2024年北京大兴区高一上学期期末数学试题及答案

这是一份2024年北京大兴区高一上学期期末数学试题及答案，共11页。

一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
sin 3π 等于
4
（A）  2
2
（B）  1
2
（C） 2
2
函数 f (x)  tan 2x 的最小正周期等于
（A） π
2
3π
2
下列函数中，不．是．表示同一函数的是
x  cs，y  cs x
1
2
π
（D） 2π
y  ln x2 ，y  2 ln x
y  1，y  sin2 x  cs2 x
y  x ，x ≥ 0 ， ，y | x |
x ，x  0 ．

下列函数中，在区间(0 ，1) 上单调递增的是
x
（A） y  2x（B） y  
y  lg 1 x
2
y  sin x
下列区间中，方程 2x  4 x  3  0 的解所在区间是
（A） ( 1 ，0)
4
（B） (0 1 )
，
4
，
（C） (1 1)
4 2
（D） (1 3)
，
2 4
已知， R ，则“ ”是“ sin sin ”的
充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
已知为第二象限角，且sin( π)   3 ，则tan( π) 等于
（A） 7
54
（B）1
（C） 1（D） 7
要得到函数 y  sin(1 x  π) 的图象，只需将函数 y  sin x 图象上的所有点
24
先向右平移 π 个单位长度，再将横坐标伸长到原来的 2 倍
4
先向右平移 π 个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 1
42
先向右平移 π 个单位长度，再将横坐标伸长到原来的 2 倍
8
先向右平移 π 个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 1
82
设0  m  1  a  b ，给出下列四个结论：① ma  mb ；② am  bm ；
③ lg
m  lg m ；④ ba．其中所有正确结论的序号是
aba  mb  m
（A）①②（B）③④
（C）①②③（D）①③④
已知函数 f (x)  x  lg2 x  4 的零点为 x1 ，g(x)  x  lga (x  1)  5 (a  1) 的零点为 x2 ，若 x2  x1  1 ，则实数 a 的取值范围是
（A） (1， 2)（B） ( 2 ，2)
（C） (1，2)
(2 ， )
第二部分 （非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
函数 y  tan x 的定义域是．
“密位”是一种度量角的单位．我国采用的“密位制”是 6000 密位制，即将一个圆周
分为 6000 等份，每一个等份是一个密位．那么 300 密位等于rad．
指数函数 y  ax 在区间[1，2] 上最大值与最小值的差为 2，则 a 等于．
已知函数 f (x) | ln x | ，若 f (x)  1 ，则 x  ；若0  a  b ，且 f (a)  f (b) ，则 a  b
的取值范围是．
已知函数 f (x) 对任意的 x ，y  R ，都有 f (x)  f (x  y) 成立．给出下列结论：
f ( y)
① f (0)  1 ；② f (x2 )  2 f (x) ；③ f (x)  0 ；④ f (x)  f ( y) ≥ f ( x  y ) ．
22
其中所有正确结论的序号是．
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 14 分）
(2)2
25  1
（Ⅰ）求值： () 2 
9
 eln 2  lg；
5 100
5
（Ⅱ）已知10a  2 ，10b  3 ，用 a ，b 表示lg 12 ．
（17）（本小题 14 分）
在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点 P( 4 ， 3) ，若角与的顶点均为
55
坐标原点O ，始边均为 x 轴的非负半轴，将OP 绕原点O 按逆时针方向旋转 π 后与角的终
4
边OQ 重合．
求cs 2的值；
求sin( π  ) 的值．
2
（18）（本小题 14 分）
已知函数 f (x)  sin x cs x  sin2 x ，x  R ．
求 f (x) 的最小正周期和单调递增区间；
，
求 f (x) 在区间[ π π ] 上的最大值与最小值．
4 4
（19）（本小题 14 分）
已知函数 f (x)  ln(1  x) ， g(x)  ln(1  x) ．
求证： f (x)  g(x) 为偶函数；
设 h(x)  f (x)  g(x) ，判断 h(x) 的单调性，并用单调性定义加以证明．
（20）（本小题 14 分）
设关于 x 的函数 y  cs 2x  2a cs x  2a 的最小值为 f (a) ．
（Ⅰ）求 f (a) ；
（Ⅱ）若 f (a)  1
2
，求函数 y 的最大值．
（21）（本小题15分）
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m, 转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进 舱，转一周大约需要30 min．
（ Ⅰ ） 游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 t min 后距离地面的高度为 H m, 求在转动一周的过程中，H 关于 t 的函数解析式；
求游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度；
若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一
周的过程中，求两人距离地面的高度差 h (单位：m)关于t 的函数解析式，并求高度差的最大值(精确到0.1)．
（参考公式与数据： sin sin 2sin
cs；
22
cs cs 2sinsin π
 0.065 ．）
sin；
2248
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
大兴区 2023～2024 学年度第一学期期末检测
高一数学参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（11）{x | x ¹ π + kπ ，k Î Z} ．
2
（12） π ．
10
（13） 2 ．
（14） x  e ，或 x  1 （只写对一个给 2 分，两个全对给 3 分）； (2 ， ) （2 分）
e
（15）①③④（只选对一个给 2 分，只选对两个给 3 分；全对给 5 分，有错误选项给 0 分）
三、解答题（共 6 小题，共 80 分）
（17）（本小题 14 分）
5 11
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
A
B
D
C
B
A
A
D
D
解：（Ⅰ） 原式 (( )2 ) 2  | 2 | 2  lg(102 ) 5
3
…………4 分
5 2
 ( ) 1  2  2  lg10 5
3
 3  2
55
 1
…………7 分
…………8 分
（Ⅱ）由已知， a  lg 2 ，b  lg 3 ，2 分
55
则lg 12  lg (3  22 )
 lg(3  22 )
lg 10
2
 lg 3  2 lg 2 1  lg 2
 2a  b
1  a
…………3 分
…………5 分
…………6 分
高一数学期末检测试题参考答案及评分标准第 1页（共 5 页）
（17）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）由三角函数定义， sin  3 ， cs 4 ，2 分
5
cs 2 cs2 sin 2
5
…………3 分
 16  9
…………5 分
2525
 7
25
…………6 分
（Ⅱ）由题意，  π  2kπ ，k  Z ，2 分
4
sin( π  )  cs 2
 cs( π  2kπ)
4
 cs( π)
4
…………3 分
…………4 分
2 cs2 sin
…………5 分
22
 4 2  3 2
1010
 7 2
10
…………7 分
…………8 分
（18）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）因为 f (x)  sin x cs x  sin2 x
 1 sin 2x  1  cs 2x
22
 1 sin 2x  1 cs 2x  1
222
…………2 分
…………3 分
2 sin(2x  π)  1 ,4 分
242
所以 f (x) 的最小正周期T  2π  π ．6 分
2
函数 y  sin x 的单调递增区间为[2k π  π , 2k π  π]
22
(k  Z) ．7 分
由 2k π  π ≤ 2x  π ≤ 2k π  π ，8 分
242
得 k π  3π ≤ x ≤ k π  π ．
88
所以 f (x) 的单调递增区间为[k π  3π , k π  π ]
88
(k  Z) ．9 分
（Ⅱ）因为 π ≤ x ≤ π ，所以 π ≤ 2x  π ≤ 3π ．1 分
44444
高一数学期末检测试题参考答案及评分标准第 2页（共 5 页）
当 2x  π   π ，即 x   π 时， f (x) 取得最小值 f ( π)  1 ．3 分
4444
当 2x  π  π ，即 x  π 时， f (x) 取得最大值 f ( π) 2 1 ．5 分
42882
2 1
[ π π
所以 f (x) 在区间
（19）（本小题 14 分）
， ] 上的最小值为1 ，最大值为．
4 42
1  x  0
证明：函数 f (x)  g(x) 的自变量 x 满足，
1  x  0
解得1  x  1 ，
所以函数 f (x)  g(x) 的定义域为(1，1) ．2 分
对于x  (1，1) ，都有x  (1，1) ，且
f (x)  g(x)  ln(1  x)  ln(1  x) ，
 g(x)  f (x) ．4 分
所以函数 f (x)  g(x) 为偶函数．5 分
函数 h(x) 是单调递增函数．1 分
证明：设x1 ，x2 (1，1) ，且 x1  x2 ，2 分
h(x1 )  h(x2 )  ln(1  x1 )  ln(1  x1 )  (ln(1  x2 )  ln(1  x2 ))
 ln(1  x1 )  ln(1  x2 )  (ln(1  x1 )  ln(1  x2 ))
 ln(1  x1 )(1  x2 )  ln(1  x1 )(1  x2 )
…………4 分
(1  x1 )(1  x2 )  (1  x1 )(1  x2 )  2(x1  x2 ) ，5 分
因为 x1  x2 ，所以 2(x1  x2 )  0 ，即(1  x1 )(1  x2 )  (1  x1 )(1  x2 ) ，6 分
又知 x1 ，x2 (1，1) ，所以(1  x1 )(1  x2 )  0 ，(1  x1 )(1  x2 )  0 ，因此ln(1  x1 )(1  x2 )  ln(1  x1 )(1  x2 ) ，7 分
即 h(x1 )  h(x2 ) ，由函数单调性定义可知，8 分
函数 h(x) 是单调递增函数．9 分
高一数学期末检测试题参考答案及评分标准第 3页（共 5 页）
（20）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ） y  2 cs2 x  2a cs x  2a  1 ，
设t  cs x ，则 y  2t 2  2at  2a  1 ， t [1，1]2 分
由于 y  2(t 
a )2
a2

2a 1，3 分
22
若 a  1 ，则当t  1 时， y 取得最小值1，即 f (a)  1 ；5 分
2
aaya2a2
若 1≤ ≤1，则当t 时， 取得最小值 2a  1 ，即 f (a)   2a 1 ；…7 分
2222
若 a  1 ，则当t  1 时， y 取得最小值1  4a ，即 f (a)  1  4a ．
2
1，a  2 ，
 a2
所以 f (a)   2a 1 ， 2 ≤ a ≤ 2 ，9 分
2


1  4a ，a  2 .
由第（Ⅰ）问的结论可知，
当 a  2 时， f (a)  1 无解；.……1 分
2
当2 ≤ a ≤ 2 时，由 f (a)  1 ，解得 a  1，或 a  3 （舍）；.……2 分
2
当 a  2 时，由 f (a)  1 ，解得 a  1 （舍），.……3 分
28
综上 a  1，
此时 y  2 cs2 x  2 cs x  1
 2(cs x  1) 2  1 ．
22
当cs x  1，即 x  2kπ(k  Z) 时， y 取得最大值 5 ．5 分
（21）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ）如图，设座舱距离地面最近的位置为点 P ，以轴心 O 为原点，与地面平行的直线为 x 轴建立直角坐标系.
设 t  0min 时，游客甲位于点 P(0 ， 55) ，
以 OP 为终边的角为 π ；根据摩天轮转
2
一周大约需要 30min，可知座舱转动的
π
角速度约为 15 rad/min, 由题意可得
H  55sin( π t  π)  65 ，0 ≤ t ≤ 30.5 分
152
高一数学期末检测试题参考答案及评分标准第 4页（共 5 页）
（Ⅱ）当t  5 时，
H  55sin( π  5  π)  65  37.5 ．
152
所以，游客甲在开始转动 5min 后距离地面的高度约为 37.5m．2 分
如图，甲、乙两人的位置分别用点 A，B 表示，则AOB  2π  π
. .……1 分
经过 t min 后甲距离地面的高度为 H1
4824
 55sin( π t  π)  65 ，点 B 相对于点 A 始终落后
152
π rad， 此时乙距离地面的高度为 H
241
 55sin( π t  13π)  653 分
1524
则甲、乙距离地面的高度差
h | H
1  H 2
| 55 | sin( π t  π)  sin( π t  13π
) |
1521524
.……4 分
 55 | sin( π t  π)  sin( 13π  π t) | ．
1522415
cs
利用sin sin 2sin ，可得
22
h  110 | sin
π sin( π t  π ) | ，0 ≤t ≤30 ．6 分
481548
当 π t  π  π （或 3π ），即t  7.8 （或 22.8)时，h 的最大值为110sin( π )  7.2 ．
15482248
所以， 甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为 7.2m．8 分
高一数学期末检测试题参考答案及评分标准第 5页（共 5 页）