长线于点，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，，
，
，，
为等腰三角形，
，
，，，
由勾股定理可得，解得：，
且．
【点睛】本题考查了几何变换，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握三角形旋转后对应边与角的关系，灵活应用三角形全等的判定和性质是解题的关键．
25．(1)
(2)①y=-2x或y=x；②4-5
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）①根据轴对称的性质和平行线的性质得出AP=AO=5，即可求得P1（8，4），P2（-2，4），进一步得出直线OP的表达式；
②点C在以O为圆心，OA长为半径作⊙O上，连接BO，交⊙O于点C，此时BC的值最小，由B（-12，4），得出OB=4，即可求得BC的最小值为4-5．
【详解】（1）∵抛物线y=ax2+x经过点A（3，4），
把A（3，4）代入y=ax2+x，则4=a×32+3，
∴a=；
（2）①情况一：如图1：由对称性可知OA=OC，AP=CP，
∵AP//OC，
∴∠1=∠2，
又∵∠AOP=∠2，
∴∠AOP=∠1，
∴AP=AO，
∵A（3，4），
∴AO=5，
∴AP=5，
∴P1（8，4），
设OP的解析式为
把（8，4）代入得，
∴
∴OP的解析式为
同理可得情况二：P2（-2，4），
∴OP的表达式为y=-2x，
综上，OP的解析式为y=-2x或y=x．
②如图2：
∵OA=OC，
∴点C在以O为圆心，OA长为半径作⊙O上，连接BO，交⊙O于点C，
此时BC的值最小，
∵B（-12，4），
∴OB= 4，
∴BC的最小值为BO-OC=4-5．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，平行线的性质，明确题意，利用数形结合思想是解题的关键．
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
…
y＝ax2＋bx＋c
…
﹣13
﹣3
3
5
3
…