11圆锥曲线（圆）-上海市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（沪教版2020）

这是一份11圆锥曲线（圆）-上海市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（沪教版2020），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2022下·上海徐汇·高二期末）直线绕原点按顺时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是（ ）
A．直线过圆心B．直线与圆相交，但不过圆心
C．直线与圆相切D．直线与圆无公共点
2．（2023下·上海宝山·高二统考期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022上·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考期末）点为圆外一点，则直线与该圆的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
4．（2023上·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）两个圆：与：恰有三条公切线，则的最大值为（ ）
A．B．C．6D．－6
5．（2022上·上海静安·高二校考期末）设集合，，如果命题“存在，”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023上·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期末）对于圆上任意一点，当时，的值与，无关，有下列结论：
①点的轨迹是一个圆； ②点的轨迹是一条直线；
③当时，有最大值； ④当，时，．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（2022上·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期末）已知圆的方程为，该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022上·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期末）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
9．（2024上·上海宝山·高二校考期末）若直线截圆所得弦长为8，则 ．
10．（2023上·上海·高二上海市延安中学校考期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是 .
11．（2024上·上海·高二上海市行知中学校考期末）已知直线与圆没有公共点，则的取值范围是 .
12．（2024上·上海·高二上海市复兴高级中学校考期末）直线被圆所截得的弦长等于 ．
13．（2023下·上海浦东新·高二校考期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点、的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，、，点满足，则的最小值为 .
14．（2023下·上海松江·高二上海市松江一中校考期末）直线l经过点，且与曲线相交于A，B两点，，则面积最大时，直线l的一般式方程是 .
三、解答题
15．（2023上·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）已知以点为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点.
(1)求证：的面积为定值；
(2)设直线与圆C交于点M、N，若，求圆C的方程.
16．（2023下·上海静安·高二统考期末）如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度为，圆拱的最高点离水面的高度为，桥面离水面的高度为.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程；
(2)求桥面在圆拱内部分的长度.（结果精确到）
17．（2023上·上海·高二上海市延安中学校考期末）已知圆经过原点且与轴相切，与轴正半轴交于点.
(1)求圆的方程；
(2)判断点与圆的位置关系，并求经过点的圆的切线方程.
参考答案：
1．A
【分析】根据给定条件，求出直线l的方程，再根据圆心与直线l的关系判断作答.
【详解】直线过原点，斜率为，倾斜角为，
依题意，直线l的倾斜角为，斜率为，而l过原点，因此直线l的方程为：，
而圆的圆心为，半径为，于是得圆心在直线l上，
所以直线l与圆相交，过圆心.
故选：A
2．B
【分析】根据题意得：为恒过定点的直线，曲线表示圆心为，半径为的上半圆，由此利用数形结合思想能求出的取值范围．
【详解】根据题意得为恒过定点的直线，
由曲线，可得，
所以曲线表示圆心为，半径为的上半圆，如图所示，

当直线与圆相切时，有，解得（舍去）或，
把代入得，解得，
因为直线与曲线恰有两个公共点，
由图可得，即的取值范围是．
故选：B．
3．A
【分析】利用点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，结合点到直线的距离公式即可求解；
【详解】因为点为圆外一点，
所以.
圆的圆心，半径为，
所以圆心到直线的距离为
，即.
所以直线与该圆的位置关系为相交.
故选：A.
4．A
【分析】将圆与圆的方程化为标准方程，得出圆心、半径.由题意可知，两圆外切，即，代入整理可得，然后根据基本不等式即得.
【详解】由已知可得，圆的方程可化为，圆心为，半径；
圆的方程可化为，圆心为，半径.
因为圆与圆恰有三条公切线，所以两圆外切.
所以有，即，所以.
又，当且仅当时，等号成立，
所以.
故选：A.
5．B
【分析】根据集合可判断两个集合分别表示圆，如果命题为真命题即两圆有公共点，结合几何性质列不等式即可得实数的取值范围.
【详解】解：因为，表示平面坐标系中以为圆心，半径为1的圆，
，表示以为圆心，半径为1的圆，且其圆心在直线上，如图．
如果命题“存在，”是真命题，即两圆有公共点，
则圆心到直线的距离不大于两圆圆心距2，
即，解得．
所以实数的取值范围是.
故选：B．
6．A
【分析】由，将已知条件看作到直线、距离之和的倍，
且已知圆在平行线、之间得，再结合各项描述分析正误.
【详解】令，可看作到直线、距离之和的倍，
由的值与无关，
所以距离之和与在圆上的位置无关，故已知圆在平行线、之间，
而两线距离为，
当时，的轨迹是平行于、直线，①错误；
当时,的轨迹不是直线,②错误
③时，，即有最大值，正确；
④时，则，故，④错误.
所以正确的有③.
故选：
7．B
【分析】由圆的方程可确定圆心和半径；根据过圆内一点的最长弦为直径可得；最短弦是与最长弦垂直的那条弦，可首先确定最短弦所在直线方程，进而利用垂径定理求得，由可求得结果.
【详解】由圆的方程知：圆心为，半径；
则过点的最长弦为直径，即；
过点的最短弦与最长弦垂直，则所在直线斜率，
所在直线方程为，即，
圆心到直线距离，，
四边形的面积.
故选：B.
8．D
【分析】根据二元二次方程表示圆的要求可直接构造不等式求解.
【详解】方程表示圆，，即，解得：，
实数的取值范围是.
故选：D.
9．或
【分析】由题意可得圆心到直线的距离为，解方程即可得出答案.
【详解】由圆可得：，
所以圆心，，
设圆心到直线的距离为，
由直线截圆所得弦长为8，
可得：，
又，解得：或.
故答案为：或.
10．
【分析】根据一个二元二次方程表示圆的充要条件，写出关于k的不等式，解不等式即可．
【详解】把方程配方得：，因为方程表示一个圆，
则，解得，则实数的取值范围是.
故答案为：．
11．
【分析】根据方程表示圆以及圆心到直线的距离大于半径列出关于的不等式，由此可求出结果.
【详解】因为方程表示圆，
所以，解得（负值舍去），
圆可化为，
所以圆心为，半径，
因为直线与圆没有公共点，
所以，解得，
综上所述，的取值范围是，
故答案为：.
12．
【分析】先求出圆心到直线的距离既得弦心距，求出圆的半径，利用勾股定理求出弦长的一半，即可求得弦长.
【详解】由圆得圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
由勾股定理得弦长的一半为，
所以弦长为
13．
【分析】设点，利用已知条件求出点的轨迹方程，利用平面向量数量积的运算性质可得出，求出的最小值，即可得出的最小值.
【详解】设点，由可得，整理可得，
化为标准方程可得，
因为为的中点，

所以，
，
记圆心为，当点为线段与圆的交点时，
取最小值，此时，，
所以，.
故答案为：.
14．
【分析】先求得圆心到直线的距离，再由，取等条件时得出一般方程；
【详解】曲线，可知直线的斜率存在且大于0，
设直线的方程为，即，
所以圆心到直线的距离．
因为（当且仅当，即时取等号）．
由，得，解得或（舍），所以．
所以直线l的一般式方程是.
故答案为：
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）确定圆方程，根据方程计算，，再计算面积得到证明.
（2）确定，，根据斜率公式计算得到，得到圆方程.
【详解】（1）圆方程为，
取时，，解得或，即；
取时，，解得或，即；
，得证.
（2），故在的垂直平分线上，且圆心在的垂直平分线上，
故，，，解得或（舍）.
圆方程为
16．(1)建系见解析，圆拱方程为，.
(2)桥面在圆拱内部分的长度约为367.4m
【分析】（1）先找到合适的垂直关系建立平面直角坐标系，再根据圆的几何关系列出方程求解半径并写出方程即可；
（2）根据圆的方程，代入纵坐标求解横坐标即可.
【详解】（1）设圆拱所在圆的圆心为，以为原点，方向为轴正方向，
中垂线向上为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.

设与轴交于点，与轴交于点，连接
设圆的半径为，
则，，，
在直角中，，
所以，解得，
所以，
所以圆拱方程为，.
（2）由题意得，，
令，得，
所以，
所以，所以.
所以桥面在圆拱内部分的长度约为367.4m
17．(1)
(2)点在圆外，切线方程为或
【分析】（1）由已知条件确定圆心坐标和半径，可求圆的方程；
（2）由点到圆心的距离，判断点与圆的位置关系，利用圆心到切线距离等于半径求切线方程.
【详解】（1）圆经过原点且与轴相切，则切点为原点，圆心在轴上，
又圆与轴正半轴交于点，则圆心，圆的半径为2，
所以圆的方程为.
（2），则点在圆外，
过点的直线若斜率不存在，则直线方程为，此时直线与圆相切；
过点的直线若斜率存在，设直线方程为，即，
当直线与圆相切时，圆心到直线距离等于半径，即，解得，
此时直线方程为.
所以经过点的圆的切线方程为或.