02等式与不等式-上海市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（沪教版2020）

这是一份02等式与不等式-上海市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（沪教版2020），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．（2024上·上海杨浦·高一校考期末）设，则下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·上海·高一上海市实验学校校考期末）是的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分也非必奖条件
3．（2024上·上海·高一校考期末）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（ ）年．
A．7B．8C．9D．10
4．（2024上·上海浦东新·高一统考期末）“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2024上·上海青浦·高一统考期末）已知.且，则下列结论正确的是（ ）
①；
②的最小值为；
③的最小值为；
④的最小值为.
A．①②④B．①②③C．①②D．②③④
6．（2023上·上海闵行·高一统考期末）已知,则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（2023下·上海宝山·高一统考期末）如果，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023上·上海徐汇·高一统考期末）如果，那么下列不等式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2021上·上海金山·高一统考期末）已知，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．；B．；
C．；D．.
三、填空题
10．（2024上·上海·高一上海市向明中学校考期末）已知实数满足且，则的最小值是
11．（2024上·上海·高一上海市向明中学校考期末）若关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是
12．（2024上·上海杨浦·高一校考期末）已知关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围 ．
13．（2024上·上海·高一校考期末）函数，的最小值是 .
14．（2024上·上海奉贤·高一统考期末）不等式的解集用区间表示为 .
15．（2024上·上海奉贤·高一统考期末）设、为正数，且与的算术平均值为1，则与的几何平均值最大值为 .
四、解答题
16．（2024上·上海·高一校考期末）（1）解不等式；
（2）证明：对所有实数x恒成立，并指出等号成立时x的取值范围．
17．（2023上·上海闵行·高一统考期末）设集合.
(1)若，试用区间表示集合，并求；
(2)若，求不等式的解集.
18．（2023上·上海奉贤·高一校考期末）某新建居民小区欲建一面积为的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道．设计要求绿地外南北两侧人行道宽3m，东西两侧人行道宽4m，如图所示（图中单位：m）．设矩形绿地的南北侧边长为x米．
(1)当人行道的占地面积不大于时，求x的取值范围；
(2)问x取多少时，才能使人行道的占地面积最小．（结果精确到0.1m）．
参考答案：
1．D
【分析】根据不等式性质逐个选项判断即可.
【详解】对A，，则，即，故A错误；
对B，，则，则，故B错误；
对C，，则，故C错误；
对D，，则，故D正确.
故选：D
2．B
【分析】借助充分条件与必要条件的性质计算即可得.
【详解】当时，可取、符合题意，但此时不能得到；
当时，有，，即成立；
故是的必要非充分条件.
故选：B.
3．A
【分析】表示出平均利润，然后利用基本不等式求最值以及最值的成立条件.
【详解】平均利润为，
当且仅当，即时取最大值.
故选：A.
4．A
【分析】由不等式性质及充分、必要性定义判断条件间的关系.
【详解】由，则有或，
所以“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A
5．A
【分析】由可得，判断①，利用基本不等式中消元、配凑、“”的代换的方法即可判断②③④.
【详解】由可得，
所以，①正确；
，
当且仅当即时，等号成立，②正确；
，
当且仅当即时，等号成立，③错误；
由可得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，④正确.
故选：A
6．A
【分析】根据不等关系的运算法则可判断充分性，根据特值法可判断必要性.
【详解】根据不等关系的运算法则,知当时,，所以充分性成立；
当时,,但不满足，所以必要性不成立.
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
7．D
【分析】根据不等式的性质判断即可.
【详解】因为，所以，故A错误；
因为，所以，所以，故B错误；
因为，所以，故C错误；
因为，所以，故D正确.
故选：D
8．A
【分析】根据不等式性质可判断A，D；举反例，可判断B，C.
【详解】对于A，因为，则，A正确；
对于B，不妨取，满足，但是，B不成立；
对于C，不妨取，满足，但是，C不成立；
对于D，因为，则，故不成立，
故选：A
9．AB
【分析】利用基本不等式、绝对值三角不等式，判断出正确结论.
【详解】由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，B选项正确，
两边平方得，当且仅当时等号成立，A选项正确.
根据绝对值三角不等式，C选项错误.
根据绝对值三角不等式，D选项错误.
故选：AB
10．
【分析】根据绝对值的性质分析可知，解不等式即可得结果.
【详解】因为，
则，
且，则，可得，解得，
所以的最小值是.
故答案为：.
11．
【分析】分和两种情况，结合二次不等式的恒成立问题分析求解.
【详解】因为关于的不等式对一切实数都成立，
若，则，符合题意；
若，则，解得；
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：.
12．
【分析】根据题意对a进行分类讨论，结合的开口与判别式即可.
【详解】当时，,满足题意；
当时，易得且，即，解得.
综上，实数的取值范围为.
故答案为：
13．
【分析】根据二次函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为的图象开口向上，对称轴为，
又，所以的最小值是.
故答案为：.
14．
【分析】根据条件，利用分数不等式的解法即可求出结果.
【详解】由，得到，等价于且，
所以，即，
故答案为：.
15．1
【分析】根据题意结合基本不等式运算求解.
【详解】由题意可得：，，
可知与的几何平均值为，当且仅当时等号成立，
所以与的几何平均值最大值为1.
故答案为：1.
16．(1)；(2)，证明见解析.
【分析】（1）分，，三种情况去绝对值符号，求解即可；
（2）利用绝对值三角不等式即可得出结果.
【详解】（1）当时，原不等式等价于，解得，
此时；
当时，原不等式等价于，解得，
此时；
当时，原不等式等价于，解得，此时无解.
综上，不等式的解集为；
（2）证明：，
当且仅当，即时等号成立，此时，
对所有实数x恒成立，且等号成立时的x的取值范围为.
17．(1)，，
(2)
【分析】（1）解绝对值不等式、一元二次不等式并结合区间的概念、并集的概念即可得解.
（2）由一元二次不等式的解集与一元二次方程的跟的关系可先得，再解分式不等式即可得解.
【详解】（1）由，得，
因为，所以，故，
所以.
（2）由题意得有两个根为1和5，
所以，
则的解集为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知得出人行道的占地面积为.进而得出不等式，求解不等式，即可得出答案；
（2）根据基本不等式求解，即可得出的最小值.
【详解】（1）由已知可得，矩形绿地的东西侧边长为米，
则人行道的占地面积为.
由已知可得，，
整理可得，，解得.
（2）由（1）知，人行道的占地面积为，
，
当且仅当，即时，等号成立.
所以，矩形绿地的南北侧边长为时，人行道的占地面积最小．