2024云南师大附中高二上学期期末模拟测试数学含解析

这是一份2024云南师大附中高二上学期期末模拟测试数学含解析，共14页。试卷主要包含了已知数列中，且，则为，已知双曲线等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分、第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数（i为虚数单位，a，且）为纯虚数，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知直线过点与点，则这条直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
4．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．0D．
5．已知向量与单位向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列中，且，则为（ ）
A．B．C．D．
7．设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线（，）的右焦点F与抛物线的焦点重合，抛物线准线与一条渐近线交于点，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在直线的方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在正四棱柱中，，点P为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为
C．三棱锥外接球的表面积为
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
11．设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A，B两点，则（ ）
A．为定值B．的周长的取值范围是
C．当时，为直角三角形D．当时，的面积为
12．若函数在定义域内的某区间M上是增函数，且在M上是减函数，则称函数在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则存在区间M使为“弱增函数”
B．若，则存在区间M使为“弱增函数”
C．若，则为R上的“弱增函数”
D．若在区间上是“弱增函数”，则
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在等比数列中，，，则__________．
14．函数（，）的部分图象如图所示，若，则__________．
15．过点作圆的切线，，则切线长为__________；过切点A，B的直线方程为__________．
16．，分别为双曲线（，）左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率e的最大值是__________．
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若，，求的面积．
18．（本小题满分12分）
已知等差数列的前n项和为，，．在正项等比数列中，，．
（Ⅰ）求与的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
19．（本小题满分12分）
近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人群的心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量指数衡量人体胖瘦程度是否健康，中国成人的数值标准是：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．下面是社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100名居民体检数据，将其值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图如图．
（Ⅰ）根据频率分布直方图，求a的值，并估计该社区居民身体质量指数的样本数据的分位数；
（Ⅱ）现从样本中利用分层抽样的方法在，两组中抽取6名居民，再从这6人中随机抽取2人，求抽取到2人的值不在同一组的概率．
20．（本小题满分12分）
如图，已知在四棱锥中，平面，点Q在棱上，且，底面为直角梯形，，，，，M，N分别是，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
21．（本小题满分12分）
如图，已知抛物线，直线交抛物线C于A，B两点，的中点为．
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）记抛物线C上一点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆的短轴长为2，点P在椭圆C上，与两焦点围成的三角形面积的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）当P为椭圆C的右顶点时，直线l与椭圆C相交于M，N两点（异于P点），且．试判断直线l是否过定点？如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由．
2023~2024学年高二年级上学期期末模拟测试
数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
【解析】
1．因为，，所以，所以，故选A．
2．为纯虚数，
则即，故，故选B．
3．直线过点与点，则直线的斜率为，故这条直线的倾斜角是，故选D．
4．，（O为坐标原点），
由三角函数的定义，得，，
，故选C．
5．在方向上的投影向量为，故选D．
6．由得：，
又，数列是以1为首项，为公差的等差数列，
，，，故选A．
7．因为函数在R上单调递增，所以，
又因为函数在上单调递减，所以，
结合以上有，所以，故选D．
8．由抛物线的焦点为，因为双曲线与抛物线的焦点重合，
可得双曲线的右焦点为，即，可得，
又由双曲线的一条渐近线方程为，抛物线的准线方程为，
因为抛物线准线与一条渐近线交于点，可得，
即交点为，代入渐近线方程，可得，可得，
将代入，可得，所以，所以双曲线的方程为，故选D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
【解析】
9．如图，点关于x轴的对称点为，则反射光线一定经过点，
由于的圆心为，半径为1，
若反射光线的斜率不存在，此时反射光线方程为，与圆C无交点，不满足题意．
设反射光线的斜率为k，则可得出反射光线为，即，
因为反射光线与圆相切，则圆心到反射光线的距离，即，解得或，
则反射直线的方程为或，故选BD．
10．作辅助线如图，对于A，因为，，
所以平面平面，平面，从而直线平面，故A正确；
对于B，由A知，平面平面，P点在平面，
所以，故B正确；
对于C，三棱锥外接球的半径，
所以三棱锥外接球的表面积为，故C正确；
对于D，因为当时，最短，此时直线与平面所成角的正弦值最大，
先用等面积法求，，解得，
所以直线与平面所成角的正弦的最大值为，故D错误，故选ABC．
11．设椭圆的左焦点为，则，所以为定值6，故A正确；
的周长为，因为为定值6，
易知的范围是，所以的周长的范围是，故B错误；
将与椭圆方程联立，可解得，，
又易知，所以，
所以为直角三角形，故C正确；
将与椭圆方程联立，解得，，
所以，故D错误，故选AC．
12．对于A，在上为增函数，在上是增函数，
故不存在区间M使为“弱增函数”，故A错误；
对于B，由对勾函数的性质可知：在上为增函数，
在上为减函数，
故存在区间使为“弱增函数”，故B正确；
对于C，因为，易得在R上单调递增，，
易得在上是增函数，在上为减函数，
故不是R上的“弱增函数”，故C错误；
对于D，若在区间上是“弱增函数”，
则在上为增函数，所以，解得，
又在上为减函数，由对勾函数的单调性可知，，则，
综上．故D正确，故选BD．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【解析】
13．由题意在等比数列中，，，
设等比数列的公比为q，则，故．
14．由题设，又，则，，
则，，故，，
由且是y轴左侧第一个零点，故，即，则，
由图知：，关于函数图象中y轴右侧第一个零点对称，即对称，
所以，．
15．圆，则圆心，半径，
在中，，，
，．
以为直径的圆的方程，即以为圆心，
以为半径的圆的方程为：，
又圆，两圆方程相减可得．
16．，是左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，所以，代入，
得，
当且仅当时取等号，即，
又点P是双曲线左支上任意一点，所以，即，即，即．
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）因为在中，，所以由正弦定理得，
由余弦定理得，而，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，而，，即有，而，解得，
所以的面积为．
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，由条件得，，解得，
所以；
设正项等比数列的公比为q，由条件得，所以，
解得或（负值舍去），所以．
（Ⅱ），所以，
所以，
相减得，
，
所以．
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题设条件可得，解得，
又前三组频率之和为，
前四组的频率之和为，
故样本数据的分位数在内，
设分位数为x，则有，解得，
即该社区居民身体质量指数的样本数据的分位数为26.5．
（Ⅱ）由频率分布直方图可知的频数为，的频数为，
可得两组人数比值为1：2，按照分层抽样抽取6人，则在，分别抽取2人和4人，
记这组两个样本编号为a，b，这组编号为1，2，3，4，
故从6人随机抽取2人所有可能样本构成的样本空间为
，
共15种组合；
设事件A为“抽取到两人的值不在同一组”，
则，共8种，故，
即从这6个人中随机抽取2人，抽取到2人的值不在同一组的概率为．
20．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：如图，以A为原点，以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由题意可得：，，，，，，，，，，，
设为平面的法向量，则有：即
令，则平面的法向量，，
又平面，平面．
（Ⅱ）解：设为平面的法向量，
又，，
则有：
令，则平面的法向量，又，
设直线与平面所成角为，，
直线与平面所成的角的正弦值为．
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）不妨设，，
因为A，B两点在抛物线C上，所以，
两式作差得，①
因为A，B均在直线l上，所以，
又的中点为，此时，②
联立①②，解得，则抛物线C的标准方程为．
（Ⅱ）又为抛物线C上一点，所以，解得，即，
不妨设，，此时，同理得，
所以，③
联立消去x并整理得，
由韦达定理得④
联立③④，解得．
22．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为椭圆C的短轴长为2，所以，①
因为点P与两焦点围成的三角形面积的最大值为，所以，②
又，③
联立①②③，解得，，，则椭圆C的标准方程为．
（Ⅱ）易知直线l的斜率不为0，不妨设直线l的方程为，，，
联立消去x并整理得，
此时，解得，
由韦达定理得，，
因为，，，所以．
因为，，所以，
即，，解得，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
D
C
D
A
D
D
题号
9
10
11
12
答案
BD
ABC
AC
BD
题号
13
14
15
16
答案
81
5；
3