07空间向量与立体几何-上海市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（沪教版2020）

这是一份07空间向量与立体几何-上海市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（沪教版2020），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．（2023上·上海虹口·高三统考期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．若，则此半正多面体外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期末）已知直线m、n，平面，满足且，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
3．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）对于两条不同的直线m、n和两个不同的平面α、β，以下结论中正确的是（ ）
A．若，，m、n是异面直线，则α、β相交
B．若m⊥α，m⊥β，，则
C．，，m、n共面于β，则
D．若m⊥α，n⊥β，α、β不平行，则m、n为异面直线
4．（2019上·上海嘉定·高三统考期末）已知正方体，P为中点，对于下列两个命题：（1）过点P有且只有一条直线与直线AB，都相交；（2）过点P有且只有一条直线与直线AB，都成45°角．则以下判断正确的是（ ）
A．（1）为真命题；（2）为真命题B．（1）为真命题；（2）为假命题
C．（1）为假命题；（2）为真命题D．（1）为假命题；（2）为假命题
5．（2020下·上海杨浦·高三复旦附中校考期末）已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位cm)，可得这个几何体的体积是（ ）
A．B．C．D．
6．（2014上·上海黄浦·高三统考期末）已知空间两条直线两个平面，给出下面四个命题：
①，；
②，，；
③，；
④，，．
其中正确的序号是（ ）
A．①④B．②③C．①②④D．①③④
7．（2018上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）已知分别表示直线，表示平面，若，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件
8．（2018上·上海闵行·高三统考期末）若空间中三条不同的直线、、，满足， ，则下列结论一定正确的是 ．
A．B．
C．、既不平行也不垂直D．、相交且垂直
9．（2015上·上海·高三统考期末）已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，给出下列四个命题：
①若，垂直于同一平面，则与平行；
②若，平行于同一平面，则与平行；
③若，不平行，则在内不存在与平行的直线；
④若，不平行，则与不可能垂直于同一平面
其中真命题的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题
10．（2024上·上海静安·高三统考期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是上的点，直线与平面所成的角是，则的长为 .
11．（2024上·上海静安·高三统考期末）若一个圆柱的底面半径和母线长都是1，则这个圆柱的体积是 .
12．（2023上·上海浦东新·高三统考期末）已知圆锥的母线与底面所成的角为，体积为，则圆锥的底面半径为 ．
13．（2023上·上海松江·高三统考期末）已知正四面体的棱长为，空间内任意点满足，则的取值范围是 ．
14．（2023上·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期末）正四面体ABCD的各棱长均为3，则点A到平面BCD的距离为
15．（2023上·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期末）已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是
16．（2023上·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期末）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）.，则这块菜地的面积为
17．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）在空间直角坐标系中，点关于点的中心对称点的坐标为 .
三、解答题
18．（2023上·上海虹口·高三统考期末）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，；设M是的中点，满足，N是BC的中点，P是线段上的一点．

(1)证明：平面；
(2)若，，求直线与平面PMN所成角的大小．
19．（2023上·上海松江·高三统考期末）如图，在四棱锥中，底面，，点在线段上，且．
(1)求证：平面；
(2)若四棱锥的体积为，，，，，求二面角的大小．
20．（2018上·上海虹口·高三统考期末）如图，已知PA＝AC＝PC＝AB＝a，，，M为AC的中点．
(1)求证：平面ABC；
(2)求直线PB与平面ABC所成角的大小．
21．（2023上·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期末）如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线．
(1)若AB＝2，求圆柱的侧面积；
(2)设AB与CD是底面互相垂直的两条直径，求异面直线AC与所成角的大小．
参考答案：
1．D
【分析】根据正方体的对称性可知,该半正多面体外接球的球心为正方体的中心，进而可求球的半径和表面积.
【详解】如图，在正方体中，分别取正方体、正方形的中心、，连接，
∵分别为的中点，则，
∴正方体的边长为，
故，可得，
根据对称性可知：点到该半正多面体的顶点的距离相等，则该半正多面体外接球的球心为，半径，
故该半正多面体外接球的表面积为.
故选：D
2．B
【分析】利用空间中的垂直关系和充分条件、必要条件的定义进行判定.
【详解】因为，所以，
若，则，
即“”是“”的必要条件；
如图，在长方体中，设面为面、面为面，
则，且与面不垂直，
即“”不是“”的充分条件；
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3．C
【分析】由线面平行的性质和面面的位置关系可判断A；由线面垂直的性质和面面平行的判断和性质，可判断B；由线面平行的性质定理可判断C；由线面垂直的性质和面面的位置关系可判断D．
【详解】若，，m、n是异面直线，则α、β相交或平行，故A错误；
若m⊥α，m⊥β，则，由，则或，故B错误；
利用线面平行的性质定理，可知，，m、n共面于β，则成立，故C正确；
若m⊥α，n⊥β，α、β不平行，则m、n为异面直线或相交，故D错误．
故选:C.
4．B
【分析】作出过与两直线相交的直线判断①；通过平移直线，，结合异面直线所成角的概念判断②．
【详解】解：直线与 是两条互相垂直的异面直线，点不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：
取的中点，则，且，设与交于，则点、、、、共面，
直线必与 相交于某点，则过点有且只有一条直线与、都相交，故①为真命题；
分别平移，，使与均经过，则有两条互相垂直的直线与，，都成角，故②为假命题．
①为真命题，②为假命题．
故选：B
5．C
【解析】先利用三视图画出直观图是三棱锥，再计算棱锥体积即可.
【详解】根据三视图可知，该几何体是三棱锥，如图，(单位cm)，底面等腰三角形，，，P在底面的投影在BC中点M上，即平面ABC，，
故三棱锥的体积为：.
故选：C.
6．A
【分析】逐项判断后可得正确选项.
【详解】对于①，两条平行线中的一条垂直一个平面，另一条也垂直此平面，故①正确；
对于②，与不一定平行，也可能异面，故②错误；
对于③，，或，故③错；
对于④，，，又，故④正确．
故选：A．
【点睛】本题考查空间中与线、面位置关系有关的命题的真假，注意动态考虑给定的线、面位置关系，从而找到使命题不成立的反例，本题属于中档题.
7．D
【分析】根据线面平行与线线平行的关系分析“”与“”的推出关系.
【详解】若直线也在平面内，则“”不能推出“”，即“”不是“”的充分条件；
若“”，直线与平面内的直线可能平行也可能异面，所以“”不能推出“”，即“”不是“”的必要条件，
则“”是“”的既非充分又非必要条件.
故选：D
【点睛】此题考查点线面位置关系的判断，重点考查线线平行与线面平行的关系.
8．A
【解析】由l1⊥l2，l2∥l3，得到l1⊥l3．
【详解】解：∵空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1⊥l2，l2∥l3，
∴l1⊥l3，
故选：A．
【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是基础题．
9．D
【分析】①若垂直于同一平面，则与可能相交；②若，平行于同一平面，则两直线位置不能确定；③若相交，则在内存在无数条与平行的直线；④用反证法证明结论成立.即可得出结论.
【详解】①若直线垂直平面，根据面面垂直的判断定理，
所有过直线的平面都与平面垂直，取其中的两个平面为，
此时相交，故①不正确；
②若，平行于同一平面，则两直线可能平行、相交、异面；
故②不正确；
③若不平行，则相交，则在内存在无数条直线与两平面的交线平行，
根据线面平面的判定定理，这无数条平行线与平面平行，故③不正确；
④假设同垂直平面，则有，与已知不平行矛盾，
故假设不成立，即不同垂直平面，故④正确.
故选:D.
【点睛】本题考查空间平行、垂直命题的真假，考查用反证法证明命题，属于基础题.
10．2
【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面的法向量，利用空间角的向量求法，结合直线与平面所成的角是，即可求得答案.
【详解】由题意知在四棱锥 中，平面，底面是矩形，
以A为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，设，
则，
设平面的一个法向量为，则，
即，令，则，
设直线与平面所成的角为，
直线与平面所成的角是，则，
故，
即，解得（负值舍去），
故的长为2，
故答案为：2
11．
【分析】直接根据圆柱的体积公式计算即可得出答案.
【详解】这个圆柱的体积.
故答案为：.
12．
【分析】由题意得到圆锥底面半径与高之间的关系，再根据圆锥的体积公式列方程即可求解.
【详解】圆锥的轴截面图如图所示：
由题意，解得，即圆锥的底面半径为.
故答案为：.
13．
【分析】先判断出点在球上，然后根据数量积的运算求得的表达式，结合三角函数值域的知识求得的取值范围.
【详解】设BC的中点为O.
因为动点满足，所以,
即点P落在以O为球心，以为半径的球上.
因为,
所以.
因为正四面体的棱长为，
所以，
在三角形中，,.
取AD的中点为E,OE⊥AD，
所以在上的投影向量的模为，
所以.
设，
所以.
因为，
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查空间向量线性运算和数量积的运算，形如的点，其运动轨迹在以点为球心，半径为的球面上.求解一个式子的最值，可以考虑的方向有：基本不等式、函数的单调性、二次函数的性质、三角函数的值域等知识.
14．
【分析】设是底面的中心，则的长是点A到平面BCD的距离，由勾股定理计算可得．
【详解】如图，取的中心，的中点，连接，
∵ABCD为正四面体，则平面，，
平面，
∴，
由题意可得：，
则，
故点A到平面BCD的距离为.
故答案为：.
15．
【分析】首先设圆锥的底面半径为，母线为，根据圆锥的侧面积得到，再根据圆锥底面圆的周长即可得到答案.
【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，
因为圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，
所以，解得.
圆锥底面圆的周长，解得.
故答案为：
16．
【分析】利用直观图中的信息，求出的长度，从而得到原平面图形中的长度，利用梯形的面积公式求解即可.
【详解】
过作于，
在直观图中，，，，
所以，，
故原平面图形的上底为 ，下底，高为，
所以这块菜地的面积为，
故答案为：.
17．
【分析】利用点关于点对称点的特点，结合中点坐标公式即可求解.
【详解】设点关于点的中心对称点的坐标为，
所以，解得，
所以点关于点的中心对称点的坐标为.
故答案为：.
18．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）取中点，利用异面直线垂直、线面垂直的判定推理即得.
（2）证明两两垂直，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.
【详解】（1）在三棱柱中，取中点，连接，
由点为正方形边中点，得，则，
有，则，
由N是BC的中点，得，而，于是，
又平面，
所以平面.

（2）显然，则，由（1）知，又平面，
于是平面，而平面，则，显然直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为建立空间直角坐标系，
则，，
设平面的法向量，则，令，得，
设直线与平面所成的角为，则，
而，解得，
所以直线与平面所成角的大小为.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定推理即得.
（2）由（1）的信息确定二面角的平面角，利用锥体体积公式求出，再在直角三角形中求出解即可.
【详解】（1）由底面，平面，得，
由，得，而平面，
所以平面．
（2）由（1）知，平面，而平面，则，又，
因此是二面角的平面角，
在中，，
显然，四边形为矩形，于是，
而四棱锥的体积，解得，
在中，，因此，
所以二面角的大小为.
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）推导出，，由此能证明平面ABC；
（2）连结BM，则是直线PB和平面ABC所成的角，由此能求出直线PB和平面ABC所成的角．
【详解】（1）证明：因为为等边三角形，且为的中点，
所以．
又，，且，
所以平面．
又在平面内，所以．
因为，且，，
所以平面．
（2）解：连结，由（1）知平面，
所以是直线和平面所成的角．
因为为等边三角形，所以.
又为等腰直角三角形，且，
所以．
因为，所以，
则
所以直线和平面所成的角的大小等于．
21．(1)；
(2).
【分析】（1）由已知得到底面半径以及母线的值，代入公式即可求出；
（2）用向量、、来表示出、，进而求出它们的夹角，即可求出结果.
【详解】（1）由已知可得，底面半径，母线，
所以圆柱的侧面积.
（2）由已知可得，两两垂直，且相等，
设，则，，.
又， ，
则.
所以，
又，所以，
所以异面直线AC与所成角的大小为.