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湖南省长沙市湖南师大附中2024届高三上学期月考数学试题（五）（Word版附解析）
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这是一份湖南省长沙市湖南师大附中2024届高三上学期月考数学试题（五）（Word版附解析），共25页。试卷主要包含了 已知集合，若，则， 已知复数，则的虚部为， 二项式的展开式中常数项为， 已知函数为偶函数，则， 已知，则等内容，欢迎下载使用。
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，若，则（ ）
A. 3B. 1C. -1D. -3
【答案】B
【解析】
【分析】由，得到求解.
【详解】解：因为，
所以，
当时，，根据元素的互异性可知，；
当时，，不满足元素的互异性，舍去，
故选：B.
2. 已知复数，则的虚部为（ ）
A. -1B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数除法的运算法则、复数乘方的法则，结合共轭复数和复数虚部的定义进行求解即可.
【详解】因为
所以，所以的虚部为，
故选：C.
3. 二项式的展开式中常数项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二项式通项公式进行求解即可.
【详解】二项式的通项公式为，
令，所以常数项为，
故选：A
4. 已知函数为偶函数，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合偶函数定义与指数幂的运算计算即可得.
【详解】因为为偶函数，所以，
即，
整理得恒成立，
所以，则.
故选：B.
5. 已知为双曲线的左焦点，直线与交于两点，且轴，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意直线过双曲线的左顶点得，再由求出，然后利用点也在直线上得到，从而求解.
【详解】易知直线经过的左顶点，
设，因为轴，所以，解得，或（舍去），
所以点坐标为，则，整理得，
所以，即，解得（舍去），或，
所以的离心率为，故C正确.
故选：C.
6. 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得在区间上恒成立，即在区间上恒成立，设，利用导数求出可得答案.
【详解】在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，设，
则，所以在上单调递增，
则，所以，则的最小值为.
故选：C.
7. 已知，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别将和分别平方相加求出，然后逆用正弦两角差公式并结合倍角公式从而求解.
【详解】由得，，
由得，，
两式相加得，，
则，
所以，故D正确.
故选：D.
8. 在数列中的相邻两项与之间插入一个首项为，公差为的等差数列的前项，记构成的新数列为，若，则前65项的和为（ ）
A. B. -13C. D. -14
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，得到数列中及其后面项的和为，求解.
【详解】解：数列为：，
，
设及其后面项的和为，则，
所以数列是以1为首项，公差为的等差数列.
所以前65项的和为，
故选：A.
二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知S为圆锥的顶点，为该圆锥的底面圆的直径，为底面圆周上一点，，则（ ）
A. 该圆锥的体积为
B.
C. 该圆锥的侧面展开图的圆心角大于
D. 二面角的正切值为
【答案】AC
【解析】
【分析】求得该圆锥的体积判断选项A，求得的长度判断选项B，求得该圆锥的侧面展开图的圆心角判断选项C，求得二面角的正切值判断选项D.
【详解】如图，因为，所以为等腰直角三角形，
又，则，所以，
则，
所以该圆锥的体积为正确；
易知为直角三角形，且，又，
则，所以错误；
该圆锥的侧面展开图为一扇形，其弧长为，
扇形半径为，设扇形圆心角为，
所以，所以该圆锥的侧面展开图的圆心角大于正确；
取的中点，连接，则为的中位线，
所以，
所以为二面角的平面角，
易知为直角三角形，所以错误.
故选：.
10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，直线经过的一个焦点和一个顶点，且与交于两点（点在第三象限），则（ ）
A. B. 的周长为8
C. D. 以为直径的圆过点
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据条件求出的值，判定A错误；由椭圆定义可得的周长为8，判定B正确；联立方程组求出，可得，判定C正确；，所以，判定D正确.
【详解】易知直线经过的焦点和顶点，
所以，则2，所以错误；
由椭圆的定义可知，的周长为正确；
由上可知的方程为，
由解得，
则，
所以正确；
由得，
，所以，
则以为直径的圆过点正确.
故选：.
11. 若函数在处取得极值，则（ ）
A.
B. 为定值
C. 当时，有且仅有一个极大值
D. 若有两个极值点，则是的极小值点
【答案】ABC
【解析】
【分析】求导，由题意可知，是方程的一个变号实数根，则，即可判断A；由判断 B；当时，可得，当时，当时，即可判断C；将代入整理得，则方程有不相等的实数根与，分类讨论，结合极值点的定义可判断D.
【详解】的定义域为，则，
，
由题意可知，是方程的一个变号实数根，
则，故A正确；
由得，，故B正确；
当时，因为，
所以函数开口向下，且与轴正半轴只有一个交点，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则有且仅有一个极大值，故C正确；
将代入整理得，
则方程有不相等的实数根与，即，
当时，时，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则是的极大值点，是的极小值点，
当时，时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则是的极大值点，是的极小值点，故D错误，
故选：ABC.
12. 今年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则（ ）
A. 在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为
B. 在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为
C. 甲获得奖品的概率为
D. 若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小
【答案】ACD
【解析】
【分析】设出事件后，结合条件概率与全概率公式逐个计算即可得.
【详解】设，，，分别表示先抽到的小球的颜色分别是红、黄、绿的事件，
设表示再抽到的小球的颜色是红的事件，
在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为：
，故A正确；
在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为：
，故B错误；
由题意可知，，
，由全概率公式可知，甲获得奖品的概率为：
，故C正确；
因为甲获奖时红球取自哪个箱子的颜色与先抽取小球的颜色相同，
则，
，
，
所以甲获得奖品时，甲先抽取绿球机会最小，故D正确.
故选：ACD.
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知向量，向量满足，则__________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】由平方求解.
【详解】解：由，得，
由，得，
则，所以.
故答案为：
14. 已知正三棱台的上､下底面边长分别为和，它的一个侧面的面积为，则该正三棱台的体积为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据正三棱台的性质及题中条件分别求出侧面的高和正三棱台的高，然后利用棱台体积公式即可求解.
【详解】设该正三棱台侧面的高为，由题意可知，，所以，
该正三棱台的上底面的面积为，
下底面的面积为，
设正三棱台的高为，则，
故该正三棱台的体积为.
故答案为：.
15. 已知直线与圆交于两点，则满足“的面积为”的的一个值为__________.
【答案】（或，或）
【解析】
【分析】由的面积为，得到或，进而得到圆心到直线的距离为或求解.
【详解】解：由的面积为，得，
解得，则或，
易知圆心到直线的距离为或，
由点到直线的距离公式可知，，或，
解得或或.
故答案为：1(或，或)
16. 已知函数的部分图象如图所示，且，则不等式在区间上的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的最高点和最低点，结合函数的零点、正弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】由图可知，解得，
由图可知，，
又，所以或，
当时，，
因为，所以当时，显然有，
因此函数先是增函数，显然不符合图象，
当时，
因为，所以当时，显然有，
因此函数先是减函数，符合图象特征，
令，或，因为，
所以，
即，
由
所以有，
因为，
所以令，则有，
而，所以，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是根据函数的单调性确定的值.
四､解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17. 记的内角的对边分别为，已知.
（1）求的值；
（2）若，且的周长为，求边上的高.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，结合正弦、余弦定理，求得，即可求解；
（2）根据题意得到，结合（1）得到，联立方程组求得，再由余弦定的值，利用，即可求解.
【小问1详解】
解：由，可得，所以，
又由正弦定理和余弦定理，可得，
整理得，所以.
【小问2详解】
解：由，且的周长为，可得，
又由（1）可知，，即，所以，
联立方程组，解得，
所以，
则，
所以边上的高为.
18. 记为正项数列的前项和，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由退位相减可得，又可得，继而可知数列为等比数列，则通项可求；
（2）由（1）可得、继而可求，并将其裂项再求和，即可证明不等式.
【小问1详解】
因为，
所以，当时，，
两式相减得，，
化简可得，
所以，即，
又可得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
可得
【小问2详解】
由（1）可知，，
所以，
则，
，
，
，
因为，所以，
则.
19. 为检验预防某种疾病的两种疫苗的免疫效果，随机抽取接种疫苗的志愿者各100名，化验其血液中某项医学指标（该医学指标范围为，统计如下：
个别数据模糊不清，用含字母的代数式表示.
（1）为检验该项医学指标在内的是否需要接种加强针，先从医学指标在的志愿者中，按接种疫苗分层抽取8人，再次抽血化验进行判断.从这8人中随机抽取4人调研医学指标低的原因，记这4人中接种疫苗的人数为，求的分布列与数学期望；
（2）根据（1）化验研判结果，医学认为该项医学指标低于50，产生抗体较弱，需接种加强针，该项医学指标不低于50，产生抗体较强，不需接种加强针.请先完成下面的列联表，若根据小概率的独立性检验，认为接种疫苗与志愿者产生抗体的强弱有关联，求的最大值.
附：，其中.
【答案】（1）分布列见解析，
（2）列联表见解析，2
【解析】
【分析】（1）由抽样调查性质可得抽取接种疫苗人数，计算出的所有可能取值的对应概率可得分布列，由分布列可计算期望；
（2）结合的计算公式计算出对应的范围即可得.
【小问1详解】
从医学指标在的志愿者中，按接种疫苗分层抽取8人中，
接种疫苗有2人，接种疫苗有6人，
由题意可知，可能取值为，
，
的分布列为：
则；
【小问2详解】
列联表如下：
则，
由题意可知，，
整理得，，
解得或，
又，则，
所以，
故的最大值为2.
20. 如图，在直三棱柱中，，点为上一点，且.
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用空间向量的线性运算与数量积运算法则求得为的中点，再利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法求出直线与平面所成角的正弦值，从而求解.
【小问1详解】
设，则，
，
所以，
因为，
所以，
解得，则点为的中点.
连接，设，连接，
因为四边形为矩形，所以为的中点，
在中，中位线，所以，
又平面平面，
所以平面.
.
【小问2详解】
取的中点，连接，则，所以，
由可知，，
易知四边形为平行四边形，
又平面，所以平面，所以.
以为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图，
设，所以，
则，
所以，
设平面一个法向量为，
由得取，则，
设直线与平面所成角为，
则.
故直线与平面所成角的正弦值为.
21. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过三点中的两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）设为坐标原点，的焦点为，过的直线与交于两点，过的直线与交于两点，点都在第二象限，记直线的倾斜角分别为，且.若直线与直线交于点，不同于点的点满足轴，当时，设的面积分别为，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的对称性，分类讨论进行求解即可；
（2）根据直线的斜率公式、一元二次方程根与系数关系，结合三角形面积公式、点到直线距离公式、基本不等式进行求解即可.
【小问1详解】
因为关于轴对称的点为，所以拋物线经过两点中的一点，
由题意可知，抛物线经过，
当抛物线的方程为时，
将点代入的方程得，，解得，
验证可知，抛物线不经过点，不满足题意；
当抛物线的方程为时，
将点代入的方程得，，解得，
验证可知，抛物线经过点，不经过点，满足题意，
故抛物线的方程为.
小问2详解】
由（1）可知，，
设的方程为，设，
由得，
，
因为，所以，
设，
同理可知，.
直线的斜率为，
其方程，
即①
同理可知直线的方程，
即②
由①②解得，，
所以点在直线上，由轴可知，点在直线上，
设，由可知，，
则，所以，
解得，
由上可知，，
原点到直线的距离为，
到直线的距离为，
所以，
则
，
当且仅当，即取得等号，
因为，所以，
由得，，
故的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题的关键是对的表达式进行变形，用基本不等式进行求解.
22. 已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）设的导函数为，若为的两个零点，证明：.
【答案】（1）极大值为.
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先利用导数求得的单调区间，再利用极值定义即可求得函数的极值；
（2）先将不等式转化为，再构造函数，并利用导数证得，进而证得原不等式成立.
【小问1详解】
的定义域为，
，
当时，在上恒成立，
所以在上单调递减，此时无极值；
当时，当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故只存在极大值且为.
【小问2详解】
由为的两个零点得，，
所以，
则，
又
.
由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
若为的两个零点，则，
所以.
要证，需证，
需证，
又，
即证，
因为，则，则，
所以需证，
即证，
令，需证，
设，则，
所以在上单调递增，所以，
则，故.
该项医学指标
接种疫苗人数
10
50
接种疫苗人数
30
40
疫苗
抗体
合计
抗体弱
抗体强
疫苗
疫苗
合计
0.25
0.025
0.005
1.323
5.024
7.879
2
3
4
疫苗
抗体
合计
抗体弱
抗体强
疫苗
100
疫苗
100
合计
60
140
200
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，若，则（ ）
A. 3B. 1C. -1D. -3
【答案】B
【解析】
【分析】由，得到求解.
【详解】解：因为，
所以，
当时，，根据元素的互异性可知，；
当时，，不满足元素的互异性，舍去，
故选：B.
2. 已知复数，则的虚部为（ ）
A. -1B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数除法的运算法则、复数乘方的法则，结合共轭复数和复数虚部的定义进行求解即可.
【详解】因为
所以，所以的虚部为，
故选：C.
3. 二项式的展开式中常数项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二项式通项公式进行求解即可.
【详解】二项式的通项公式为，
令，所以常数项为，
故选：A
4. 已知函数为偶函数，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合偶函数定义与指数幂的运算计算即可得.
【详解】因为为偶函数，所以，
即，
整理得恒成立，
所以，则.
故选：B.
5. 已知为双曲线的左焦点，直线与交于两点，且轴，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意直线过双曲线的左顶点得，再由求出，然后利用点也在直线上得到，从而求解.
【详解】易知直线经过的左顶点，
设，因为轴，所以，解得，或（舍去），
所以点坐标为，则，整理得，
所以，即，解得（舍去），或，
所以的离心率为，故C正确.
故选：C.
6. 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得在区间上恒成立，即在区间上恒成立，设，利用导数求出可得答案.
【详解】在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，设，
则，所以在上单调递增，
则，所以，则的最小值为.
故选：C.
7. 已知，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别将和分别平方相加求出，然后逆用正弦两角差公式并结合倍角公式从而求解.
【详解】由得，，
由得，，
两式相加得，，
则，
所以，故D正确.
故选：D.
8. 在数列中的相邻两项与之间插入一个首项为，公差为的等差数列的前项，记构成的新数列为，若，则前65项的和为（ ）
A. B. -13C. D. -14
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，得到数列中及其后面项的和为，求解.
【详解】解：数列为：，
，
设及其后面项的和为，则，
所以数列是以1为首项，公差为的等差数列.
所以前65项的和为，
故选：A.
二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知S为圆锥的顶点，为该圆锥的底面圆的直径，为底面圆周上一点，，则（ ）
A. 该圆锥的体积为
B.
C. 该圆锥的侧面展开图的圆心角大于
D. 二面角的正切值为
【答案】AC
【解析】
【分析】求得该圆锥的体积判断选项A，求得的长度判断选项B，求得该圆锥的侧面展开图的圆心角判断选项C，求得二面角的正切值判断选项D.
【详解】如图，因为，所以为等腰直角三角形，
又，则，所以，
则，
所以该圆锥的体积为正确；
易知为直角三角形，且，又，
则，所以错误；
该圆锥的侧面展开图为一扇形，其弧长为，
扇形半径为，设扇形圆心角为，
所以，所以该圆锥的侧面展开图的圆心角大于正确；
取的中点，连接，则为的中位线，
所以，
所以为二面角的平面角，
易知为直角三角形，所以错误.
故选：.
10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，直线经过的一个焦点和一个顶点，且与交于两点（点在第三象限），则（ ）
A. B. 的周长为8
C. D. 以为直径的圆过点
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据条件求出的值，判定A错误；由椭圆定义可得的周长为8，判定B正确；联立方程组求出，可得，判定C正确；，所以，判定D正确.
【详解】易知直线经过的焦点和顶点，
所以，则2，所以错误；
由椭圆的定义可知，的周长为正确；
由上可知的方程为，
由解得，
则，
所以正确；
由得，
，所以，
则以为直径的圆过点正确.
故选：.
11. 若函数在处取得极值，则（ ）
A.
B. 为定值
C. 当时，有且仅有一个极大值
D. 若有两个极值点，则是的极小值点
【答案】ABC
【解析】
【分析】求导，由题意可知，是方程的一个变号实数根，则，即可判断A；由判断 B；当时，可得，当时，当时，即可判断C；将代入整理得，则方程有不相等的实数根与，分类讨论，结合极值点的定义可判断D.
【详解】的定义域为，则，
，
由题意可知，是方程的一个变号实数根，
则，故A正确；
由得，，故B正确；
当时，因为，
所以函数开口向下，且与轴正半轴只有一个交点，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则有且仅有一个极大值，故C正确；
将代入整理得，
则方程有不相等的实数根与，即，
当时，时，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则是的极大值点，是的极小值点，
当时，时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则是的极大值点，是的极小值点，故D错误，
故选：ABC.
12. 今年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则（ ）
A. 在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为
B. 在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为
C. 甲获得奖品的概率为
D. 若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小
【答案】ACD
【解析】
【分析】设出事件后，结合条件概率与全概率公式逐个计算即可得.
【详解】设，，，分别表示先抽到的小球的颜色分别是红、黄、绿的事件，
设表示再抽到的小球的颜色是红的事件，
在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为：
，故A正确；
在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为：
，故B错误；
由题意可知，，
，由全概率公式可知，甲获得奖品的概率为：
，故C正确；
因为甲获奖时红球取自哪个箱子的颜色与先抽取小球的颜色相同，
则，
，
，
所以甲获得奖品时，甲先抽取绿球机会最小，故D正确.
故选：ACD.
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知向量，向量满足，则__________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】由平方求解.
【详解】解：由，得，
由，得，
则，所以.
故答案为：
14. 已知正三棱台的上､下底面边长分别为和，它的一个侧面的面积为，则该正三棱台的体积为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据正三棱台的性质及题中条件分别求出侧面的高和正三棱台的高，然后利用棱台体积公式即可求解.
【详解】设该正三棱台侧面的高为，由题意可知，，所以，
该正三棱台的上底面的面积为，
下底面的面积为，
设正三棱台的高为，则，
故该正三棱台的体积为.
故答案为：.
15. 已知直线与圆交于两点，则满足“的面积为”的的一个值为__________.
【答案】（或，或）
【解析】
【分析】由的面积为，得到或，进而得到圆心到直线的距离为或求解.
【详解】解：由的面积为，得，
解得，则或，
易知圆心到直线的距离为或，
由点到直线的距离公式可知，，或，
解得或或.
故答案为：1(或，或)
16. 已知函数的部分图象如图所示，且，则不等式在区间上的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的最高点和最低点，结合函数的零点、正弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】由图可知，解得，
由图可知，，
又，所以或，
当时，，
因为，所以当时，显然有，
因此函数先是增函数，显然不符合图象，
当时，
因为，所以当时，显然有，
因此函数先是减函数，符合图象特征，
令，或，因为，
所以，
即，
由
所以有，
因为，
所以令，则有，
而，所以，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是根据函数的单调性确定的值.
四､解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17. 记的内角的对边分别为，已知.
（1）求的值；
（2）若，且的周长为，求边上的高.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，结合正弦、余弦定理，求得，即可求解；
（2）根据题意得到，结合（1）得到，联立方程组求得，再由余弦定的值，利用，即可求解.
【小问1详解】
解：由，可得，所以，
又由正弦定理和余弦定理，可得，
整理得，所以.
【小问2详解】
解：由，且的周长为，可得，
又由（1）可知，，即，所以，
联立方程组，解得，
所以，
则，
所以边上的高为.
18. 记为正项数列的前项和，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由退位相减可得，又可得，继而可知数列为等比数列，则通项可求；
（2）由（1）可得、继而可求，并将其裂项再求和，即可证明不等式.
【小问1详解】
因为，
所以，当时，，
两式相减得，，
化简可得，
所以，即，
又可得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
可得
【小问2详解】
由（1）可知，，
所以，
则，
，
，
，
因为，所以，
则.
19. 为检验预防某种疾病的两种疫苗的免疫效果，随机抽取接种疫苗的志愿者各100名，化验其血液中某项医学指标（该医学指标范围为，统计如下：
个别数据模糊不清，用含字母的代数式表示.
（1）为检验该项医学指标在内的是否需要接种加强针，先从医学指标在的志愿者中，按接种疫苗分层抽取8人，再次抽血化验进行判断.从这8人中随机抽取4人调研医学指标低的原因，记这4人中接种疫苗的人数为，求的分布列与数学期望；
（2）根据（1）化验研判结果，医学认为该项医学指标低于50，产生抗体较弱，需接种加强针，该项医学指标不低于50，产生抗体较强，不需接种加强针.请先完成下面的列联表，若根据小概率的独立性检验，认为接种疫苗与志愿者产生抗体的强弱有关联，求的最大值.
附：，其中.
【答案】（1）分布列见解析，
（2）列联表见解析，2
【解析】
【分析】（1）由抽样调查性质可得抽取接种疫苗人数，计算出的所有可能取值的对应概率可得分布列，由分布列可计算期望；
（2）结合的计算公式计算出对应的范围即可得.
【小问1详解】
从医学指标在的志愿者中，按接种疫苗分层抽取8人中，
接种疫苗有2人，接种疫苗有6人，
由题意可知，可能取值为，
，
的分布列为：
则；
【小问2详解】
列联表如下：
则，
由题意可知，，
整理得，，
解得或，
又，则，
所以，
故的最大值为2.
20. 如图，在直三棱柱中，，点为上一点，且.
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用空间向量的线性运算与数量积运算法则求得为的中点，再利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法求出直线与平面所成角的正弦值，从而求解.
【小问1详解】
设，则，
，
所以，
因为，
所以，
解得，则点为的中点.
连接，设，连接，
因为四边形为矩形，所以为的中点，
在中，中位线，所以，
又平面平面，
所以平面.
.
【小问2详解】
取的中点，连接，则，所以，
由可知，，
易知四边形为平行四边形，
又平面，所以平面，所以.
以为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图，
设，所以，
则，
所以，
设平面一个法向量为，
由得取，则，
设直线与平面所成角为，
则.
故直线与平面所成角的正弦值为.
21. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过三点中的两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）设为坐标原点，的焦点为，过的直线与交于两点，过的直线与交于两点，点都在第二象限，记直线的倾斜角分别为，且.若直线与直线交于点，不同于点的点满足轴，当时，设的面积分别为，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的对称性，分类讨论进行求解即可；
（2）根据直线的斜率公式、一元二次方程根与系数关系，结合三角形面积公式、点到直线距离公式、基本不等式进行求解即可.
【小问1详解】
因为关于轴对称的点为，所以拋物线经过两点中的一点，
由题意可知，抛物线经过，
当抛物线的方程为时，
将点代入的方程得，，解得，
验证可知，抛物线不经过点，不满足题意；
当抛物线的方程为时，
将点代入的方程得，，解得，
验证可知，抛物线经过点，不经过点，满足题意，
故抛物线的方程为.
小问2详解】
由（1）可知，，
设的方程为，设，
由得，
，
因为，所以，
设，
同理可知，.
直线的斜率为，
其方程，
即①
同理可知直线的方程，
即②
由①②解得，，
所以点在直线上，由轴可知，点在直线上，
设，由可知，，
则，所以，
解得，
由上可知，，
原点到直线的距离为，
到直线的距离为，
所以，
则
，
当且仅当，即取得等号，
因为，所以，
由得，，
故的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题的关键是对的表达式进行变形，用基本不等式进行求解.
22. 已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）设的导函数为，若为的两个零点，证明：.
【答案】（1）极大值为.
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先利用导数求得的单调区间，再利用极值定义即可求得函数的极值；
（2）先将不等式转化为，再构造函数，并利用导数证得，进而证得原不等式成立.
【小问1详解】
的定义域为，
，
当时，在上恒成立，
所以在上单调递减，此时无极值；
当时，当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故只存在极大值且为.
【小问2详解】
由为的两个零点得，，
所以，
则，
又
.
由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
若为的两个零点，则，
所以.
要证，需证，
需证，
又，
即证，
因为，则，则，
所以需证，
即证，
令，需证，
设，则，
所以在上单调递增，所以，
则，故.
该项医学指标
接种疫苗人数
10
50
接种疫苗人数
30
40
疫苗
抗体
合计
抗体弱
抗体强
疫苗
疫苗
合计
0.25
0.025
0.005
1.323
5.024
7.879
2
3
4
疫苗
抗体
合计
抗体弱
抗体强
疫苗
100
疫苗
100
合计
60
140
200
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