辽宁省抚顺市六校协作体2023-2024学年高三上学期期末数学试题（Word版附解析）

这是一份辽宁省抚顺市六校协作体2023-2024学年高三上学期期末数学试题（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知，是方程的两个根，则，已知双曲线的左、右焦点分别为，，如图，点在以为直径的半圆上运动等内容，欢迎下载使用。

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容（概率与统计除外）.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B.C.D.
2.若复数满足，则（ ）
A.B.C.D.
3.已知，，，则（ ）
A.B.C.D.
4.已知为等比数列，且，则（ ）
A.216B.108C.72D.36
5.已知曲线在点处的切线与圆相切，则的半径为（ ）
A.B.1C.D.
6.已知，是方程的两个根，则（ ）
A.B.C.2D.
7.已知双曲线的左、右焦点分别为，.过作其中一条渐近线的垂线，垂足为，则（ ）
A.B.C.2D.4
8.已知函数，若A，B是锐角的两个内角，则下列结论一定正确的是（ ）
A.B.
C.D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.直线过抛物线的焦点，且与交于M，N两点，则（ ）
A.B.
C.的最小值为6D.的最小值为12
10.如图，点在以为直径的半圆上运动（不含A，B），，，记，，的弧度数为，则下列说法正确的是（ ）
A.是的函数B.是的函数C.是的函数D.是的函数
11.如图，在三棱锥中，平面，，且，，过点的平面分别与棱，交于点M，N，则下列说法正确的是（ ）
A.三棱锥外接球的表面积为
B.若平面，则
C.若M，N分别为，的中点，则点到平面的距离为
D.周长的最小值为3
12.已知，均是由自然数构成的数列，且，，，则（ ）
A.B.
C.D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，，则__________.
14.先将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，写出图象的一条对称轴的方程：__________.
15.降雨量是指降落在水平地面上单位面积的水层深度（单位：mm）.气象学中，把24小时内的降雨量叫作日降雨量.等级划分如下表：
某数学建模小组为了测量当地某日的降雨量，制作了一个圆台形水桶，如图所示，若在一次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水恰好是桶深的，则当日的降雨量等级为__________.
16.已知，是函数的两个零点，则__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
18.（12分）
已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
19.（12分）
在正项等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，证明：.
20.（12分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，，.
（1）证明：.
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
21.（12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作轴的垂线，并与交于A，B两点，过点作一条斜率存在且不为0的直线与交于M，N两点，，的周长为8.
（1）求的方程.
（2）记，分别为的左、右顶点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点Q，和的面积分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
22.（12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恰好有两个零点，，且恒成立，证明：.
高三数学考试参考答案
1.B
【解析】本题考查集合的交集运算，考查数学运算的核心素养.
因为，，所以.
2.A
【解析】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养.
，则，.
3.C
【解析】本题考查指数、对数、三角函数值的大小比较，考查逻辑推理的核心素养.
因为，，，所以.
4.A
【解析】本题考查等比数列的概念，考查数学运算的核心素养.
设的公比为，则，.
5.C
【解析】本题考查曲线的切线与圆的位置关系，考查数学运算的核心素养.
由，得，则曲线在点处的切线方程为.因为与圆相切，所以的半径.
6.D
【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养.
因为，是方程的两个根，所以，，
所以.
7.B
【解析】本题考查双曲线的性质，考查直观想象的核心素养.
由，，得，.
由，
得，解得.
8.D
【解析】本题考查导数的应用，考查逻辑推理的核心素养.
因为，所以在上恒成立，则在上单调递减.
因为A，B是锐角的两个内角，所以，则，则，故，同理可得.与，与的大小关系均不确定，所以与，与的大小关系也均不确定.
9.BD
【解析】本题考查抛物线的性质，考查数学运算的核心素养.
直线与轴的交点坐标为，则，即，由抛物线的性质可知当时，取得最小值，且最小值为.故选BD.
10.AD
【解析】本题考查函数的概念，考查数学抽象的核心素养.
由函数的概念可知不是的函数，是的函数，不是的函数，是的函数.
11.BCD
【解析】本题考查立体几何初步，考查直观想象，数学运算的核心素养.
因为平面，，且，，
所以三棱锥外接球的半径，表面积，A不正确.
若平面，则，.又，所以.
又，所以，，解得，B正确.
因为M，N分别为，的中点，所以，则平面，平面，
则点到平面的距离等于点到平面的距离.
设点到平面的距离为，易知，，，
由，得，解得，C正确.
如图，将，翻折至平面内，连接，易知即周长的最小值，
，周长的最小值为3，D正确.
12.ACD
【解析】本题考查数列的性质，考查逻辑推理，数学运算的核心素养.
由，得，，
得，即，记表示不大于的最大整数，
因为，所以，故，则，A正确.
若，则，，则，此时，B不正确.
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，.
故，C正确.
，则，D正确.
13.
【解析】本题考查平面向量的坐标运算，考查数学运算的核心素养.
因为，，所以，.
14.（答案不唯一，满足，即可）
【解析】本题考查三角函数的图象与性质，考查逻辑推理的核心素养.
由题可知，令，，解得，.
15.大雨
【解析】本题考查圆台的体积，考查数学运算，直观想象的核心素养.
由题可知水桶的上底面半径，下底面半径，桶深，
水面半径，水深，
则水桶中水的体积，
则日降雨量为，
故当日的降雨量等级为大雨.
16.
【解析】本题考查函数的零点与性质，考查逻辑推理的核心素养.
显然，当时，令，得.
令，，则的零点转化为与图象的交点.
因为，所以的图象关于点对称.
易知的图象也关于点对称，所以，则.
17.解：（1）因为，所以，
又，所以.
由为锐角三角形，得.
（2）由（1）及余弦定理知.
因为，，所以，
所以的面积.
评分细则：
【1】第（1）问学生若得出，得1分.
【2】第（1）问未说明，直接得出，扣1分.
18.解：（1）由，得.
令，得.2分
当时，；当时，.
的单调递增区间为和，单调递减区间为，
故的极大值为，的极小值为.
（2）在上恒成立等价于在上恒成立.
令，则.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
，故的取值范围为.
评分细则：
【1】第（1）问学生若未注明是极大（小）值，扣1分；
【2】第（2）问的取值范围未用区间表示，不扣分；
【3】第（2）问也可以直接对求导，对参数进行分类讨论求解，按步骤给分.
19.（1）解：设的公差为d，则
解得或（舍去），
故.
（2）证明：由（1）可知，
则.
评分细则：
【1】第（1）问学生若未舍去这种情况，扣1分；
【2】第（2）问学生如果不是从第一项进行放缩的，证得结果按步骤给分.
20.（1）证明：连接，与交于点，连接.
因为四边形是正方形，所以.
因为，为的中点，所以.
因为，平面，平面，所以平面.
又平，所以.
（2）解：过作的垂线，垂足为.易知平面.
以为坐标原点，过且平行于，的直线分别为轴，轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
由，得，因为，，
所以，则，，，
则，，，.
由，得，，.
设平面的法向量为，由得
令，得.
由图可知是平面的一个法向量.
，
故平面与平面夹角的余弦值为.
评分细则：
第（2）问中的坐标系不唯一，按步骤给分.
21.解：（1）由题可知
解得，，故的方程为.
（2）为定值，定值为.理由如下：
依题可设直线的方程为，，，
联立方程组整理得，
则，.
易知，，直线的方程为，
则直线的方程为，令，得，
同理可得.
.
故为定值，且该定值为.
评分细则：
【1】第（1）问学生也可由得出C的方程；
【2】第（2）问学生若设直线的方程为，按步骤给分.
22.（1）解：因为，所以.
若，则在上恒成立；
若，则当时，，
当时，.
综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）证明：由，得，
令，则.
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
且当时，，
当时，，则，，.
由，，得.
令，，则，，则，
即，则恒成立等价于恒成立.
因为，
所以恒成立等价于恒成立.
令，则不等式转化为恒成立.
令，，
则.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
因为，所以当时，，则，
当时，，则，则在上单调递增，在上单调递减.
故，从而.
评分细则：
【1】第（1）问学生单调区间若未写成区间的形式，扣1分；
【2】第（2）问学生用其他的方法证明，按步骤给分.日降雨量/mm
等级
小雨
中雨
大雨
暴雨