【全套精品专题】浙教版八年级上册 数学复习专题精讲 第08讲 角平分线、中垂线性质定理专题复习 -【专题突破】(解析版)

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第8讲 角平分线、中垂线性质定理专题复习【角平分线】1．如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的角平分线BE，CF相交于点O，∠A＝60°，则∠BOC的大小为（　　）A．110° B．120° C．130° D．150°【分析】根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC的度数．【解答】解：∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠OBC＝，，∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB），∵∠A＝60°，∴∠OBC+∠OCB＝（180°﹣60°）＝60°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣60°＝120°．故选：B．2．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，则∠A1＝　　．∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2009BC的平分线与∠A2009CD的平分线交于点A2010，得∠A2010，则∠A2010＝　　．【分析】根据三角形的外角定理可知∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，根据角平分线定义得∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，代入∠ACD＝∠A+∠ABC中，与∠A1CD＝∠A1+∠A1BC比较，可得∠A1＝＝，由此得出一般规律．【解答】解：∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，∴2∠A1CD＝∠A+2∠A1BC，即∠A1CD＝∠A+∠A1BC，∴∠A1＝＝，由此可得∠A2010＝． 故答案为：，．3．如图，在△ABC中，AD是高，角平分线AE，BF相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，则∠BOA= ，∠DAC= ．【分析】根据三角形高线可得∠ADC＝90°，利用三角形的内角和定理可求解∠DAC的度数；由三角形的内角和可求解∠B的度数，再根据角平分线的定义可求出∠BAO和∠ABO的度数，再利用三角形的内角和定理可求解．【解答】解：∵AD是△ABC的高线，∴∠ADC＝90°，∵∠ADC+∠C+∠CAD＝180°，∠C＝70°，∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°；∵∠ABC+∠C+∠CAB＝180°，∠C＝70°，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝180°﹣70°﹣50°＝60°，∵AE，BF分别平分∠BAC，∠ABC，AE，BF相交于点O，∴∠BAO＝∠BAC＝25°，∠ABO＝∠ABC＝30°，∵∠ABO+∠BAO+∠AOB＝180°，∴∠AOB＝180°﹣25°﹣30°＝125°．故答案为：∠AOB°＝125°，∠CAD＝20°4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD＝4，DE＝7，则线段EC的长为（　　）A．3 B．4 C．3.5 D．2【分析】根据△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．判断出∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，再利用两直线平行内错角相等，判断出∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，即BD＝DF，FE＝CE，然后利用等量代换即可求出线段CE的长．【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，∵DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，∴BD＝DF＝4，FE＝CE，∴CE＝DE﹣DF＝7﹣4＝3．故选：A．5．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°．则∠FEC的度数为（　　）A．10° B．20° C．30° D．60°【分析】根据AD∥BC，∠DAC+∠ACB＝180°，再由∠DAC＝120°，得出∠ACB＝60°，由∠ACF＝20°，得∠BCF的度数，根据CE平分∠BCF，得∠BCE＝∠ECF，因为EF∥AD，则EF∥BC，∠FEC＝∠BCE，即可得出∠FEC＝∠FCE．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DAC+∠ACB＝180°，∵∠DAC＝120°，∴∠ACB＝60°，∵∠ACF＝20°，∴∠BCF的＝40°，∵CE平分∠BCF，∴∠BCE＝∠ECF＝20°，∵EF∥AD，∴EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCE，∴∠FEC＝∠FCE＝20°．故选：B．6．如图，在△ABC中，∠B+∠C＝100°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（　　）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】首先利用三角形的内角和求得∠BAC，进一步求得∠BAD，利用DE∥AB求得∠ADE＝∠BAD得出答案即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠B+∠C＝100°，∴∠BAC＝80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝40°，∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD＝40°．故选：B．7．如图，点O是△ABC角平分线的交点，过点O作MN∥BC分别与AB，AC相交于点M，N，若AB＝5，BC＝8，CA＝7，则△AMN的周长为　12　．【分析】根据角平分线性质和平行线的性质推出∠MOB＝∠MBO，推出BM＝OM，同理CN＝ON，代入三角形周长公式求出即可．【解答】解：∵BO平分∠ABC，∴∠MBO＝∠CBO，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠CBO，∴∠MOB＝∠MBO，∴OM＝BM，同理CN＝NO，∴BM+CN＝MN，∴△AMN的周长是AN+MN+AM＝AN+CN+OM+ON＝AB+AC＝5+7＝12，故答案为：12．8．如图，Rt△ABC的两直角边AB、BC的长分别是9、12．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）A．1：1：1 B．1：2：3 C．3：4：5 D．2：3：4【分析】过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，根据角平分线的性质可知：OD＝OE＝OF，根据勾股定理可求解AC的长，再利用三角形的面积公式计算可求解．【解答】解：过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，∵△ABC的三条角平分线交于点O，∴OD＝OE＝OF，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝12，∴AC＝，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝，故选：C．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝10，点D到AB的距离为4，则DB的长为（　　）A．6 B．8 C．5 D．4【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质定理得到DC＝DE＝4，结合图形计算，得到答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴DC＝DE＝4，∴BD＝BC﹣DC＝10﹣4＝6，故选：A．10．如图，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，若EH＝4．则AC＝（　　）A．8 B．7 C．6 D．9【分析】先根据平行线的性质得出∠BAC+∠ACD＝18°，再由角平分线的性质可得出∠HAC+∠ACH＝90°，根据三角形内角和定理即可得出，△AHC是直角三角形．所以根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半解答．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°．∵∠BAC的平分线和∠ACD的平分线交于点H，∴∠HAC+∠ACH＝（∠BAC+∠ACD）＝90°，∴∠AHC＝180°﹣90°＝90°，∴△AHC是直角三角形．∵E为AC的中点，EH＝4，∴AC＝2EH＝8．故选：A．11．到三角形的三条边距离相等的点（　　）A．是三条角平分线的交点 B．是三条中线的交点 C．是三条高的交点 D．以上答案都不对【分析】根据三角形三条角平分线的性质可直接求解．【解答】解：∵三角形三条角平分线交于一点，这点到三角形的三边的距离相等．∴到三角形的三条边距离相等的点是三条角平分线的交点，故选：A．12．如图，点P是∠AOB内的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，连接OP，CD．若PC＝PD，则下列结论不一定成立的是（　　）A．∠AOP＝∠BOP B．∠OPC＝∠OPD C．PO垂直平分CD D．PD＝CD【分析】依据角平分线的性质、三角形内角和定理以及线段垂直平分线的性质，即可得出结论．【解答】解：∵PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝PD，∴点P在∠AOB的平分线上，即OP平分∠AOB，∴∠AOP＝∠BOP，故A选项正确；∵∠PCO＝∠PDO＝90°，∠AOP＝∠BOP，∴∠OPC＝∠OPD，故B选项正确；∵∠OPC＝∠OPD，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，∴OC＝OD，∴点O在CD的垂直平分线上，又∵PC＝PD，∴点P在CD的垂直平分线上，∴PO垂直平分CD，故C选项正确；∵∠PDC的度数不一定是60°，∴△CDP不一定是等边三角形，∴PD＝CD不一定成立，故D选项错误；故选：D．13．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作OD⊥AB于点D，则AD的长为 【分析】过O点作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，如图，根据角平分线的性质得到OE＝OF＝OD，在利用勾股定理计算出BC＝5，接着利用面积法求出OD＝1，然后证明四边形ADOE为正方形，从而得到AD的长．【解答】解：过O点作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，如图，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴OD＝OF，OE＝OF，即OE＝OF＝OD，∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵S△OAB+S△OAC+S△OBC＝S△ABC，∴×3×OD+×4×OE+×5×OF＝×4×3，∴OD＝1，∵∠DAE＝∠ADO＝∠AEO＝90°，∴四边形ADOE为矩形，∵OD＝OE，∴四边形ADOE为正方形，∴AD＝OD＝1．故答案为：1．14．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P，且与AB垂直，若AD＝8，则点P到BC的距离是 【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到PE＝AP，PE＝PD，根据AD＝8计算，得到答案．【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，AD⊥AB，∴AD⊥CD，∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC，∴PE＝AP，同理可得：PE＝PD，∴PE＝AD，∵AD＝8，∴PE＝4，即点P到BC的距离是4，故答案为：4．15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB垂足为E，则△DBE的周长等于 【分析】根据勾股定理求出AB，根据线段垂直平分线的性质得到DE＝DC，进而求出BE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，由勾股定理得：AB＝＝6，∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DE＝DC，∴AE＝AC＝6，∴BE＝AB﹣AE＝6﹣6，∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝BD+DC+BE＝BC+BE＝6﹣6+6＝6，故答案为：6．16．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（　　）A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2【分析】根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBC＝S△ABC，代入求出即可．【解答】解：延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP和△EBP中，，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴S△PBC＝S△ABC＝×9cm2＝4.5cm2，故选：C．17．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BGC＝90°﹣∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD＝m，AE+AF＝n，则，其中正确的结论有　①③④　（填序号）．【分析】①根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G可得出∠EBG＝∠CBG，∠BCG＝∠FCG，再由EF∥BC可知∠CBG＝∠EGB，∠BCG＝∠CGF，故可得出BE＝EG，GF＝CF，由此可得出结论；②先根据角平分线的性质得出∠GBC+∠GCB＝（∠ABC+∠ACB），再由三角形内角和定理即可得出结论；③根据三角形内心的性质即可得出结论；④连接AG，根据三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴∠EBG＝∠CBG，∠BCG＝∠FCG．∵EF∥BC，∴∠CBG＝∠EGB，∠BCG＝∠CGF，∴∠EBG＝∠EGB，∠FCG＝∠CGF，∴BE＝EG，GF＝CF，∴EF＝EG+GF＝BE+CF，故本小题正确；②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴∠GBC+∠GCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，故本小题错误；③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴点G是△ABC的内心，∴点G到△ABC各边的距离相等，故本小题正确；④连接AG，∵点G是△ABC的内心，GD＝m，AE+AF＝n，∴S△AEF＝AE•GD+AF•GD＝（AE+AF）•GD＝nm，故本小题正确．故答案为①③④．18．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，已知CD＝4．则AC的长为 　4+4　．【分析】依据角平分线的性质可证明DC＝DE，接下来证明△BDE为等腰直角三角形，从而得到DE＝EB＝4，然后依据勾股定理可求得BD的长，然后由AC＝BC＝CD+DB求解即可．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝CD，∵CD＝4，∴DE＝4，又∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC，又∵∠C＝90°，∴∠B＝45°，∴∠BDE＝90°﹣45°＝45°，∴BE＝DE＝4，在等腰直角三角形BDE中，由勾股定理得，BD＝＝4，∴AC＝BC＝CD+BD＝4+4，故答案为：4+4．19．如图，已知△ABC，∠BAC＝80°，∠ABC＝40°，若BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，连接AE，则∠AEB的度数为　30°　．【分析】过E点作EF⊥AB于F，EH⊥AC于H，EP⊥BD于P，如图，利用角平分线的性质得到EF＝EP，∠ABE＝∠ABC＝×40°＝40°，EH＝EP，则EF＝EH，再根据角平分线的性质定理的逆定理可判断AE平分∠FAC，则可计算出∠FAE＝50°，然后根据三角形外角性质可计算出∠AEB的度数．【解答】解：过E点作EF⊥AB于F，EH⊥AC于H，EP⊥BD于P，如图，∵BE平分∠ABC，∴EF＝EP，∠ABE＝∠ABC＝×40°＝40°，∵CE平分外角∠ACD，∴EH＝EP，∴EF＝EH，∴AE平分∠FAC，∵∠BAC＝80°，∴∠FAC＝180°﹣80°＝100°，∴∠FAE＝∠FAC＝50°，∵∠FAE＝∠ABE+∠AEB，∴∠AEB＝50°﹣20°＝30°．故答案为30°．20．如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：①CP平分∠ACF；②∠BPC＝∠BAC；③∠APC＝90°﹣∠ABC；④S△APM+S△CPN＞S△APC．其中结论正确的为 　①②③　．（填写结论的编号）【分析】①作PD⊥AC于D．根据角平分线性质得到PM＝PN，PM＝PD，得到PM＝PN＝PD，于是得到点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；②根据三角形的判定和性质得到AD＝AM，∠APM＝∠APD，CD＝CN，∠NPC＝∠DPC，于是得到∠APC＝MPN，故②正确；③根据四边形的内角和得到∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，求得∠ABC+∠MPN＝180°，于是得到∠APC＝90°﹣∠ABC，故③正确；④根据角平分线定义得到∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCN＝∠ACF＝∠BPC+∠ABC，得到∠BPC＝∠BAC，根据全等三角形的性质得到S△APM+S△CPN＝S△APC．故④不正确．【解答】解：①作PD⊥AC于D．∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，∴PM＝PN，PM＝PD，∴PM＝PN＝PD，∴点P在∠ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），故①正确；②∵PB平分∠ABC，CP平分∠ACF，∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACF＝2∠PCF，∵∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCF＝∠PBF+∠BPC，∴∠BAC＝2∠BPC，∴∠BPC＝∠BAC，故②正确；③∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，∴∠APC＝90°﹣∠ABC，故③正确；④∵S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④不正确．综上所述，①②③正确．故答案为：①②③．21．如图，已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，EF过点O且EF∥BC．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数；（2）若∠BOC＝130°，∠1：∠2＝3：2，求∠ABC、∠ACB的度数．【分析】（1）由角平分线的定义可求解∠OBC＝25°，∠OCB＝30°，再利用三角形的内角和定理可求解；（2）由已知条件易求∠1，∠2的度数，根据平行线的性质即可得∠OBC，∠OCB的度数，利用角平分线的定义可求解．【解答】解：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线BO与CO相交于点O，所以∠EBO＝∠OBC＝，∠FCO＝∠OCB＝，又∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，∴∠OBC＝25°，∠OCB＝30°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝125°；（2）∵∠BOC＝130°，∴∠1+∠2＝50°，∵∠1：∠2＝3：2，∴，，∵EF∥BC，∴∠OBC＝∠1＝30°，∠OCB＝∠2＝20°，∵∠ABC和∠ACB的平分线BO与CO相交于点O，∴∠ABC＝60°，∠ACB＝40°．22．如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F．（1）若AB＝4，AC＝5，求△AEF的周长．（2）过点O作OH⊥BC于点H，连接OA，如图2．当∠BAC＝60°时，试探究OH与OA的数量关系，并说明理由．【分析】（1）证明∠EOB＝∠CBO得到EB＝EO，同理可得FO＝FC，然后利用等线段代换得到△AEF的周长＝AB+AC；（2）过O点作OG⊥AE于G，OQ⊥AC于Q，如图2，根据角平分线的性质得到OH＝OG，OH＝OQ，则OG＝OQ，根据角平分线的性质定理的逆定理可判断OA平分∠BAC，所以∠GAO＝30°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到OG＝OA，从而得到OH＝OA．【解答】解：（1）∵OB平分∠ABC，∴∠CBO＝∠ABO，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠CBO，∴△EBO为等腰三角形，∴EB＝EO，同理可得FO＝FC，∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+EO+FO+AF＝AB+AC＝4+5＝9；（2）OH＝OA．理由如下：过O点作OG⊥AE于G，OQ⊥AC于Q，如图2，∵OB平分∠ABC，OH⊥BC，OG⊥AB，∴OH＝OG，∵OC平分∠ACB，∴OH＝OQ，∴OG＝OQ，∴OA平分∠BAC，∴∠GAO＝∠BAC＝30°，∴OG＝OA，∴OH＝OA．23．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，BD＝4，∠B＝30°，S△ACD＝7，求AC的长．【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据直角三角形的性质求出DE，根据角平分线的性质求出DF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：过点D作DF⊥AC于F，在Rt△BDE中，BD＝4，∠B＝30°，∴DE＝BD＝2，∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE＝2，∵S△ACD＝7，∴×AC×2＝7，解得：AC＝7．24．在△ABC中，AD是角平分线，∠B＜∠C，（1）如图（1），AE是高，∠B＝50°，∠C＝70°，求∠DAE的度数；（2）如图（2），点E在AD上．EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的大小关系，并证明你的结论；（3）如图（3），点E在AD的延长线上．EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的关系是　∠DEF＝（∠C﹣∠B）　（直接写出结论，不需证明）．【分析】（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到∠CAD＝∠BAC，∠CAE＝90°﹣∠C，进而得出∠DAE＝（∠C﹣∠B），由此即可解决问题．（2）过A作AG⊥BC于G，依据平行线的性质可得∠DAG＝∠DEF，依据（1）中结论即可得到∠DEF＝（∠C﹣∠B）．（3）过A作AG⊥BC于G，依据平行线的性质可得∠DAG＝∠DEF，依据（1）中结论即可得到∠DEF＝（∠C﹣∠B）不变．【解答】解：（1）如图1，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAC，∵AE⊥BC，∴∠CAE＝90°﹣∠C，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝∠BAC﹣（90°﹣∠C）＝（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）＝∠C﹣∠B＝（∠C﹣∠B），∵∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠DAE＝（70°﹣50°）＝10°．（2）结论：∠DEF＝（∠C﹣∠B）．理由：如图2，过A作AG⊥BC于G，∵EF⊥BC，∴AG∥EF，∴∠DAG＝∠DEF，由（1）可得，∠DAG＝（∠C﹣∠B），∴∠DEF＝（∠C﹣∠B）．（3）仍成立．如图3，过A作AG⊥BC于G，∵EF⊥BC，∴AG∥EF，∴∠DAG＝∠DEF，由（1）可得，∠DAG＝（∠C﹣∠B），∴∠DEF＝（∠C﹣∠B），故答案为∠DEF＝（∠C﹣∠B）．【线段垂直平分线】1．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE、AF，若△AEF的周长为2，则BC的长是（　　）A．2 B．3 C．4 D．无法确定【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，根据三角形的周长公式即可求出BC．【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，∴EA＝EB，∵AC的垂直平分线交BC于点F．∴FA＝FC，∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+AF＝△AEF的周长＝2．故选：A．2．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（　　）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝4，结合图形计算，得到答案．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4，∴EB＝EA＝4，∴BC＝EB+EC＝4+2＝6，故选：C．3．如图，在△ABC中，BC边上两点D、E分别在AB、AC的垂直平分线上，若BC＝24，则△ADE的周长为（　　）A．22 B．23 C．24 D．25【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵点D、E分别在AB、AC的垂直平分线上，∴DA＝DB，EA＝EC，∴△ADE的周长＝DA+DE+EA＝DB+DE+EC＝BC＝24，故选：C．4．如图，已知∠B＝20°，∠C＝25°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（　　）A．80° B．90° C．100° D．105°【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PB，QA＝QC，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C，结合图形计算，得到答案．【解答】解：∵∠B＝20°，∠C＝25°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝135°，∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，∴PA＝PB，QA＝QC，∴∠PAB＝∠B＝20°，∠QAC＝∠C＝25°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠PAB﹣∠QAC＝135°﹣20°﹣25°＝90°，故选：B．5．如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（　　）cmA．3 B．4 C．7 D．11【分析】根据线段垂直平分线的性质得到NA＝NB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，∴NA＝NB，∵△BCN的周长是7cm，∴BC+CN+BN＝7（cm），∴BC+CN+NA＝7（cm），即BC+AC＝7（cm），∵AC＝4cm，∴BC＝3（cm），故选：A．6．元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（　　）A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上．【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最合适．故选：D．7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若DE＝3，AE＝5，则△ACE的周长为 　16　．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB＝5，DE⊥AB，∵DE＝3，∴AD＝＝4，∴AB＝2AD＝8，∵∠BAC＝∠BDE＝90°，∴DE∥AC，∴BE＝CE＝5，∴AC＝2DE＝6，BC＝10，∴△ACE的周长＝AC+EC+EA＝AC+EC+EB＝AC+BC＝AC+BC＝16，故答案为：16．8．如图，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，若∠FAC＝68°，则∠B的度数为 　68°　．【分析】根据角平分线的定义得出∠CAD＝∠BAD，根据线段垂直平分线的性质得出FA＝FD，根据等腰三角形的性质得到∠FDA＝∠FAD，根据三角形的外角性质得出∠FDA＝∠B+∠BAD，代入计算即可．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，设∠CAD＝∠BAD＝x，∵EF垂直平分AD，∴FA＝FD，∴∠FDA＝∠FAD，∵∠FAC＝68°，∴∠FAD＝∠FAC+∠CAD＝68°+x，∵∠FDA＝∠B+∠BAD＝∠B+x，∴68°+x＝∠B+x，∴∠B＝68°，故答案为：68°．9．如图，△ABC中，已知∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，若∠DAC：∠DAB＝1：2，那么∠BAC＝　54　度．【分析】设∠DAB＝2x，则∠DAC＝x，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则∠B＝∠DAB＝2x，再利用三角形内角和得到90°+2x+2x+x＝180°，解方程求出x，然后计算3x即可．【解答】解：设∠DAB＝2x，则∠DAC＝x，∵DE是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠B＝∠DAB＝2x，∵∠C+∠B+∠CAB＝180°，∴90°+2x+2x+x＝180°，解得x＝18°，∴∠BAC＝x+2x＝3x＝54°．故答案为：54．10．如图，已知△ABC的面积为10cm2，BP为∠ABC的角平分线，AP垂直BP于点P，则△PBC的面积为 　5　cm2．【分析】延长AP交BC于E，根据全等三角形的性质得到S△ABP＝S△BEP，AP＝PE，得到△APC和△CPE等底同高，求得S△APC＝S△PCE，设△ACE的面积为m，于是得到结论．【解答】解：延长AP交BC于E，∵AP垂直∠B的平分线BP于P，∠ABP＝∠EBP，又知BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°，在△ABP与△BEP中，，∴△ABP≌△BEP（ASA），∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE，∴△APC和△CPE等底同高，∴S△APC＝S△PCE，设△ACE的面积为m，∴S△ABE＝S△ABC+S△ACE＝10+m，∴S△PBC＝S△ABE﹣S△ACE＝5（cm2）．故答案为：5．11．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC＝∠B．【分析】根据线段垂直平分线得出AF＝DF，推出∠FAD＝∠FDA，根据角平分线得出∠BAD＝∠CAD，根据三角形外角性质推出即可．【解答】证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠FDA，∵∠FAD＝∠FAC+∠CAD，∠FDA＝∠B+∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠FAC＝∠B．12．在△ABC中，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，（1）如图（1），连接AM、AN，求∠MAN的度数；（2）如图（2），如果AB＝AC，求证：BM＝MN＝NC．【分析】（1）由在△ABC中，∠BAC＝130°，可求得∠C+∠B的度数，然后由AB、AC的垂直平分线分别交BC于点M、N，根据线段垂直平分线的性质，可得BM＝AM，CN＝AN，即可得∠CAN＝∠C，∠BAM＝∠B，继而求得∠CAN+∠BAM的度数，则可求得答案；（2）先求出△BMA与△CNA是等腰三角形，再证明△MAN为等边三角形即可．【解答】（1）解：∵∠BAC＝120°，∴∠B+∠C＝60°，由（1）证得BM＝AM，CN＝AN，∴∠C＝∠CAN，∠B＝∠BAM，∴∠CAN+∠BAM＝∠C+∠B＝60°，∴∠MAN＝120°﹣60°＝60°；（2）证明：∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，∴BM＝AM，CN＝AN，∴∠MAB＝∠B，∠CAN＝∠C，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAM+∠CAN＝60°，∠AMN＝∠ANM＝60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM＝AN＝MN，∴BM＝MN＝NC．