吉林省辽源市龙山区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+

这是一份吉林省辽源市龙山区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+，共26页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．1或﹣1D．0
2．（2分）有4条线段，分别为：3cm，4cm，5cm，6cm，从中任取3条，能构成直角三角形的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）抛物线y＝3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）
4．（2分）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．28°B．30°C．36°D．56°
5．（2分）如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD（点C落在△AOB外），若∠AOB＝30°，∠BOC＝10°，则最小旋转角度是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
6．（2分）如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）方程x2﹣4＝0的解是 ．
8．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝∠OAC，OA＝8cm，则AC＝ cm．
9．（3分）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 ．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2﹣3x+a2﹣1的图象经过原点，那么a的值是 ．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的边AB平行于y轴，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA中点C和点B，且△OAB的面积为9，则k＝ ．
12．（3分）天水市某校从三名男生和两名女生中选出两名同学作为“伏羲文化节”的志愿者，则选出一男一女的概率为 ．
13．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，此时点C恰好在线段DE上，若∠B＝40°，∠CAE＝60°，则∠DAC的度数为 ．
14．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）解方程：x（x﹣5）＝5﹣x．小滨的解答如下：
解：原方程可化简为x（x﹣5）＝﹣（x﹣5），
方程两边同时除以x﹣5，得x＝﹣1，
小滨的解答是否正确，如不正确，写出正确的解答过程．
16．（5分）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0
（1）当m取何值时，方程有两个实数根；
（2）为m选取一个适合的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．
17．（5分）一只不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，用画树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况，并求两次摸出的球都是红球的概率．
18．（5分）方格纸中，若三角形的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形．在如图的方格纸中，画出与△ABC成中心对称的格点三角形．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这个函数的解析式；
（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）
20．（7分）如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．求证：AE＝BD．
21．（7分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B在x轴上，将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O、B的对应点分别是点E、F．
（1）若点B的坐标是（﹣4，0），请在图中画出△AEF，并写出点E、F的坐标．
（2）当点F落在x轴的上方时，试写出一个符合条件的点B的坐标．
22．（7分）如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣x+6分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C，且抛物线的对称轴为直线x＝4．
（1）求出抛物线与x轴的两个交点A，B的坐标．
（2）试确定抛物线的解析式．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．
（1）求AB的长；
（2）若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线．
24．（8分）如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG＝2BE，设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．
（1）y与x之间的函数关系式为 （不需写自变量的取值范围）；
（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到①的位置时，
求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到②的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．
26．（10分）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，则 m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题．
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ ．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求 的值．
（3）思维拓展：实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求﹣的值．
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．1或﹣1D．0
【分析】将x＝0代入方程可得：a2﹣1＝0，解之求得a的值，在根据一元二次方程的定义求解可得．
【解答】解：根据题意将x＝0代入方程可得：a2﹣1＝0，
解得：a＝1或a＝﹣1，
∵a﹣1≠0，即a≠1，
∴a＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
2．（2分）有4条线段，分别为：3cm，4cm，5cm，6cm，从中任取3条，能构成直角三角形的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】列举出所有情况，看直角三角形的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：4条线段的全部组合有：3，4，5和3，4，6和3，5，6和4，5，6．能构成直角三角形的是3，4，5一组，
∴P（构成三角三角形）＝．
故选：C．
【点评】用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
3．（2分）抛物线y＝3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）
【分析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+1是顶点时，
∴顶点坐标是（1，1）．故选：A．
【点评】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
4．（2分）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．28°B．30°C．36°D．56°
【分析】连接OA，OB，利用圆周角定理求解即可．
【解答】解：连接OA，OB．
由题意，∠AOB＝86°﹣30°＝56°，
∴∠ACB＝∠AOB＝28°，
故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，掌握圆周角定理解决问题．
5．（2分）如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD（点C落在△AOB外），若∠AOB＝30°，∠BOC＝10°，则最小旋转角度是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【分析】直接利用已知得出∠AOC的度数，再利用旋转的性质得出对应边之间夹角，得出答案即可．
【解答】解：∵∠AOB＝30°，∠BOC＝10°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠COB＝30°+10°＝40°，
∵将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，
∴旋转角为∠AOC＝40°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，正确得出∠AOC的度数是解题关键．
6．（2分）如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
【分析】利用三角形面积公式得出xy＝10，进而得出答案．
【解答】解：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，
∴xy＝10，
∴y与x的函数关系式为：y＝．
故选：C．
【点评】此题主要考查了根据实际问题抽象出反比例函数解析式，根据已知得出xy＝10是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）方程x2﹣4＝0的解是 x1＝2，x2＝﹣2 ．
【分析】首先移项可得x2＝4，再两边直接开平方即可．
【解答】解：x2﹣4＝0，
移项得：x2＝4，
两边直接开平方得：x1＝2，x2＝﹣2，
故答案为：x1＝2，x2＝﹣2．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
8．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝∠OAC，OA＝8cm，则AC＝ 8 cm．
【分析】结合等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形的内角和定理求得三角形AOC是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解．
【解答】解：连接OC．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
又∵∠B＝∠OAC＝∠AOC，
∴∠AOC＝90°．
∴AC＝OA＝8cm．
【点评】此题综合运用了等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形的内角和定理以及勾股定理．
9．（3分）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 6 ．
【分析】将a代入x2+2x﹣3＝0，即可得出a2+2a＝3，再把a2+2a＝3整体代入2a2+4a，即可得出答案．
【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，
∴a2+2a﹣3＝0，
∴a2+2a＝3，
∴2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×3＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想的应用是本题的关键．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2﹣3x+a2﹣1的图象经过原点，那么a的值是 ﹣1 ．
【分析】抛物线经过原点（0，0），二次函数y＝ax2﹣3x+a2﹣1与y轴交点纵坐标为a2﹣1，所以a2﹣1＝0，解得a的值．再图象开口向下，a＜0确定a的值．
【解答】解：∵抛物线经过原点（0，0），
∴a2﹣1＝0，解得a＝±1，
∵图象开口向下，a＜0，
∴a＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足y＝ax2+bx+c（a≠0）．也考查了二次函数的性质．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的边AB平行于y轴，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA中点C和点B，且△OAB的面积为9，则k＝ 6 ．
【分析】延长AB交x轴于D，根据反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，设B（x，），则OD＝x，根据△OAB的面积为9，列等式可表示AB的长，表示点A的坐标，根据线段中点坐标公式可得C的坐标，从而得出结论．
【解答】解：如图，延长AB交x轴于D，
∵AB∥y轴，
∴AD⊥x轴，
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA中点C和点B，
∴设B（x，），则OD＝x，
∵△OAB的面积为9，
∴•AB•OD＝9，即AB•x＝9，
∴AB＝，
∴A（x，），
∵C是OA的中点，
∴C（x，），
∴k＝x•，
∴k＝6，
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了反比例函数上点的坐标特征，线段的中点坐标公式，三角形面积公式，解本题的关键是设未知数建立方程解决问题．
12．（3分）天水市某校从三名男生和两名女生中选出两名同学作为“伏羲文化节”的志愿者，则选出一男一女的概率为 ．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，选出一男一女的有12种情况，
∴选出一男一女的概率为：＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，此时点C恰好在线段DE上，若∠B＝40°，∠CAE＝60°，则∠DAC的度数为 20° ．
【分析】由旋转的性质得出得出∠D＝∠B＝40°，AE＝AC，再根据∠CAE＝60°，得出△ACE是等边三角形，得出∠ACE＝∠E＝60°，在△ACD中由三角形外角性质即可求出∠DAC的度数．
【解答】解：由旋转的性质得∠D＝∠B＝40°，AE＝AC，
∵∠CAE＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠ACE＝∠E＝60°，
∵∠ACE是△ACD的外角，
∴∠DAC＝∠ACE﹣∠D＝60°﹣40°＝20°．
故答案为：20°
【点评】本题以旋转为背景，主要考查了等边三角形的判定与性质以及三角形外角的性质．解题时注意，旋转前、后的图形全等，对应边相等，对应角相等，这是解决问题的关键．
14．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为 x1＝4，x2＝﹣2 ．
【分析】根据图象可知，二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象经过点（4，0），把该点代入方程，求得m值；然后把m值代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0，求根即可．
【解答】解：根据图象可知，二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象经过点（4，0），所以该点适合方程y＝﹣x2+2x+m，代入，得
﹣42+2×4+m＝0
解得m＝8 ①
把①代入一元二次方程﹣x2+2x+m＝0，得
﹣x2+2x+8＝0，②
解②得
x1＝4，x2＝﹣2，
故答案为x1＝4，x2＝﹣2．
【点评】本题考查的是关于二次函数与一元二次方程，在解题过程中，充分利用二次函数图象，根据图象提取有用条件来解答，这样可以降低题的难度，从而提高解题效率．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）解方程：x（x﹣5）＝5﹣x．小滨的解答如下：
解：原方程可化简为x（x﹣5）＝﹣（x﹣5），
方程两边同时除以x﹣5，得x＝﹣1，
小滨的解答是否正确，如不正确，写出正确的解答过程．
【分析】方程解答不正确，两边除以（x﹣5）时，没有考虑为0的情况，写出正确过程即可．
【解答】解：方程解答不正确，
正确解答为：方程化简得：x（x﹣5）＝﹣（x﹣5），
移项得：x（x﹣5）+（x﹣5）＝0，
分解因式得：（x﹣5）（x+1）＝0，
可得x﹣5＝0或x+1＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16．（5分）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0
（1）当m取何值时，方程有两个实数根；
（2）为m选取一个适合的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．
【分析】（1）根据根的判别式△≥0时，方程有两个实数根求m的值即可；
（2）根据根的判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根列出不等式，求m的取值范围，再得出整数m的值．
【解答】解：（1）∵方程有两个实数根，
∴△≥0，
即4（m+1）2﹣4m2≥0，
∴m≥﹣；
（2）∵方程有两个不相等实数根，
∴Δ＞0，
即4（m+1）2﹣4m2＞0，
∴m＞﹣；
令m＝0，代入方程得x2﹣2x＝0
∴x1＝0，x2＝2．
【点评】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．
17．（5分）一只不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，用画树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况，并求两次摸出的球都是红球的概率．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的只有1种情况，
∴两次摸出的球都是红球的概率为：．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．（5分）方格纸中，若三角形的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形．在如图的方格纸中，画出与△ABC成中心对称的格点三角形．
【分析】我们可以将方格纸做中心对称，这样可以清楚的看到△ABC中心对称的格点三角形．画出即可．
【解答】解：根据中心对称的性质：
如图．
【点评】使学生对中心对称的认识加深．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这个函数的解析式；
（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）
【分析】（1）设出反比例函数解析式，把A坐标代入可得函数解析式；
（2）把v＝1代入（1）得到的函数解析式，可得p；
（3）把P＝140代入得到V即可．
【解答】解：（1）设，
由题意知，
所以k＝96，
故；
（2）当v＝1m3时，；
（3）当p＝140kPa时，．
所以为了安全起见，气体的体积应不少于0.69m3．
【点评】考查反比例函数的应用；应熟练掌握符合反比例函数解析式的数值的意义．
20．（7分）如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．求证：AE＝BD．
【分析】根据旋转的性质得到∠DCE＝60°，CD＝DE，根据等边三角形的性质得到∠ACB＝60°，AC＝BC，进一步由“SAS”可证△BCD≌△ACE，可得AE＝BD．
【解答】证明：由旋转可知∠DCE＝60°，CD＝CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE＝BD．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形判定和性质，等边三角形的性质等知识，掌握旋转的性质是解题的关键．
21．（7分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B在x轴上，将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O、B的对应点分别是点E、F．
（1）若点B的坐标是（﹣4，0），请在图中画出△AEF，并写出点E、F的坐标．
（2）当点F落在x轴的上方时，试写出一个符合条件的点B的坐标．
【分析】（1）△AOB绕点A逆时针旋转90°后得到△AEF，所以AO⊥AE，AB⊥AF，BO⊥EF，AO＝AE，AB＝AF，BO＝EF，据此在图中画出△AEF，并写出点E、F的坐标即可．
（2）根据点F落在x轴的上方，可得EF＜AO；然后根据EF＝OB，判断出OB＜3，即可求出一个符合条件的点B的坐标是多少．
【解答】解：（1）∵△AOB绕点A逆时针旋转90°后得到△AEF，
∴AO⊥AE，AB⊥AF，BO⊥EF，AO＝AE，AB＝AF，BO＝EF，
∴△AEF在图中表示为：
∵AO⊥AE，AO＝AE，
∴点E的坐标是（3，3），
∵EF＝OB＝4，
∴点F的坐标是（3，﹣1）．
（2）∵点F落在x轴的上方，
∴EF＜AO，
又∵EF＝OB，
∴OB＜AO，AO＝3，
∴OB＜3，
∴一个符合条件的点B的坐标是（﹣2，0）．
【点评】此题主要考查了作图﹣旋转变换问题，解答此题的关键是要熟练掌握旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
22．（7分）如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣x+6分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C，且抛物线的对称轴为直线x＝4．
（1）求出抛物线与x轴的两个交点A，B的坐标．
（2）试确定抛物线的解析式．
【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣x+6分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C，可以求得点B、C两点的坐标，由图象可知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A、B两点，对称轴为直线x＝4，从而可以求得点A的坐标；
（2）根据抛物线过点A、B、C三点，从而可以求得抛物线的解析式．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣x+6分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C，
∴将x＝0代入y＝﹣x+6得，y＝6；将y＝0代入y＝﹣x+6，得x＝6．
∴点B的坐标是（6，0），点C的坐标是（0，6）．
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A、B两点，对称轴为直线x＝4，
∴点A的坐标为（2，0）．
即抛物线与x轴的两个交点A，B的坐标分别是（2，0），（6，0）．
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（2，0），B（6，0），C（0，6），
∴
解得a＝，b＝﹣4，c＝6．
∴抛物线的解析式为：y＝．
【点评】本题考查二次函数与x轴的交点，解题的关键是明确题意找出所求问题需要的条件．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．
（1）求AB的长；
（2）若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线．
【分析】（1）连接OA、OB，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝60°，则∠OAD＝30°，所以OD＝OA＝1，AD＝OD＝，再根据垂径定理得AD＝BD，所以AB＝2；
（2）由（1）∠BOC＝60°，则△OCB为等边三角形，所以BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，而CP＝CO＝CB，则∠CBP＝∠P，可计算出∠CBP＝30°，所以∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，于是根据切线的判定定理得PB是⊙O的切线．
【解答】（1）解：连接OA、OB，如图，
∵∠ABC＝30°，OP⊥AB，
∴∠AOC＝60°，
∴∠OAD＝30°，
∴OD＝OA＝×2＝1，
∴AD＝OD＝，
又∵OP⊥AB，
∴AD＝BD，
∴AB＝2；
（2）证明：由（1）∠BOC＝60°，
而OC＝OB，
∴△OCB为等边三角形，
∴BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，
∴C是OP的中点，
∴CP＝CO＝CB，
∴∠CBP＝∠P，
而∠OCB＝∠CBP+∠P，
∴∠CBP＝30°
∴∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，
∴OB⊥BP，
∴PB是⊙O的切线．
【点评】本题考次了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．
24．（8分）如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG＝2BE，设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．
（1）y与x之间的函数关系式为 y＝﹣2x2+4x+16 （不需写自变量的取值范围）；
（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？
【分析】（1）根据题意可得DG＝2x，再表示出AE和AG，然后利用面积可得y与x之间的函数关系式；
（2）根据题意可得正方形苗圃ABCD的面积为16，进而可得矩形苗圃AEFG的面积为16，进而可得：﹣2x2+4x+16＝16，再解方程即可．
【解答】解：（1）y＝（4﹣x）（4+2x）＝﹣2x2+4x+16，
故答案为：y＝﹣2x2+4x+16；
（2）根据题意可得：﹣2x2+4x+16＝16，
解得：x1＝2，x2＝0（不合题意，舍去），
答：BE的长为2米．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到①的位置时，
求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到②的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．
【分析】（1）证明△ADC≌△BEC（AAS）即可：已知已有两直角相等和AC＝BC，再由同角的余角相等证明∠DAC＝∠BCE即可；
（2）根据垂直定义求出∠BEC＝∠ACB＝∠ADC，根据等式性质求出∠ACD＝∠CBE，根据AAS证出△ADC和△CEB全等即可；
（3）同样由三角形全等寻找边的关系，根据位置寻找和差的关系．
【解答】（1）①证明：∵∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，∠BEC＝90°
∴∠ACD+∠DAC＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ADC与△BEC中，
，
∴△ADC≌△BEC（AAS）；
②由①知，△ADC≌△BEC，
∴AD＝CE，BE＝CD，
∵DE＝CE+CD，
∴DE＝AD+BE；
（2）证明：∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
∴∠ADC＝∠BEC＝∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°．
∴∠CAD＝∠BCE．
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
∴CE＝AD，CD＝BE．
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE．
（3）解：同（2），易证△ADC≌△CEB．
∴AD＝CE，BE＝CD
∵CE＝CD﹣ED
∴AD＝BE﹣ED，即ED＝BE﹣AD；
当MN旋转到图3的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE＝BE﹣AD（或AD＝BE﹣DE，BE＝AD+DE等）．
【点评】本题考查了几何变换综合题，需要掌握全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明△ADC和△CEB全等的三个条件．题型较好．
26．（10分）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，则 m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题．
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ ﹣ ．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求 的值．
（3）思维拓展：实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求﹣的值．
【分析】（1）利用根与系数的关系，即可得出x1+x2及x1x2的值；
（2）利用根与系数的关系，可得出m+n＝，mn＝﹣，将其代入+＝中，即可求出结论；
（3）由实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，可得出s，t是一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出s+t＝，st＝﹣，结合（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st，可求出s﹣t的值，再将其代入﹣＝中，即可求出结论．
【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣＝，x1x2＝＝﹣，
故答案为：，﹣；
（2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝，mn＝﹣，
∴+＝＝＝＝﹣；
（3）∵实数s，t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，
∴s，t是一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，
∴s+t＝，st＝﹣．
∵（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（）2﹣4×（﹣）＝，
∴t﹣s＝±，
∴﹣＝＝＝±，
∴﹣的值为﹣或．
【点评】本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．