专题12 椭圆-2023年高考数学真题专题汇编（新高考卷）

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2023真题展现
考向一 椭圆的性质
考向二 直线与椭圆相交问题
真题考查解读
近年真题对比
考向一 椭圆的性质
考向二 直线与椭圆相交问题
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 椭圆的性质
1．（2023•新高考Ⅰ•第5题）设椭圆C1：x2a2+y2＝1（a＞1），C2：x24+y2＝1的离心率分别为e1，e2．若e2=3e1，则a＝（ ）
A．233B．2C．3D．6
【答案】A
解：由椭圆C2：x24+y2＝1可得a2＝2，b2＝1，∴c2=4-1=3，
∴椭圆C2的离心率为e2=32，
∵e2=3e1，∴e1=12，∴c1a1=12，
∴a12=4c12=4（a12-b12）＝4（a12-1），
∴a=233或a=-233（舍去）．
考向二 直线与椭圆相交问题
2．（2023•新高考Ⅱ•第5题）已知椭圆C：x23+y2=1的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y＝x+m与C交于点A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m＝（ ）
A．23B．23C．-23D．-23
【答案】C
解：记直线y＝x+m与x轴交于M（﹣m，0），
椭圆C：x23+y2=1的左，右焦点分别为F1（-2，0），F2（2，0），
由△F1AB面积是△F2AB的2倍，可得|F1M|＝2|F2M|，
∴|-2-xM|＝2|2-xM|，解得xM=23或xM＝32，
∴﹣m=23或﹣m＝32，∴m=-23或m＝﹣32，
联立x23+y2=1y=x+m可得，4x2+6mx+3m2﹣3＝0，
∵直线y＝x+m与C相交，所以Δ＞0，解得m2＜4，
∴m＝﹣32不符合题意，
故m=-23．
【命题意图】
考查椭圆的定义、标准方程、几何性质、直线与椭圆．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．
【考查要点】
椭圆的定义、方程、性质、直线与椭圆是高考常考内容，以小题形式出现，常规题，难度中等．
【得分要点】
一、椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题
(1)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
(2)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆．
①若，M的轨迹为线段；
②若，M的轨迹无图形
二、椭圆的方程及简单几何性质
三、椭圆的焦点三角形
椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．
以椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则
(1)椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a.
(2)余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs θ.
(3)面积公式：S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.
重要结论：S△PF1F2=
推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs θ得
由三角形的面积公式可得
S△PF1F2=
=
注：S△PF1F2===（是三角形内切圆的半径）
(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
(5)在椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)中,F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意的一点，当点P在短轴端点时，最大.
四、点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1；点P在椭圆内部⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)1.
五、直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当Δ