2024湖北省重点高中智学联盟高二上学期12月联考数学试卷含答案

这是一份2024湖北省重点高中智学联盟高二上学期12月联考数学试卷含答案，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题学校：新洲一中邾城校区 命题人：卢有勇 审题人：黄陂一中 蔡劲松
一、单项选择题：（每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．复平面内复数的共轭复数为，若，则复数对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A．B．
C．或D．与的位置关系不能判断
3．已知抛物线（）上的点到焦点的距离为3，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
4．已知，，，的夹角为，则（ ）
A．1B．C．2D．4
5．是圆上的动点，若到两条直线：和：的距离之和与动点的位置无关，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知，分别为双曲线：（，）的左右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知点为椭圆（）的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于，两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
8．如图是四棱锥的平面展开图，四边形是矩形，，，，，，则在四棱锥中，与平面所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若事件和事件互斥，则
B．若事件和事件对立，则
C．若，则事件和事件独立
D．若三个事件、、两两独立，则
10．设、分别是双曲线：（）的左、右焦点，过作轴的垂线与交于、两点，若为正三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．双曲线的焦距为D．的内切圆与轴相切于点
11．在边长为2的正方体中，动点满足（），则下列说法正确的是（ ）
A．若，则直线与所成的角为
B．三棱锥的体积为定值
C．若，则直线与平面所成的角为
D．若，则三棱锥的外接球的表面积为
12．已知抛物线的焦点为，是抛物线的准线与轴的交点，，是抛物线上异于坐标原点的两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线过点，则
B．若直线过点，则的最小值为4
C．若直线过点，则直线，的斜率之和
D．若直线过点，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______．
14．已知样本，，，，的平均数为5，若，，，，的平均数为34．则样本，，，，的方差为______．
15．已知圆台上、下底而的圆的半径分别为3和6，该圆台的体积为，则该圆台的侧面积为______．
16．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题解决，如与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．依上思想，已知，，则的最小值为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
（1）已知抛物线（）的焦点坐标为，过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，求弦长；
（2）已知双曲线：（，）的实轴长为2，且它的渐近线与圆相切，求双曲线的焦点到渐近线的距离．
18．（本小题满分12分）
随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中的值，并估计该100名学生身高的80%分位数：
（2）将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取6人，再从这6人中任选2人出来，求这2人来自不同小组的概率．
19．（本小题满分12分）
如图：平行六面体中，，且，，记，，．
（1）将用，，表示出来，并求；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
圆过、两点，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）若直线在轴上的截距是轴上的截距的2倍，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程．
21．（本小题满分12分）
如图，为圆柱底面的直径，是圆柱底面的内接正三角形，和为圆柱的两条母线，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的正弦值．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆：（）的离心率，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作椭圆的两条互相垂直的弦、，试判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
湖北省重点高中智学联盟2023年秋季高二年级12月
数学答案
1．A 2．C 3．B 4．C 5．D 6．C 7．D 8．D 9．ABC 10．BD 11．BD
13． 14．9 15． 16．
17．（1）由抛物线（）的焦点为，得抛物线的方程为
直线过点且倾斜角为，则直线的方程为，
联立得：，
则
（2）双曲线的实轴长为
则双曲线：，则渐近线方程为：，
故，
故双曲线的渐近线方程为：，取右焦点为，
则双曲线的焦点到渐近线的距离为
（若直接运用结论：双曲线的焦点到渐近线的距离为不扣分）
18．（1）由频率分布直方图可知，解得．
身高在的人数占比为，身高在的人数占比为，
所以该100名学生身高的80%分位数落在内，可知恰好为区间的中点，
故该100名学生身高的80%分位数为177.5．
（2）组人数为，组人数为，组人数为，
由题意可知组抽取人数为，组抽取人数为，
组抽取人数为．
6人中任选2人的方法数为15，这2人来自不同小组方法数为，
故这2人来自不同小组的概率．
19．（1），
，，，，．
．
（2），
，
，，
．
异面直线与所成角的余弦值为，
20．解：（1）两点，的中垂线方程为：，
联立，解得圆心，
，故圆的方程为：
（2）由直线且被圆截得的弦长为6，故圆心到直线的距离为，
A．若直线过原点，可知直线的斜率存在，设直线为：，
，此时直线的方程为：
A．若直线不过原点，设直线为：，
，
此时直线的方程为：，
故直线的方程为：，，
21．（1）证明：因为为圆柱底面的直径，所以．因为为圆柱的母线，
故，又，故平面．
由和为圆柱的两条母线知四边形为矩形，
因此，故平面．
又因为平面，所以平面平面．
（2）由题意知，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
令，故，，，
是圆柱底面的内接正三角形，故，故，
过作，垂足为，，，
故点的坐标为，，
由平面，可设平面的法向量为，
设平面的法向量为，
由，，即，令，
则，
设二面角的平面角为，
故二面角的正弦值为．
22．（1），，
又，，
故椭圆的方程为
（2）法一：当直线的斜率不存在时，
设，，
代入，得：（舍），
此时：
当直线的斜率存在时，设：，联立得：
，，
，，
，
，
代入整理得：，
，
当，此时：，过定点，舍去．
当，此时：，过定点
综上有，直线始终过定点
法二：利用齐次式：依题意可知：设：，
椭圆的方程为，，
则：，
即：
A：当，的斜率存在时，，
即：
，，
此时：，
即：，故，
此时直线是否过定点．
B：当，的斜率一个为0，另一个不存在时，不妨取，，
此时直线：，也过点，
综上有，直线始终过定点．