【全套精品专题】浙教版八年级上册 数学复习专题精讲 第10讲 勾股定理与勾股定理逆定理 -【专题突破】（解析版）

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第10讲 勾股定理与勾股定理逆定理考点一 勾股定理【知识点睛】直角三角形勾股定理在Rt△ABC中，两直角边的平方和=斜边的平方，即常见变形：；；注意事项：当直角三角形的给出的两边没有说明是什么边长时，利用勾股定理求长度时通常需要分类讨论直角三角形求长度其他常用相关性质有：直角三角形斜边上的中线=½斜边长等腰三角形的两腰长相等；等腰三角形的“三线合一”中垂线的性质定理；勾股定理常见面积模型【类题训练】1．直角三角形的两条边长a，b满足，则其斜边长为（　　）A．5 B． C．4或5 D．或5【分析】由非负数的性质求出a和b的值即可求解．【解答】解：∵a，b满足，∴3﹣a＝0，b﹣4＝0，∴a＝3，b＝4，①当4是直角边时，其斜边长＝＝5，②当4是斜边时，其斜边长为4，故选：C．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，CD是△ABC的中线，则AD的长为（　　）A．2 B．2.5 C．4 D．5【分析】根据勾股定理即可得到AB的长，进而可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，∴AB＝，∵AD是BC边上中线，∴AD＝AB＝2.5，故选：B．3．如图，在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（　　）A．2 B．2 C． D．【分析】根据勾股定理即可得到答案．【解答】解：∵在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，∴任意两个格点间的距离有：1，2，3，，＝2，＝，＝3，＝，＝，∴任意两个格点间的距离不可能是，故选：D．4．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）A． B． C． D．【分析】由正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、大正方形的面积为：c2，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；B、大正方形的面积为：（a+b）2，也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴B选项不能证明勾股定理．C、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+c2＝2ab+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理；D、梯形的面积为：（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：ab×2+c2＝ab+c2，∴（a2+b2）+ab＝ab+c2，∴a2+b2＝c2，故D选项能证明勾股定理；故选：B．5．如图，有一个水池，水面是一边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（　　）尺．A．7.5 B．8 C． D．9【分析】设芦苇的长度为x尺，则AB的长为（x﹣1）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理列方程即可．【解答】解：设芦苇的长度为x尺，则AB的长为（x﹣1）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC2＝AB2+AC2，即：，解得：x＝，即芦苇的长度为：尺，故选：C．6．为预防新冠疫情，学校大门入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.3米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.7米的学生CD正对门缓慢走到离门0.8米处时（即BC＝0.8米），测温仪自动显示体温，此时人头顶到测温仪的距离AD等于（　　）A．1.0米 B．1.25米 C．1.2米 D．1.5米【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB＝2.3米，BE＝CD＝1.7米，ED＝BC＝0.8米，∴AE＝AB﹣BE＝2.3﹣1.7＝0.6（米）．在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1（米），故选：A．7．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，则S4＝（　　）A．183 B．87 C．119 D．81【分析】利用勾股定理的几何意义解答．【解答】解：由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，如图，连接BD，在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，即S1+S4＝S3+S2，因此S4＝135﹣48＝87，故选：B．8．如图Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝10，点F是BA延长线上一点，过点F作FD∥BC，交CA延长线于点D，点E是CD的中点，若BF＝12，DF＝5，则EF的长是（　　）A．3 B．5 C．6.5 D．6【分析】延长FE交BC于G，利用ASA证明△DFE≌△CGE，得BG＝DF＝5，EF＝EG，在Rt△BGF中，利用勾股定理求得FG的长，即可得出答案．【解答】解：延长FE交BC于G，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，∵FD∥BC，∴∠D＝∠C，在△DFE和△CGE中，，∴△DFE≌△CGE（ASA），∴CG＝DF＝5，EF＝EG，∴BG＝5，在Rt△BGF中，由勾股定理得，FG＝＝13，∴EF＝FG＝6.5，故选：C．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AC+BC＝3.5，AB＝2.5，则CD的长为（　　）A．1 B．1.2 C．1.25 D．1.5【分析】利用勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，然后结合AC+BC＝3.5，AB＝2.5求得AC•BC的值；最后利用等面积法求得CD的长度即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，则AC2+BC2＝AB2．∵AC+BC＝3.5，AB＝2.5，∴AC•BC＝[（AC+BC）2﹣（AC2+BC2）]＝[（AC+BC）2﹣AB2]＝（3.52﹣2.52）＝3．又∵CD⊥AB，∴AC•BC＝AB•CD，∴CD＝＝＝1.2．故选：B．10．代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若∠ADE＝∠AED，AD＝4，则△ADE的面积为（　　）A．24 B．6 C．2 D．2【分析】由已知得出AD＝AE＝AB，进而利用图形面积的割补关系解得即可．【解答】解：如图：∵∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE＝AB，∴∠AEF＝∠ABF，∵AF⊥BE，∴EF＝BF＝BE，∴GE＝AH，∵∠GEM＝∠HAM，∠MGE＝∠MHA，∴△GEM≌△HAM（ASA），∴S△HAM＝S△GEM，∴S△ADE＝S△ADH+S△DGE，∵AD＝4，DH＝2AH，AD2＝DH2+AH2，∴AH＝4，DH＝8，∴DG＝GE＝4，∴，故选：A．11．勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成，可以用其面积关系验证勾股定理，将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为（　　）A．60 B．100 C．110 D．121【分析】延长AB交KL于点O，延长AC交LM于点P，证△OBF≌△ACB（AAS），得AC＝OB，同理△ACB≌△PGC（AAS），得PC＝AB，再证矩形AOLP是正方形，边长AO＝7，则KL＝10，LM＝11，即可解决问题．【解答】解：延长AB交KL于点O，延长AC交LM于点P，如图所示：则四边形AOLP是矩形，∴∠BOF＝∠BAC＝90°，∵四边形BCGF是正方形，∴BC＝BF，∠CBF＝90°，∴∠ABC+∠OBF＝90°，又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠OBF＝∠ACB，在△OBF和△ACB中，，∴△OBF≌△ACB（AAS），∴AC＝OB，同理：△ACB≌△PGC（AAS），∴PC＝AB，∴AB+OB＝PC+AC，即OA＝AP，∴矩形AOLP是正方形，边长AO＝AB+OB＝AB+AC＝3+4＝7，∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，∴长方形LMJK的面积为：10×11＝110，故选：C．12．如图，将一副三角尺叠放在一起，若AB＝2cm，则AF的长为 　 　cm．【分析】先利用30°的直角三角形的性质可得AC长，再利用BC∥DE可得∠AFC＝45°，进而可得△ACF为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出AF长．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝2cm，∠B＝30°，∴AC＝＝1，∵BC∥DE，∴∠AFC＝∠D＝45°，∴△ACF为等腰直角三角形，∴AF＝＝．故答案为：．13．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若AD＝3，BC＝5，则AB2+CD2＝　 　．【分析】根据“垂美”四边形的定义得到BD⊥AC，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD为“垂美”四边形，∴BD⊥AC，∴∠AEB＝∠AED＝∠BEC＝∠DEC＝90°，在Rt△AED中，AE2+DE2＝AD2＝9，在Rt△BEC中，BE2+CE2＝BC2＝25，∴AE2+DE2+BE2+CE2＝9+25＝34，在Rt△AEB中，AE2+BE2＝AB2，在Rt△CED中，CE2+DE2＝CD2，∴AB2+CD2＝AE2+DE2+BE2+CE2＝9+25＝34，故答案为：34．14．如图，一架梯子AB斜靠在某个胡同竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处，保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点E处．已知顶端A距离地面的高度AC为2米，BC为1.5米．（1）梯子的长为 　 　米；（2）若顶端E距离地面的高度EF比AC多0.4米，则胡同的宽CF为 　 　米．【分析】（1）根据勾股定理可求出梯子的长；（2）根据勾股定理可得出BD的长，进而可求解．【解答】解：（1）在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，AC＝2米，CB＝1.5米，BC2+AC2＝AB2，∴AB2＝22+1.52＝6.25，∴AB＝±2.5，∵AB＞0，∴AB＝2.5米，即梯子的长为2.5米，故答案为：2.5；（2）由题意得CD＝AC+0.4＝2.4米，BE＝AB＝2.5米，∴BF2＝2.52﹣2.42＝0.49，∴BF＝0.7米，∴CD＝CB+BF＝1.5+0.7＝2.2米，故答案为：2.2．15．如图，已知，∠MON＝∠BAC＝90°，且点A在OM上运动，点B在ON上运动，若AB＝8，AC＝6，则OC的最大值为 　 　．【分析】取AB的中点E，连接OE，CE，利用勾股定理求出CE，再利用直角三角形斜边上中线的性质得OE的长，最后利用三角形三边关系可得答案．【解答】解：取AB的中点E，连接OE，CE，∴AE＝4，在Rt△ACE中，由勾股定理得，CE＝＝＝2，∵∠AOB＝90°，点E为AB的中点，∴OE＝AB＝4，∵OC≤OE+CE，∴当点O、E、C共线时，OC最大值为4+2，故答案为：4+2．16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，，，分别以Rt△ABC的三条边AC、AB、BC为直径画半圆，则两个月牙形图案的面积之和（阴影部分）为 　 　．【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，设以AB，BC，AC为直径的半径分别为①，②，③，由勾股定理得S①+S②＝S③，从而得出两个月牙形图案的面积之和为△ABC的面积，进而得出答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，由勾股定理得：AB＝＝3，设以AB，BC，AC为直径的半径分别为①，②，③，∴S①＝，同理S，S，∴S①+S②＝S③，∴S阴影＝S①+S②+S△ABC﹣S③＝S×＝，故答案为：．17．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原由，C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3km，CH＝2.4km，BH＝1.8km．求原来的路线AC的长．【分析】先利用勾股定理的逆定理证明∠CHB＝90°，得出∠CHA＝90°，再利用勾股定理列出方程AC2＝（AC﹣1.8）2+2.42，解方程即可求出AC的长度．【解答】解：∵CH2+BH2＝2.42+1.82＝9，BC2＝32＝9，∴CH2+BH2＝BC2，∴△CHB是直角三角形，且∠CHB＝90°，∴∠CHA＝90°，∴AC2＝AH2+CH2，∵AB＝AC，∴AH＝AB﹣HB＝AC﹣1.8，∴AC2＝（AC﹣1.8）2+2.42，解得：AC＝2.5，答：原来的路线AC的长为2.5km．18．如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，E为BC边上一点，且CE＝2，AE＝2．（1）求AB的长；（2）点F为AB边上的动点，当△BEF为等腰三角形时，求AF的长．【分析】（1）由勾股定理的逆定理证出∠ACE＝90°，由勾股定理可求出答案；（2）分三种情况，由勾股定理可求出答案．【解答】解：（1）∵AC＝6，CE＝2，AE＝2，∴AC2+CE2＝40，AE2＝40，∴AC2+CE2＝AE2，∴∠ACE＝90°，∴AB＝＝＝6；（2）①∵BC＝6，CE＝2，∴BE＝4，当BF＝BE＝4时，∴AF＝AB﹣BF＝6﹣4；②如图，当BF＝EF时，有∠FEB＝∠B＝45°，∴∠BFE＝90°，BF＝EF，设BF＝EF＝x，∵BF2+EF2＝BE2，∴x2+x2＝42，∴x＝2（负值舍去），∴AF＝AB﹣BF＝6﹣2＝4；③如图，当BE＝EF时，有∠EFB＝∠B＝45°，∴∠BEF＝90°，EF＝BE＝4，∴BF＝＝4，∴AF＝AB﹣BF＝6﹣4＝2．综上所述，AF的长为6﹣4或4或2．19．如图，在△DEF中，∠D＝90°，DE＝16cm，EF＝20cm，P，Q是△DEF的边上的两个动点，其中点P从点E开始沿E→D方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点D开始沿D→F→E方向运动，且速度为每秒2m，它们同时出发，设出发的时间为ts．（1）DF＝　 　cm．（2）当点P在边EF的垂直平分线上时，t＝　 　s．（3）当点Q在边EF上时，求使△DFQ成为等腰三角形的运动时间．【分析】（1）根据勾股定理求得DF便可；（2）设EF的垂直平分线MN分别与DE、EF交于点M、点N，由勾股定理列出t的方程，进行解答便可；（3）分FD＝FQ，DF＝DQ，QD＝DF三种情形分别进行计算即可．【解答】解：（1）∵∠D＝90°，∴DF＝（cm），故答案为：12；（2）设EF的垂直平分线MN分别与DE、EF交于点M、点N，如下图，∴EM＝MF＝t，∴DM＝DE﹣EM＝16﹣t，∵MF2﹣DM2＝DF2，即t2﹣（16﹣t）2＝122，角得t＝12.5，故答案为：12.5；（3）根据题意得，FQ＝2t﹣12，当FD＝FQ时，2t﹣12＝12，解得t＝12，当QF＝QD时，过点Q作QH⊥FD于点H，则FH＝DH，∴HQ为△EDF的中位线，∴2t﹣12＝10，解得t＝11，当DF＝DQ时，作DG⊥EF于G，则DG＝＝＝，在Rt△DGF中，由勾股定理得，FG＝＝＝，∴FQ＝2FG＝，∴2t﹣12＝，解得t＝13.2，综上：t＝12或11或13.2．考点二 勾股定理的逆定理【知识点睛】勾股定理的逆定理在△ABC中，若两边的平方和=第三边的平方，则该△为直角三角形即在△ABC中，若，则△ABC为直角三角形，且∠C为直角【类题训练】1．以下列各组线段为边作三角形，不能作出直角三角形的是（　　）A．3，7，8 B．6，8，10 C．1，2， D．0.3，0.4，0.5【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．【解答】解：A、32+72≠82，故A选项不能构成直角三角形；B、62+82＝102，故B选项能构成直角三角形；C、12+22＝（）2，故C选项能构成直角三角形；D、0.32+0.42＝0.52，故D选项能构成直角三角形．故选：A．2．如图，小正方形的边长均为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ACB的度数是（　　）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】利用勾股定理求解AB，BC，AC的长可判断△ABC为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质可求解．【解答】解：由图可知：AB＝，BC＝，AC＝，∴AB2+BC2＝AC2，AB＝BC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°．故选：B．3．如图，某海域有相距10海里的两个小岛A和C，甲船先由A岛沿北偏东70°方向走了8海里到达B岛，然后再从B岛走了6海里到达C岛，此时甲船位于B岛的（　　）A．北偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上 C．北偏西30°方向上 D．北偏西40°方向上【分析】根据题意可得：∠DAB＝70°，AB＝8海里，BC＝6海里，AC＝10海里，然后利用勾股定理的逆定理先证明△ABC是直角三角形，从而∠ABC＝90°，最后利用平行线的性质求出∠ABE＝110°，从而利用角的和差关系即可解答．【解答】解：如图：由题意得：∠DAB＝70°，AB＝8海里，BC＝6海里，AC＝10海里，∵AB2+BC2＝82+62＝100，AC2＝102＝100，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°，∵AD∥BE，∴∠ABE＝180°﹣∠DAB＝110°，∴∠CBE＝∠ABE﹣∠ABC＝20°，∴此时甲船位于B岛的北偏西20°方向上，故选：B．4．如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点A，B，C为格点，点D为AC与网格线的交点，则∠ADB﹣∠ABD＝　 　．【分析】连接AE，BE，设AE与BD交于点F，根据勾股定理的逆定理先证明△ABE是等腰直角三角形，从而可得∠BAE＝45°，再根据题意可得∠AFD＝∠ADF，然后利用三角形的外角，进行计算即可解答．【解答】解：如图：连接AE，BE，设AE与BD交于点F，由题意得：AB2＝12+32＝10，AE2＝12+22＝5，EB2＝12+22＝5，∴AE＝EB，BE2+AE2＝AB2，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAE＝45°，∵BD∥EC，∴∠ADB＝∠ACE，∠AFD＝∠AEC，∵AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE，∴∠AFD＝∠ADF，∵∠AFD是△ABF的一个外角，∴∠AFD﹣∠ABD＝∠BAE＝45°，∴∠ADB﹣∠ABD＝45°，故答案为：45°．5．如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，AD＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积是 　 　．【分析】先连接AC，由勾股定理求得AC的长度，然后根据勾股定理的逆定理判定△ACD是直角三角形，最后根据四边形ABCD的面积＝直角△ABC的面积+直角△ADC的面积，列式计算即可．【解答】解：如图，连接AC，在△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝＝5．在△ADC中，AD＝12，CD＝13，AC＝5．∵122+52＝132，即AD2+AC2＝CD2，∴△ADC是直角三角形，且∠DAC＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝AB•BC+AC•AD＝×4×3+×5×12＝6+30＝36．故答案为：36．6．如图，点A、B、C在正方形网格点上，则∠ABC+∠ACB＝　 　．【分析】延长BA到点D，连接CD，根据勾股定理的逆定理证明△ACD是等腰直角三角形，从而可得∠DAC＝45°，然后再利用三角形的外角进行计算即可解答．【解答】解：如图：延长BA到点D，连接CD，由题意得：AD2＝22+12＝5，CD2＝22+12＝5，AC2＝12+32＝10，∴AD2+CD2＝AC2，∴△ACD是直角三角形，∴∠ADC＝90°，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∵∠DAC是△ABC的一个外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝45°，故答案为：45°．7．如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这5个格点中的3点为顶点画三角形，共可以画 　 　个直角三角形．【分析】根据题意画出图形，再找到其中的直角三角形即可得到结论．【解答】解：如图，一共可以画9个三角形，其中△ABE，△BCE，△CDE是直角三角形，共可以画3个直角三角形．故答案为：3．8．如图，点B为x轴上的一个动点，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，1），CE⊥x轴于E点，当点B的坐标为 　 　时，△ABC为直角三角形．【分析】可设点B的坐标为（x，0），分三种情况：①AB为斜边；②AC为斜边；③BC为斜边；根据勾股定理及逆定理列出方程计算即可求解．【解答】解：设点B的坐标为（x，0），分三种情况：①AB为斜边，（4﹣1）2+42+（x﹣4）2+12＝x2+42，解得x＝；②AC为斜边，（x﹣4）2+12+x2+42＝（4﹣1）2+42，解得x＝2；③BC为斜边，（x﹣4）2+12＝x2+42+（4﹣1）2+42，解得x＝﹣3．故当点B的坐标为（，0）或（2，0）或（﹣3，0）时，△ABC为直角三角形．故答案为：（，0）或（2，0）或（﹣3，0）．9．如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C有 　 　个．【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．【解答】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的格点C有0个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的格点C有3个．故满足条件的格点C有3个．故答案为：3．10．如图所示，四边形ABCD，∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m．（1）求四边形ABCD的面积；（2）如图2，以A为坐标原点，以AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系，点P在y轴上，若S△PBD＝S四边形ABCD，求P的坐标．【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理可求出BD＝5m，然后再证明△BDC是直角三角形，从而可得∠DBC＝90°，最后根据四边形ABCD的面积＝△ABD的面积+△DBC的面积，进行计算即可解答；（2）设P（0，a），可得PD＝|a﹣4|，然后根据已知可得•|a﹣4|•3＝9，进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵∠A＝90°，AB＝3m，DA＝4m，∴BD＝＝＝5（m），∵BC＝12m，CD＝13m，∴DB2+BC2＝52+122＝169，CD2＝132＝169，∴BD2+BC2＝CD2，∴△BDC是直角三角形，∴∠DBC＝90°，∴四边形ABCD的面积＝△ABD的面积+△DBC的面积＝AD•AB+DB•BC＝×4×3+×5×12＝36（m2），∴四边形ABCD的面积为36m2；（2）设P（0，a），∵DA＝4m，∴D（0，4），∴PD＝|a﹣4|，∵S△PBD＝S四边形ABCD，PD•AB＝×36，•|a﹣4|•3＝9，|a﹣4|＝6，a﹣4＝±6，a＝10或a＝﹣2，∴P（0，10）或（0，﹣2）．11．在一次“探究性学习”中，老师设计了如下数表：（1）观察上表，用含n（n＞1，且n为整数）的代数式表示a，b，c，则a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．（2）在（1）的条件下判断：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论．【分析】（1）根据表格中数据，即可解答；（2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．【解答】解：（1）观察上表，用含n（n＞1，且n为整数）的代数式表示a，b，c，则a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，故答案为：n2﹣1，2n，n2+1；（2）以a，b，c为边的三角形是直角三角形，证明：∵a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，∴a2＝（n2﹣1）2＝n4﹣2n2+1，b2＝（2n）2＝4n2，c2＝（ n2+1）2＝n4+2n2+1，∴a2+b2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1，∴a2+b2＝c2，∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度；（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD＝5，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质得DF＝5，最后由线段的差可得结论；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△CHB≌△AEF（SAS），得AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，由等腰三角形三线合一的性质得EF＝FH，最后由勾股定理和等量代换可得结论．【解答】（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC＝10，∴BD＝5，Rt△ABD中，∵AB＝13，∴AD＝＝＝12，Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴DF＝BD＝5，∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH在△CHB和△AEF中，∵，∴△CHB≌△AEF（SAS），∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，∴∠CEF＝∠CHE，∴CE＝CH，∵BD＝CD，FD⊥BC，∴CF＝BF，∴∠CFD＝∠BFD＝45°，∴∠CFB＝90°，∴EF＝FH，Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，∴BF2+EF2＝AE2．图形结论总结当分别以直角三角形的三边为边（或底边、半径）做规则的正方形、等边三角形、等腰直角三角形、半圆时，均满足两直角边所做图形的面积和等于斜边所做图形的面积n23456…a22﹣132﹣142﹣152﹣162﹣1…b4681012…C22+132+142+152+162+1…