05数列-上海市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（沪教版2020）

这是一份05数列-上海市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（沪教版2020），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）已知公差小于零的等差数列的前项和为，且，则使成立的最大正整数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021上·上海宝山·高三上海交大附中校考期末）已知无穷数列满足，且，，若数列的前2020项中有100项是0，则下列哪个不能是的取值（ ）
A．1147B．1148C．D．
3．（2020下·上海杨浦·高三复旦附中校考期末）用表示个实数的和，设，，其中，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2015上·上海嘉定·高三统考期末）已知数列的通项公式为，则数列（ ）
A．有最大项，没有最小项B．有最小项，没有最大项
C．既有最大项又有最小项D．既没有最大项也没有最小项
5．（2018上·上海闵行·高三统考期末）无穷等差数列的首项为，公差为，前项和为，则“”是“为递增数列”的
A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要
6．（2019上·上海徐汇·高三统考期末）已知数列是公差不为0的等差数列，前n项和为，若对任意的，都有，则的值不可能为
A．2B．C．D．
7．（2019上·上海·高三上海市七宝中学校考期末）已知正数数列{an}满足an+1≥2an+1，且an＜2n+1对n∈N*恒成立，则a1的范围为（ ）
A．[1，3]B．（1，3）C．（0，3]D．（0，4）
8．（2015上·上海·高三统考期末）已知等比数列前项和为，则下列一定成立的是
A．若，则；B．若，则；
C．若，则；D．若，则．
9．（2015上·上海奉贤·高三统考期末）已知数列的首项，，则下列结论正确的是
A．数列是等比数列B．数列是等比数列
C．数列是等差数列D．数列是等差数列
二、填空题
10．（2024上·上海静安·高三统考期末）在国家开发西部的号召下，某西部企业得到了一笔400万元的无息贷款用做设备更新．据预测，该企业设备更新后，第1个月收入为20万元，在接下来的5个月中，每月收入都比上个月增长20%，从第7个月开始，每个月的收入都比前一个月增加2万元．则从新设备使用开始计算，该企业用所得收入偿还400万无息贷款只需 个月．（结果取整）
11．（2023上·上海虹口·高三统考期末）设等比数列的前n项和为，若，，则 ．
12．（2023上·上海浦东新·高三统考期末）已知是等差数列的前项和，若，则满足的正整数的值为 ．
13．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）已知等差数列的前项和分别为和，若，且是整数，则的值为 .
14．（2021上·上海宝山·高三上海交大附中校考期末）设数列的前项和为，若与的等差中项为常数2，则数列的各项和是
15．（2019上·上海虹口·高三统考期末）设等差数列的前项和为，若，，则 ．
16．（2019上·上海嘉定·高三统考期末）已知数列满足：，，记数列的前项和为，若对所有满足条件的列数，的最大值为，最小值为，则 .
三、解答题
17．（2023上·上海松江·高三统考期末）已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)若集合，求集合中的元素个数．
18．（2023上·上海虹口·高三统考期末）2022年12月底，某厂的废水池已储存废水800吨，以后每月新产生的2吨废水也存入废水池．该厂2023年开始对废水处理后进行排放，1月底排放10吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加2吨．
(1)若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？
(2)该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用，该厂从2023年7月开始对该月计划排放的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年的几月份开始，当月排放的废水能被全部净化？
19．（2021上·上海宝山·高三上海交大附中校考期末）已知数列为等差数列，公差为，前项和为.
(1)若，求的值；
(2)若首项中恰有6项在区间内，求的范围；
(3)若首项，公差，集合，是否存在一个新数列，满足①此新数列不是常数列；②此新数列中任意一项；③此新数列从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数.若能，请举例说明；若不能，请说明理由.(注:数叫做数和数的调和平均数).
20．（2021上·上海宝山·高三上海交大附中校考期末）对于一组向量，，，…，，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“向量”.
（1）设，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围；
（2）若，向量组，，，…，是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由；
（3）已知､､均是向量组，，的“向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，…满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值.
参考答案：
1．D
【分析】利用等差数列的前项和公式及一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，则
由，得，解得，
所以等差数列的前项和为，
因为，，
所以，解得，又，
所以使成立的最大正整数为.
故选：D.
2．B
【分析】当时，分别令，可求出数列的前2020项中0的个数，进而得出规律，可求出满足题意的的取值；当时，分别令，可求出数列的前2020项中0的个数，进而得出规律，可求出满足题意的的取值.
【详解】①当时，
若，则数列的各项为，
此时数列为周期数列，周期为3，由，
可知数列的前2020项中有673项为0；
若，则数列的各项为，
此时数列为周期数列，周期为3，由，
可知数列的前2020项中有673项为0；
若，则数列的各项为，
此时数列从第3项开始为周期数列，周期为3，
由，可知数列的前2020项中有672项为0；
若，则数列的各项为，
此时数列从第4项开始为周期数列，周期为3，
由，可知数列的前2020项中有672项为0；
若，则数列的各项为，
此时数列从第6项开始为周期数列，周期为3，
由，可知数列的前2020项中有671项为0；
依次类推，可知当，或时，
数列的前2020项中有100项是0；
②当时，
若，则数列的各项为，
此时数列从第7项开始为周期数列，周期为3，
由，可知数列的前2020项中有671项为0；
若，则数列的各项为，
此时数列从第9项开始为周期数列，周期为3，
由，可知数列的前2020项中有670项为0；
若，则数列的各项为，
此时数列从第10项开始为周期数列，周期为3，
由，可知数列的前2020项中有670项为0；
若，则数列的各项为，
此时数列从第12项开始为周期数列，周期为3，
由，可知数列的前2020项中有669项为0；
依次类推，可知当，或时，
数列的前2020项中有100项是0.
综上所述，若数列的前2020项中有100项是0，
则可取的值有.
故选：B.
【点睛】本题考查无穷数列，解题的关键是通过条件探究数列的性质，利用赋值法分别令和，可分别求出数列的前2020项中0的个数，进而得出规律.考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.
3．B
【分析】先根据等比数列前项和公式求，再利用二项式定理求解，之后根据的范围求极限即可.
【详解】解：∵ ，∴ ，
∴
，
∴ ，
又 ∵ ，∴
∴ .
故选：B.
【点睛】本题考查等比数列前项和公式、二项式系数和、二项式定理和极限，考查数学运算能力.
4．C
【分析】将化为，其中；结合二次函数的性质和的取值可确定最值的取得情况，从而得到结果.
【详解】由题意得：
令，则
对称轴为，在上单调递减，在上单调递增
当时，取最小值；当时，取最大值
既有最大项又有最小项
故选：
【点睛】本题考查数列最大项和最小项的求解问题，关键是能够将通项公式化为二次函数的形式，根据二次函数性质求得结果；易错点是忽略数列中的取值的限制及换元后参数的取值限制，造成求解错误.
5．B
【分析】由为递增数列， 可得，必要性成立；利用特殊值证明充分性不成立.
【详解】等差数列的首项为,公差为,前项和为,
则,
若为递增数列， ，必要性成立；
若，不能推出（如）,
即不能推出为递增数列，充分性不成立，
故“”是“”为递增数列的必要非充分条件，故选B.
【点睛】本题主要考查数列的增减性，以及充分条件与必要条件的定义，属于难题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
6．D
【分析】由等差数数列前n项和公式推导出，由此能求出的值不可能为．
【详解】数列是公差不为0的等差数列，前n项和为，对任意的，都有，
，，
，
当时，成立；
当时，成立；
当时，成立；
当时，不成立．
的值不可能为．
故选D．
【点睛】本题考查等差数列的两项比值的求法，考查等差数列性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．
7．C
【分析】由条件可得1+an+1≥2（an+1），设bn=1+an，（an＞0，bn＞1），运用累乘法，结合不等式恒成立，即可得到所求范围．
【详解】解：正数数列{an}满足an+1≥2an+1，
可得1+an+1≥2（an+1），
设bn=1+an，（an＞0，bn＞1）
即有b2≥2b1，b3≥2b2，…，bn≥2bn-1，
累乘可得bn≥b1•2n-1，
可得1+an≥（1+a1）•2n-1，
又an＜2n+1对n∈N*恒成立，
可得1+2n+1＞1+an≥（1+a1）•2n-1，
即有1+2n+1＞（1+a1）•2n-1，
可得a1＜3+恒成立，
由3+＞3，
可得0＜a1≤3．
故选C．
【点睛】本题考查数列的递推式，注意累乘法的运用，考查等比数列的通项公式，考查不等式的性质和恒成立思想，属于中档题．
8．C
【详解】设等比数列的公比为，且
若，则，所以，故正确，不正确；
若，则，因此不正确，正负不定，D不正确.
故选C
9．B
【详解】当时，，则，即；而，所以从第二项起，成等比数列；故选B.
考点：与的关系.
10．10
【分析】根据题意前6个月的收入成等比数列，且公比为，第7个月开始收入成等差数列，公差为2，先算出前前6个月之和，再计算第7,8,9,10个月的收入可得解.
【详解】由题意设每个月的收入为数列，其前n项和记作，前6个月的收入成等比数列，且公比为，
第7个月开始收入成等差数列，公差为2，则，
又，，，，
而，，
所以该企业用所得收入偿还400万元贷款只需10个月.
故答案为：10.
11．
【分析】求出，得到公比，再利用公式法求和，最后求出其极限.
【详解】设等比数列的公比为，，所以，
所以，所以，
故答案为：.
12．
【分析】由等差数列的通项公式，然后利用等差数列的求和公式即可求解.
【详解】由题意得等差数列，得，
所以其前项和为，
由，即，解得，（舍），
所以的值为.
故答案为：.
13．15
【分析】先得到，设等差数列的公差分别为，利用和得到方程组，求出，进而表达出为整数，设，求出，由求出的取值范围，从而得到答案.
【详解】由题意得，
设等差数列的公差分别为，
，，故，
故，又，
故，即，
，又，
，即，
联立，化简得，
解得
又是整数，即是整数，
设，故，即，
解得，
令，解得，且，
当时，满足要求，
当时，不合要求，
当时，不合要求，
当时，不合要求，
当时，不合要求，
综上，的值为15.
故答案为：15
14．
【分析】由题得，则，作差有，求出首项即可得到，再利用等比数列求和公式即可.
【详解】与的等差中项为常数2，
，即①
②
①②得，
即，当时，，解得，
故是以2为首项，公比为的等比数列，
故，
故.
故答案为：.
15．/
【分析】设等差数列的公差为，进而根据题意列方程组求解，进而求通项公式即可.
【详解】解：设等差数列的公差为，因为，
所以，解得
所以
故答案为:
16．1078
【解析】根据数列的递推关系式，求出数列的前几项的最大值和最小值，进而结合计算规律和等差、等比数列的求和公式，求得的最大值和最小值，即可求解.
【详解】由题意，数列满足：，，
由，可得；
由，可得或；
由，可得或；或；
或；
由，可得或或；
或或；或或或或；
或或或或或；

综上可得的最大值，
最小值为，
所以.
故答案为：
【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
17．(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）借助数列的基本量运算即可得到；
（2）将条件转换后计算出与的关系，再根据的范围要求代入计算即可得.
【详解】（1）证明：设数列的公差为，则，
即，
解得，所以原命题得证.
（2）由（1）知，所以，
因为，所以，解得,
由，，故，即，
所以满足等式的解．
故集合中的元素个数为6.
18．(1)2025年1月底
(2)2024年8月份.
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式得到不等式，解出即可；
（2）设从2023年1月起第个月深度净化的废水量为，写出，再分析其单调性即可.
【详解】（1）设从2023年1月起第个月处理后的废水排放量为吨，
则由已知条件知:数列是首项为10，公差为2的等差数列，故.
令，
化简得，解得，或；
由是正整数，则.
故该厂在2025年1月底第一次将废水池中的废水排放完毕.
（2）设从2023年1月起第个月深度净化的废水量为吨.
由已知条件，，
当时，数列是首项为5，公比为1.2的等比数列，
故，（为正整数）.
显然，当时，.
当时，由得.
设，则，，
因为，，
所以当时，，即数列是严格增数列，且；
当时，，即数列是严格减数列.
由于.
所以不等式的解为(为正整数).
故该厂在2024年8月开始计划排放的废水能被全部净化.
19．(1)9900
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）由等差数列前n项和公式可得答案；
（2）由题可得为递增等差数列，设在中的6项为，则，据此可得答案；
（3）由题可得，.由所给信息可得，可得若存在，则为无穷数列，且为等差数列，后讨论两种情况下的存在性即可.
【详解】（1）因为，，又因为，
所以；
（2）由题可得为递增等差数列，设在中的6项为，则.
若，则，得不存在.
若，则，则，解得，
因，则，得.
（3）由题可得，.
假设存在，因从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数，
则为无穷数列，又由③，当，
，
得为等差数列，又，则.
若，其中，则此时为常数列，得是常数列.
这与不是常数列矛盾，则时，不存在这样的数列.
若，，其中.
则.
若，可得，又，则.
则，这与矛盾，
故时，不存在这样的数列；
若，可得，又，则.
则，这与矛盾，
故时，不存在这样的数列.
综上，不存在这样的数列.
【点睛】关键点点睛：本题涉及等差数列与数列新定义，难度较大.
（1）问较为基础；（2）问关键在于由题目条件找到关于与d的不等式；（3）问首先由题目定义确定为无穷数列及为等差数列，再结合不是常数列与导出矛盾·.
20．（1）；（2）是向量组，，，…，的“向量”，理由见解析；（3）.
【分析】（1）根据“向量”的定义，列不等式，求的取值范围；（2）分为奇数和偶数两种情况说明是向量组，，，…，的“向量”；（3）首先由､､均是向量组，，的“向量”，变形得到，设由由条件列式，变形为，转化为求的最小值.
【详解】解：（1）由题意，得：，
则
解得：
（2）是向量组，，，…，的“向量”，证明如下：
，
当为奇数时，
，故
即
当为偶数时，
故
即
综合得：是向量组，，，…，的“向量”
（3）由题意，得，，即
即，同理，
三式相加并化简，得：
即，，所以
设，由得：
设，则依题意得：，
得
故
所以
当且仅当时等号成立
故
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，理解“向量”的定义，前两问均是利用定义解题，第三问注意转化关系，关键是转化为.