2024河北省高三上学期1月大数据应用调研联合测评（四）数学含解析

这是一份2024河北省高三上学期1月大数据应用调研联合测评（四）数学含解析，共18页。试卷主要包含了设是等差数列的前项和，若，则，下列结论中正确的有等内容，欢迎下载使用。
数 学
班级__________ 姓名__________
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点所在的象限为（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4.设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A. B. C. D.
5.高斯是德国数学家､天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德､牛顿并列，同享盛名.用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作，是指不超过实数的最大整数，例如，该函数被广泛应用于数论､函数绘图和计算机领域.若函数，则当时，的值域为（ ）
A. B. C. D.
6.在正方体的棱长为为线段上的动点，则点到平面距离的最小值为（ ）
A.1 B. C. D.2
7.设实数，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列结论中正确的有（ ）
A.数据的第75百分位数为30
B.已知随机变量服从二项分布，若，则
C.已知回归直线方程为，若样本中心为，则
D.若变量和之间的样本相关系数为，则变量和之间的正相关性很小
10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ）
A.，函数的最小正周期为
B.
C.方程的解为
D.
11.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点，则下列说法正确的有（ ）
A.当时，
B.
C.若直线的倾斜角分别为，则
D.若点关于轴的对称点为点，则直线必恒过定点
12.已知函数，若函数的图象与的图象有两个不同的交点，则实数的可能取值为（ ）
A.-3 B. C. D.3
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，则__________.
14.已知函数，且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为__________.
15.2023年9月23日，杭州第19届亚运会开幕，在之后举行的射击比赛中，6名志愿者被安排到安检､引导运动员入场､赛场记录这三项工作，若每项工作至少安排1人，每人必须参加且只能参加一项工作，则共有种安排方案__________.（用数字作答）
16.如图所示，已知正方体的棱长为2，点在上，且，动点在正方形内运动（含边界），若，则当取得最小值时，三棱锥外接球的半径为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）在中，角的平分线与边交于点，且满足.
（1）若，求角；
（2）若，求证：.
19.（本小题满分12分）如图1，已知正三角形边长为4，其中，现沿着翻折，将点翻折到点处，使得平面平面为中点，如图2.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
20.（本小题满分12分）已知函数为常数，过曲线上一点处的切线与轴垂直.
（1）求的值及的单调递增区间；
（2）若对任意的，使得（e是自然对数的底数）恒成立，求实数的取值范围.
21.（本小题满分12分）已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，若以为圆心，1为半径的圆与以为圆心，3为半径的圆相交于两点，若椭圆经过两点，且直线的斜率之积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）点是直线上一动点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为.
①求证直线恒过定点，并求出此定点；
②求面积的最小值.
22.（本小题满分12分）在信息论中，熵（entrpy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵的单位通常为比特，但也用､､计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了的信息，而掷次就为位.更一般地，你需要用位来表示一个可以取个值的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量所有取值为，定义的信息熵.
（1）若，试探索的信息熵关于的解析式，并求其最大值；
（2）若，求此时的信息熵.
数学参考答案及解析
1.【答案】D
【解析】由不等式，等价于，解得或，因为，所以，所以.故选D.
2.【答案】C
【解析】因为，所以在复平面上对应的点为，该点在第三象限.故选C.
3.【答案】A
【解析】，又在向量上的投影向量为..故选A.
4.【答案】B
【解析】因为是等差数列的前项和，所以是等差数列.
由可设，则，于是依次为，所以，所以.故选B.
5.【答案】C
【解析】由，得，解得，则的定义域为，当时，令，函数在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的值域为，所以的值域为.故选C.
6.【答案】B
【解析】由题意得，设点到平面的距离为，则由等体积转化法为，由图形得，当与重合时，最大，最大为，此时最小，为.故选B.
7.【答案】C
【解析】恒成立，即，
令，则，
当时，单调递减，当时，单调递增，
因为，所以，
因此若时，不等式恒成立，则恒成立，
若时，，恒成立，则也成立，
所以当时，恒成立，所以得，即，
设
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，所以，即正实数的最小值为，故选C.
8.【答案】A
【解析】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，
则根据椭圆及双曲线的定义得：，
，设，
则在中，由余弦定理得，，
化简得，即，
则
，
当且仅当即时，等号成立，故选A.
9.【答案】BC
【解析】对于项，11个数的顺序为，所以第75百分位数为27，故A项错误；
对于B项，因为，所以，所以，解得，故B项正确；
对于C项，回归直线必过样本中心可得，解得，故C项正确；
对于D项，为正值时，值越大，判断“与之间的正相关”越强，故D项不正确.故选BC.
10.【答案】BCD
【解析】由图象知，即函数的最小正周期，最小正周期，，则，即，
当时，，即，故A不正确；
，即，则，
则，故B正确；
因为，即，
即
又因为时，，
所以，
因为，所以，
当时，或，解得或，
所以方程的解为或.故C正确；
由，
，
，且在上单调递增，，
由，故D正确.故选BCD.
11.【答案】ACD
【解析】当时，抛物线方程为，直线，联立得，则，故A正确；
当时，直线为轴，和抛物线只有一个交点，故B不正确；
直线，代入，得，则，
则，故C正确；
因为点关于轴的对称点为点，由知，直线与的倾斜角相同，
所以三点共线，所以直线必恒过定点，故D正确.故选ACD.
12.【答案】CD
【解析】函数的图象与的图象有两个不同的交点，则方程有两个不同的根，即有两个不同的根，令，则.
①若，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，又，取实数满足且，则有，所以有两个零点.
②若，当时，在上单调递增，当时，，故，故不存在两个零点，当时，在上单调递增，在上单调递减，又当时，故，故不存在两个零点，综上得，故选CD.
13.【答案】
【解析】因为，所以.
14.【答案】
【解析】函数且的图象恒过定点，则，，当且仅当即时等号成立.
15.【答案】540
【解析】6名志愿者被安排三项工作，每项工作至少安排1人，则分组方式为，则安排方案有（种）.
16.【答案
【解析】连接，则，所以点在正方形内运动轨迹为以为圆心，1为半径的四分之一圆弧，连接，则，所以取得最小值时，只需取得最小值即可，连接交圆弧于点，此时取得最小值，则取得最小值，连接，则为等腰直角三角形，，又，所以三棱锥为四个面均为直角三角形的三棱锥，则球心为的中点，为直径，则，所以外接球半径.
17.【解】（1），①
当时，，②
由①-②得，
又时，，满足上式，
综上，.
（2），
，
设数列的前项和为，
所以
.
18.【解】，
，
即
即，
，
.
（1）由正弦定理得，
，
.
（2），则，
，
即
所以，
即
即.
（其他方法正确也可给分）
19.【解】（1）取的中点为的中点为，连接与，
正三角形中，，
，
立体图形由翻折可得且，
是的中点，
，
平面平面，平面平面平面，
平面，
以点为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
正的边长为，
，连接，在中，，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
异面直线所成角的取值范围为，
异面直线与所成角的余弦值为.
（2）由（1）得，
，
，
易得平面的一个法向量为
设平面的法向量为，
则即则，
，
平面与平面夹角的余弦值为.
20.【解】（1），
，
又，
，
则，
令，
在上单调递增，又，
所以不等式的解集为，
故函数的单调递增区间为.
（备注：单调递增区间写成也得分）
（2）若对任意的，使得恒成立，
只需，
由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，
为中的最大值，
，
令，则，
在上是增函数，而，
即，
，
对于，则，所以函数在上是增函数，
所以，
的取值范围为.
21.【解】（1）因为圆与圆相交，且交点在椭圆上，
所以，
又，
所以椭圆的方程为.
（2）①由（1）知椭圆右焦点，设，
则切线的方程为，
即，点在直线上，
，
，
，
代入上式得，
，同理，
所以直线恒过定点.
②由（1）知直线恒过定点，
令直线，
代入椭圆方程，
得，则，
恒成立，
则，
①当时，
点到直线的距离为，
，
，
令，
则，
在上单调递减，
在上单调递增，
，
②当时，.
综上，的最小值为.
22.【解】（1）当时，，
令，
则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大时，最大值为.
（2），
则
，
而
于是
，
令，
则，
两式相减得，
因此，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
A
B
C
B
C
A
BC
BCD
ACD
CD