广西柳州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+

这是一份广西柳州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．绿色饮品B．绿色食品
C．有机食品D．速冻食品
2．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．2x+y＝1B．x2+3xy＝6C．x+＝4D．x2＝3x﹣2
3．（3分）掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（ ）
A．点数的和为1B．点数的和为6
C．点数的和大于12D．点数的和小于13
4．（3分）下列各点中，不在反比例函数图象上的点是（ ）
A．（1，6）B．（﹣6，﹣1）C．（6，1）D．（2，﹣3）
5．（3分）如图，CD为⊙O直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝6，则CD长为（ ）
A．10B．9C．8D．5
6．（3分）已知x＝3是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值是（ ）
A．﹣21B．﹣3C．3D．21
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝28°，则∠D的度数是（ ）
A．56°B．58°C．60°D．62°
8．（3分）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．3（1+x）＝10
B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10
D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
9．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（1，0），对称轴是直线，根据图象判断以下说法正确的是（ ）
A．b2﹣4ac＜0
B．4a+c＜0
C．若y＞0，则﹣4＜x＜1
D．当x＜0，则y随x的增大而增大
10．（3分）如图，正方形ABCD，边长AB＝2，对角线AC、BD相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与BC、CD交于E、F两点，当三角板绕点O旋转时，线段EF的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．2
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣5，3）关于原点对称点P′的坐标是 ．
12．（3分）已知线段PQ＝2cm，以P为圆心，1.5cm为半径画圆，则点Q与⊙P的位置关系是点Q在 ．（填“圆内”、“圆外”或“圆上”）
13．（3分）已知二次函数y＝3（x﹣a）2的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 ．
14．（3分）请你给出一个c值，c＝ ，使方程x2﹣3x+c＝0无实数根．
15．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝5，则BE的长度为 ．
16．（3分）如图，已知点P是y轴正半轴上一点，过点P作EF∥x轴，分别交反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＜0）图象的于点E和点F，以EF为对角线作平行四边形EMFN．若点N在x轴上，平行四边形EMFN的面积为10，则k的值为 ．
三、解答题（本题共7小题，满分52分。解答题写必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
17．（6分）解方程：x2﹣6x﹣18＝0．
18．（6分）如图，△ABC位于一平面直角坐标系中．
（1）画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；
（2）在（1）的操作下，求点B经过的路径长．（结果保留π）
19．（6分）已知：如图，PA是⊙O的切线，A是切点．B为⊙O上一点，PA＝PB．求证：PB是⊙O的切线．
20．（8分）某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用40米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，AD两边），设AB＝x米．
（1）若花园的面积为300米2，求x的值；
（2）若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC，CD的距离分别是10米，24米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为400米2？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
21．（8分）如图，直线y1＝x+1与双曲线y2＝（k为常数，k≠0）交于A，D两点，与x轴、y轴分别交于B，C两点，点A的坐标为（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）结合图象直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．
22．（8分）如图1，为美化校园，学校要建造一个圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈可移动的喷水头向中央喷水，使水流沿形状相同的抛物线落下．以喷水池中心为原点，水平方向为x轴、中心线为y轴建立平面直角坐标系，则水柱高度y（单位：m）与水柱距离喷水池中心的水平距离x（单位：m）之间的关系如图2所示．当水流与中心线的水平距离为2m时，达到最大高度3.61m，此时水柱刚好经过中心线上的点A，已知点A距水面高2.61m．
（1）求如图2所示抛物线的解析式．
（2）为形成错落有致的喷水景观，现让喷水头向中心线沿直线滑动，在保持水流形状不变的情况下，要求喷水柱最高点不能超过中心线，若喷水头的位置用（p，0）表示．（仅考虑y轴右侧的情况）．
①求p的取值范围；
②若水刚好喷到中心线上，且距水面高3.25m处，直接写出此时p的值 ．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，把边CB绕点C旋转到CF．
（1）如图1，连接AF，使FA＝FC，BC＝2AB＝4，求F到AC的距离；
（2）如图2，连接FB交AC于点D，当BD⊥AC时，在BC边取一个点E，使BE＝BA，过点E作BC的垂线交AC于点H，交CF于点M，交BF延长线于点G，求证：BE+GM＝MC；
（3）如图3，若∠BCF＝90°，连接AF，点N是Rt△ACB内部一个动点，连接AN、BN使∠NAB＝∠CBN，连接CN、NF，若，，当CN取最小时，请直接写出△CNF的面积．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分。）
1．（3分）下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．绿色饮品B．绿色食品
C．有机食品D．速冻食品
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形及中心对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图形重合．
2．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．2x+y＝1B．x2+3xy＝6C．x+＝4D．x2＝3x﹣2
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：A、原方程为二元一次方程，不符合题意；
B、原方程为二元二次方程，不符合题意；
C、原方程为分式方程，不符合题意；
D、原方程为一元二次方程，符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
3．（3分）掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（ ）
A．点数的和为1B．点数的和为6
C．点数的和大于12D．点数的和小于13
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、两枚骰子的点数的和为1，是不可能事件，故不符合题意；
B、两枚骰子的点数之和为6，是随机事件，故符合题意；
C、点数的和大于12，是不可能事件，故不符合题意；
D、点数的和小于13，是必然事件，故不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．（3分）下列各点中，不在反比例函数图象上的点是（ ）
A．（1，6）B．（﹣6，﹣1）C．（6，1）D．（2，﹣3）
【分析】根据反比例函数解析式可得xy＝6，然后对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：∵反比例函数，
∴xy＝6，
A、∵1×6＝6，
∴点（1，6）在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
B、∵﹣6×（﹣1）＝6，
∴点（﹣6，﹣1）在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
C、∵6×1＝6，
∴点（6，1）在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
D、∵2×（﹣3）＝﹣6≠6，
∴点（2，﹣3）不在反比例函数图象上，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
5．（3分）如图，CD为⊙O直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝6，则CD长为（ ）
A．10B．9C．8D．5
【分析】设⊙O的半径为R，则OE＝R﹣1，根据垂径定理求出AE＝BE＝3，∠AEO＝90°，在Rt△AEO中，由勾股定理得出方程R2＝（R﹣1）2+32，求出方程的解即可．
【解答】解：
设⊙O的半径为R，则OE＝R﹣1，
∵AB⊥CD，AB＝6，
∴AE＝BE＝3，∠AEO＝90°，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：AO2＝AE2+OE2，
R2＝（R﹣1）2+32，
解得：R＝5，
即CD＝10，
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，解此题的关键是求出AE的长和得出关于R的方程，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
6．（3分）已知x＝3是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值是（ ）
A．﹣21B．﹣3C．3D．21
【分析】直接把x的值代入求出答案．
【解答】解：∵x＝3是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，
∴9﹣12+c＝0，
解得：c＝3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，正确把x的值代入是解题关键．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝28°，则∠D的度数是（ ）
A．56°B．58°C．60°D．62°
【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B＝62°，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
【解答】解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝28°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝62°，
∴∠B＝∠D＝62°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8．（3分）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．3（1+x）＝10
B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10
D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
【分析】若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，根据三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，
依题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（1，0），对称轴是直线，根据图象判断以下说法正确的是（ ）
A．b2﹣4ac＜0
B．4a+c＜0
C．若y＞0，则﹣4＜x＜1
D．当x＜0，则y随x的增大而增大
【分析】根据抛物线与x轴的交点情况，抛物线的对称性、抛物线的性质判断即可．
【解答】解：A、∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故本选项说法错误，不符合题意；
B、∵抛物线与x轴交于点（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣，
∴﹣＝﹣，
∴b＝3a，
∴4a+c＝0，故本选项说法错误，不符合题意；
C、∵抛物线与x轴交于点（1，0），对称轴是直线x＝﹣，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），
∴若y＞0，则﹣4＜x＜1，故本选项说法正确，符合题意；
D、当x＜﹣时，y随x的增大而增大，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，正确理解二次函数y＝ax2+bx+c系数符号与抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点的关系是解题的关键．
10．（3分）如图，正方形ABCD，边长AB＝2，对角线AC、BD相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与BC、CD交于E、F两点，当三角板绕点O旋转时，线段EF的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．2
【分析】由“ASA”可证△OEC≌△OFD，可得OE＝OF，可得EF＝OE，则OE取最小值，EF有最小值，当OE⊥BC时，OE有最小值，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OD，∠ODC＝∠OCB＝45°，OC⊥OD，
∵∠EOF＝90°＝∠COD，
∴∠DOF＝∠COE，且OC＝OD，∠ODC＝∠OCB＝45°，
∴△OEC≌△OFD（ASA）
∴OE＝OF，且∠EOF＝90°，
∴EF＝OE，
∴OE取最小值，EF有最小值，
当OE⊥BC时，OE有最小值，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，OE⊥BC，
∴OE＝BC＝1，
∴EF的最小值为，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△OEC≌△OFD是本题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣5，3）关于原点对称点P′的坐标是 （5，﹣3） ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【解答】解：点P（﹣5，3）关于原点对称点P′的坐标是（5，﹣3），
故答案为：（5，﹣3）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12．（3分）已知线段PQ＝2cm，以P为圆心，1.5cm为半径画圆，则点Q与⊙P的位置关系是点Q在 圆外 ．（填“圆内”、“圆外”或“圆上”）
【分析】根据点的圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为1.5cm，PQ＝2cm，
∴2＞1.5，
∴点Q在圆外．
故答案为：圆外．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
13．（3分）已知二次函数y＝3（x﹣a）2的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 a≤2 ．
【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于2列式计算即可得解．
【解答】解：二次函数y＝3（x﹣a）2的对称轴为直线x＝a，
∵当x＞a时，y的值随x值的增大而增大，
∴a≤2．
故答案为：a≤2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．
14．（3分）请你给出一个c值，c＝ 3 ，使方程x2﹣3x+c＝0无实数根．
【分析】由于方程无实数根，则Δ＜0，由此建立关于c的不等式，然后解不等式即可求出c的取值范围．
【解答】解：由题意知Δ＝9﹣4c＜0，
∴c＞，
满足条件c值有很多，例如：3、4、5．
故填：3（大于即可）．
【点评】总结：
1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
2、本题为开放题，不仅考查了知识点，还能张显学生个性化的答案．
15．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝5，则BE的长度为 5 ．
【分析】根据旋转的性质可得AB＝AE，∠BAE＝60°，然后判断出△AEB是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得BE＝AB＝5．
【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转 60°得到△AED，
∴AB＝AE，∠BAE＝60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴BE＝AB，
∵AB＝5，
∴BE＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质是解题的关键．
16．（3分）如图，已知点P是y轴正半轴上一点，过点P作EF∥x轴，分别交反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＜0）图象的于点E和点F，以EF为对角线作平行四边形EMFN．若点N在x轴上，平行四边形EMFN的面积为10，则k的值为 ﹣6 ．
【分析】连接OE、OF，利用反比例函数系数k的几何意义可得S△FOP＝|k|，S△EOP＝×|4|＝2，再根据同底等高的三角形面积相等，得到S△EFN＝S△EFO，由平行四边形的面积为10可求出S△EFN＝S▱FNEM＝5，进而求出答案
【解答】解：连接OF、OE，
∵EF∥x轴，
∴S△EFN＝S△EFO，
又∵四边形FNEM是平行四边形，EF为对角线，
∴S△EFN＝S▱FNEM＝×10＝5，
由反比例函数系数k的几何意义得，
S△FOP＝|k|，S△EOP＝×|4|＝2，
又∵S△EFO＝S△FOP+S△EOP＝|k|+2＝5，
∴|k|＝6，
解得k＝﹣6，k＝6＞0（舍去），
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正确应用的前提．
三、解答题（本题共7小题，满分52分。解答题写必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
17．（6分）解方程：x2﹣6x﹣18＝0．
【分析】先把27移到方程右边，再两边加上9，利用完全平方公式得到（x﹣3）2＝27，然后利用直接开平方法求解．
【解答】解：x2﹣6x+9＝27，
（x﹣3）2＝27，
x﹣3＝±3，
所以x1＝3+3，x2＝3﹣3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：把方程左边含未知数的项配成完全平方式，然后利用直接开平方法求解．
18．（6分）如图，△ABC位于一平面直角坐标系中．
（1）画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；
（2）在（1）的操作下，求点B经过的路径长．（结果保留π）
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）利用勾股定理求出OB的长，再利用弧长公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）∵OB＝＝，
∴点B经过的路径长为＝．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、弧长公式，熟练掌握旋转的性质以及弧长公式是解答本题的关键．
19．（6分）已知：如图，PA是⊙O的切线，A是切点．B为⊙O上一点，PA＝PB．求证：PB是⊙O的切线．
【分析】连接OA、OB、OP，由切线的性质得出∠OAP＝90°，证明△OBP≌△OAP（SSS），得出∠OBP＝∠OAP＝90°，即可得出结论．
【解答】证明：连接OA、OB、OP，如图：
∵PA是⊙O的切线，A是切点，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP＝90°，
在△OBP和△OAP中，，
∴△OBP≌△OAP（SSS），
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
∴PB⊥OB，
又∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
20．（8分）某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用40米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，AD两边），设AB＝x米．
（1）若花园的面积为300米2，求x的值；
（2）若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC，CD的距离分别是10米，24米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为400米2？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）由矩形面积公式得出方程，解方程即可；
（2）根据题意可得方程x（40﹣x）＝400，求出x的值，然后再根据P处这棵树是否被围在花园内进行分析即可．
【解答】解：（1）∵AB＝x米，
∴BC＝（40﹣x）米，
由题意得：x（40﹣x）＝300，
解得：x1＝10，x2＝30，
即x的值为10或30；
（2）花园的面积不能为400米2，理由如下：
由题意得：x（40﹣x）＝400，
解得：x1＝x2＝20，
当x＝20时，40﹣x＝40﹣20＝20，
即当AB＝20米，BC＝20米＜24米，这棵树没有被围在花园内，
∴将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积不能为400米2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．（8分）如图，直线y1＝x+1与双曲线y2＝（k为常数，k≠0）交于A，D两点，与x轴、y轴分别交于B，C两点，点A的坐标为（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）结合图象直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．
【分析】（1）把点A的坐标为（m，2）直线y＝x+1，求得m，然后再代入双曲线y2＝（k为常数，k≠0），根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）解析式联立，解方程组求得就DB的坐标，然后根据图象即可求得．
【解答】解：（1）把A（m，2）代入直线y＝x+1，可得2＝m+1，
解得m＝1，
∴A（1，2），
把A（1，2）代入双曲线y2＝（k为常数，k≠0），可得k＝2，
∴双曲线的解析式为y＝；
（2）解得或，
∴D（﹣2，﹣1），
由图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围x＜﹣2或0＜x＜1．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数交点的坐标同时满足两个函数解析式．
22．（8分）如图1，为美化校园，学校要建造一个圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈可移动的喷水头向中央喷水，使水流沿形状相同的抛物线落下．以喷水池中心为原点，水平方向为x轴、中心线为y轴建立平面直角坐标系，则水柱高度y（单位：m）与水柱距离喷水池中心的水平距离x（单位：m）之间的关系如图2所示．当水流与中心线的水平距离为2m时，达到最大高度3.61m，此时水柱刚好经过中心线上的点A，已知点A距水面高2.61m．
（1）求如图2所示抛物线的解析式．
（2）为形成错落有致的喷水景观，现让喷水头向中心线沿直线滑动，在保持水流形状不变的情况下，要求喷水柱最高点不能超过中心线，若喷水头的位置用（p，0）表示．（仅考虑y轴右侧的情况）．
①求p的取值范围；
②若水刚好喷到中心线上，且距水面高3.25m处，直接写出此时p的值 5 ．
【分析】（1）由题意可知，该抛物线的顶点坐标为（2，3.61），点A（0，2.61），设该抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3.61，将点A（0，2.61）代入求解即可；
（2）对于抛物线，当y＝0时，可解得x＝5.8或x＝﹣1.8（舍去）；
则当喷水柱最高点位于中心线时，即抛物线顶点正好在y轴上时，此时抛物线解析式为，令y＝0，即有，解得x＝3.8或x＝﹣3.8（舍去），即可确定p的取值范围；②设喷水头向中心线沿直线滑动距离为k m，则抛物线解析式为，根据题意，将点（0，3.25）代入并求解，可得k＝0.8，即可确定此时抛物线解析式为，再令y＝0，求解即可确定此时喷头位置．
【解答】解：（1）由题意可知，该抛物线的顶点坐标为（2，3.61），点A（0，2.61），
设该抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3.61，
将点A（0，2.61）代入，可得2.61＝a（0﹣2）2+3.61，
解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）①对于抛物线，
当y＝0时，可有，
解得x＝5.8或x＝﹣1.8（舍去），
根据题意，喷水头向中心线沿直线滑动，若要求喷水柱最高点不能超过中心线，如下图，
则当喷水柱最高点位于中心线时，即抛物线顶点正好在y轴上时，
此时抛物线解析式为，
令y＝0，即有，
解得x＝3.8或x＝﹣3.8（舍去），
∴p的取值范围为3.8≤p≤5.8；
②设喷水头向中心线沿直线滑动距离为k m，
则抛物线解析式为，
当水刚好喷到中心线上，且距水面高3.25m处，即此时抛物线经过点（0，3.25），
将点（0，3.25）代入抛物线，
可得，
解得k＝0.8或k＝3.2（滑动距离超出①中范围，舍去），
∴此时抛物线解析式为，
令y＝0，即有，
解得x＝5或x＝﹣2.6（舍去），
∴此时喷头位置为（5，0）．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了利用二次函数解决实际问题，理解题意，利用数相结合的思想分析问题是解题关键．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，把边CB绕点C旋转到CF．
（1）如图1，连接AF，使FA＝FC，BC＝2AB＝4，求F到AC的距离；
（2）如图2，连接FB交AC于点D，当BD⊥AC时，在BC边取一个点E，使BE＝BA，过点E作BC的垂线交AC于点H，交CF于点M，交BF延长线于点G，求证：BE+GM＝MC；
（3）如图3，若∠BCF＝90°，连接AF，点N是Rt△ACB内部一个动点，连接AN、BN使∠NAB＝∠CBN，连接CN、NF，若，，当CN取最小时，请直接写出△CNF的面积．
【分析】（1）作FG⊥AC于G，先求得AC的长，进而求得CG，进而求得结果；
（2）延长EG至K，使KG＝AB，连接AK，可证得四边形ABKG是平行四边形，从而AK＝BG，证明△ABC≌△BEG，从而BG＝BC，进而得出CF＝AK，从而得出∠AKC＝∠ACK，可推出∠AKC＝∠MCK．从而得出MK＝CM，进一步得出结论；
（3）可推出∠ANB＝90°，从而得出点N在以AB为直径的圆O的运动，即当点N是OC与⊙O的交点，根据勾股定理求得OC的长，进而求得CN，进而求得FC上的高，进一步得出结果．
【解答】（1）解：如图1，
作FG⊥AC于G，
∵FA＝FC，
∴CG＝AG＝AC，
∵∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝2，
∴CG＝，
∵CF＝BC＝4，
∴FG＝＝＝，
∴点F到AC的距离为；
（2）证明：如图2，
延长EG至K，使KG＝AB，连接AK，
∵AB⊥BC，EG⊥CB，
∴EG∥AB，
∴四边形ABKG是平行四边形，
∴AK＝BC，∠AKG＝∠ABD，
∵FC＝CB，
∴∠FCD＝∠ACB，
∵∠ABC＝∠BGE＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，
∵∠BDC＝90°，
∴∠ACB+∠EBG＝90°，
∴∠BAC＝∠EBG，
∵AB＝BE，
∴△ABC≌△BEG（ASA），
∴AC＝BG，
∴AK＝AC，
∴∠AKC＝∠ACK，
同理可得，
∠ABD＝∠ACB，
∴∠ABD＝∠FCD，
∴∠AKG＝∠FCD，
∴∠AKC﹣∠AKG＝∠ACK﹣∠FCD，
∴∠MKC＝∠MCK，
∴CM＝KM＝CK+GM＝BE+GM；
（3）解：如图3，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABN+∠CBN＝90°，
∵∠NAB＝∠CBN，
∴∠ABN+∠ABN＝90°，
∴∠ANB＝90°，
∴点N在以AB为直径的圆O的运动，
∴当点N是OC与⊙O的交点，
∵∠ABC＝90°，BC＝，OB＝，
∴OC＝＝2，
∴OC＝OC﹣ON＝2﹣＝，
作NM⊥CB于M，
∴NM∥AB，
∴，
∴CM＝，
∴＝．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造等腰三角形．