2023-2024学年天津市河北区高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市河北区高二（上）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线 3x−3y−2m=0(m∈R)的倾斜角为( )
A. 120°B. 60°C. 30°D. 150°
2.椭圆x236+y29=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为5，则点P到另一个焦点的距离为( )
A. 7B. 5C. 4D. 1
3.双曲线2x2−y2=8的实轴长是( )
A. 2B. 2 2C. 4D. 4 2
4.抛物线y=4x2的准线方程为( )
A. x=−1B. y=−1C. x=−116D. y=−116
5.已知数列{an}为等比数列，若a4=2，a8=32，则a6=( )
A. ±8B. 8C. 16D. ±16
6.已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a11=3，a2=39，则S11=( )
A. 160B. 253C. 180D. 190
7.以下命题正确的是( )
A. 直线l的方向向量为a=(1,−1,2)，直线m的方向向量为b=(1,2,1)，则l⊥m
B. 直线l的方向向量为a=(0,1,−1)，平面α的法向量为n=(1,−1,−1)，则l⊥α
C. 两个不同平面α，β的法向量分别为n1=(2,−1,0)，n2=(−4,2,0)，则α/​/β
D. 平面α经过三点A(1,0,−1)，B(0,1,0)，C(−1,2,0)，向量b=(1,u,t)是平面α的一个法向量，则t=1
8.数列{an}满足an+1=1−1an(n∈N*)，且a1=2，则a2024的值为( )
A. 2B. 1C. 12D. −1
9.下列通项公式中，对应数列是递增数列的是( )
A. an=1−nB. an=14n
C. an=2n2−5n+1D. an=n+3,n≤2,2n−1,n>2
10.法国数学家加斯帕⋅蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的蒙日圆为C：x2+y2=3b2，则椭圆Γ的离心率为( )
A. 13B. 12C. 32D. 22
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点是(0,2)，则它的标准方程为______ ．
12.已知a=5+2 6，c=5−2 6.若a，b，c三个数成等差数列，则b= ______ ；若a，b，c三个数成等比数列，则b= ______ ．
13.圆x2+y2-4x=0在点P(1, 3)处的切线方程为______．
14.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an−1(n∈N*)，那么数列{an}的通项公式为an=______．
15.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与抛物线y2=4x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P.若|PF|=52，则点P的坐标为______ ；双曲线的渐近线方程为______ ．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
已知圆M：x2−2x+y2+4y−10=0．
(1)求圆M的标准方程，并写出圆M的圆心坐标和半径；
(2)若直线x+3y+C=0与圆M交于A，B两点，且|AB|=2 5，求C的值．
17.(本小题10分)
正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，AA1=8，E为CC1中点，O1为下底面正方形的中心.求：
(1)异面直线AB与EO1所成角的余弦值；
(2)直线AO1与平面ABE所成角；
(3)点O1到平面ABE的距离．
18.(本小题10分)
已知数列{an}是公比大于0的等比数列，数列{bn}是等差数列，且a1=b1=2，2a2+a3=a4，b3=a1+a2+a3．
(Ⅰ)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(Ⅱ)设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和Sn；
(Ⅲ)设dn=anbn，求数列{dn}的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，短轴长为2.过点F且不平行于坐标轴的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值；
(Ⅲ)延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直l的斜率及四边形OAPB的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：直线 3x−3y−2m=0(m∈R)的斜率为 33，
故倾斜角为30°，
故选：C．
根据斜率和倾斜角的关系，求解即可．
本题考查了直线斜率的求法，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：椭圆x236+y29=1，所以a=6，2a=12，由椭圆的定义可知：
椭圆上一点P到椭圆的一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为：7．
故选：A．
直接利用椭圆的定义求解即可．
本题考查椭圆的基本性质，定义的应用，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意，双曲线方程为：2x2−y2=8，则其标准方程为：x24−y28=1，
其中a= 4=2，
则其实轴长2a=4；
故选：C．
根据题意，将双曲线的方程变形可得标准方程，分析可得其a的值，由双曲线实轴的定义计算可得答案．
本题考查双曲线的几何性质，注意要现将其方程变形为标准方程．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查抛物线的定义和性质，考查学生的计算能力，比较基础．
由抛物线的准线方程的定义可求得．
【解答】
解：因为抛物线y=4x2，可化为：x2=14y，
则抛物线的准线方程为y=−116．
故选：D．
5.【答案】B
【解析】解：因为数列{an}为等比数列，若a4=2，a8=32，
则q4=16，即q2=4，
故a6=a4⋅q2=2×4=8．
故选：B．
由已知结合等比数列的性质即可求解．
本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：设数列{an}的首项为a1，公差为d，
因为a11=3，a2=39，所以a1+d=39a1+10d=3，
解得a1=43，d=−4，
所以S11=11(a1+a11)2=11×462=253．
故选：B．
根据条件，求出等差数列的首项，再利用等差数列的前n项和公式即可求出结果．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：直线l的方向向量为a=(1,−1,2)，直线m的方向向量b=(1,2,1)，
因为a⋅b=(1,−1,2)⋅(1,2,1)=1，则l与m不垂直，故A错误；
直线l的方向向量a=(0,1,−1)，平面α的法向量n=(1,−1,−1)，
因为a⋅n=(0,1,−1)⋅(1,−1,−1)=0，则l/​/α或l⊂α，故B错误；
两个不同平面α，β的法向量分别为n1=(2,−1,0)，n2=(−4,2,0)，
因为n1=−12n2=(−4,2,0)，则α/​/β，故C正确；
平面α经过三点A(1,0,−1)，B(0,1,0)，C(−1,2,0)，
向量n=(1,u,t)是平面α的法向量，
可得n⋅AB=−1+u+t=0n⋅BC=−1+u=0，则t=0，故D错误．
故选：C．
利用空间向量的数量积以及向量共线判断选项的正误即可．
本题考查空间向量的数量积以及空间向量的共线的判断与应用，属基础题．
8.【答案】C
【解析】解：∵数列{an}满足an+1=1−1an(n∈N*)，且a1=2，
∴a2=1−1a1=1−12=12，
a3=1−1a2=1−112=−1，
a4=1−1a3=1−1−1=2，
a5=1−1a4=1−12=12，
……，
∴数列{an}是周期为3的周期数列，
∵2024=674×3+2，
∴a2024=a2=12．
故选：C．
根据数列递推式，可推得数列{an}是周期为3的周期数列，从而得a2024=a2，即可求解．
本题考查数列递推式，考查数列的周期性，属基础题．
9.【答案】C
【解析】解：对于A，B选项对应数列是递减数列；
对于C选项，∵an+1−an=4n−3>0，∴数列{an}是递增数列；
对于D选项，∵a2>a3，∴数列{an}不是递增数列．
故选：C．
根据数列单调性的定义逐项判断即可．
本题考查数列的单调性，化归转化思想，属基础题．
10.【答案】D
【解析】解：直线x=a，y=b与椭圆Γ都相切，且这两条直线垂直，
因此其交点(a,b)在圆C：x2+y2=3b2上，
∴a2+b2=3b2，即2b2=a2，
∴椭圆的离心率e=ca= c2a2= a2−b2a2= 1−b2a2= 1−12= 22．
故选：D．
由题意可知，点(a,b)在圆C：x2+y2=3b2上，代入后结合隐含条件求解椭圆的离心率．
本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】x2=8y
【解析】解：由焦点坐标(0,2)可知，抛物线的的焦点在y轴上，
设x2=2py，则焦点坐标为(0,p2)，
由题意可得p2=2，可得p=4，
所以抛物线的方程为x2=8y．
故答案为：x2=8y．
由抛物线的焦点坐标设抛物线的标准方程，求出焦点坐标，由题意可得p的值，即可求出抛物线的方程．
本题考查抛物线的标准方程的求法，属于基础题．
12.【答案】5 ±1
【解析】解：若a，b，c构成等差数列，则2b=a+c=5+2 6+5−2 6=10，解得b=5；
若a，b，c构成等比数列，则b2=ac=(5+2 6)(5−2 6)=1，解得b=±1．
故答案为：5；±1．
根据a，b，c构成等差数列可得2b=a+c；a，b，c构成等比数列可得b2=ac，从而即可求解．
本题考查等差中项与等比中项的运用，考查学生基本的数学运算能力，属于基础题．
13.【答案】x− 3y+2=0
【解析】【分析】
本题是基础题，考查圆的切线方程的求法，求出切线的斜率是解题的关键，考查计算能力．
求出圆的圆心坐标，求出切点与圆心连线的斜率，然后求出切线的斜率，解出切线方程．
【解答】
解：圆x2+y2−4x=0的圆心坐标是(2,0)，
所以切点与圆心连线的斜率： 3−01−2=− 3，
所以切线的斜率为： 33，
切线方程为：y− 3= 33(x−1)，
即x− 3y+2=0．
故答案为：x− 3y+2=0．
14.【答案】2n−1
【解析】解：∵Sn=2an−1，S1=2a1−1即a1=1
当n≥2时，Sn−1=2an−1−1
当n≥2时，两式子相减可得，Sn−Sn−1=2an−2an−1
即an=2an−2an−1
∴an=2an−1
∴数列{an}以1为首项，2为公比的等比数列
∴an=2n−1
故答案为：2n−1
由Sn=2an−1可得当n≥2时，Sn−1=2an−1−1，两式相减可得，Sn−Sn−1=2an−2an−1
an=2an−1，根据等比数列的通项公式可求
本题主要考查了利用数列的递推公式an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2求解数列的通项公式，解决此类问题需要主要对n=1的情况检验，这也是考上容易漏洞的地方．
15.【答案】(32,± 6) 3x±y=0
【解析】解：抛物线y2=4x的焦点F(1,0)，
由题意可得a2+b2=c2=1，
设P(y024,y0)，可得|PF|=52= (y024−1)2+y02，
可得y024+1=52，可得y02=6，
即P(32,± 6)，
而P在双曲线上，所以94a2−6b2=1，又a2+b2=1，
解得a2=9，b2=−8(舍)，或a2=14，b2=34，
所以双曲线的方程为：x214−y234=1，
所以渐近线的方程为x12=±y 32，即 3x±y=0．
故答案为：(32,± 6)； 3x±y=0．
求出抛物线的焦点坐标，由题意可得a，b的关系，设P的坐标，由|PF|的值，可得y02的值，即求出P的坐标，代入双曲线的方程，可得a，b的关系，两式联立，可得双曲线的方程，再求出渐近线的方程．
本题考查抛物线的性质的应用及双曲线的方程的求法，渐近线方程的求法，属于基础题．
16.【答案】解：(1)由x2−2x+y2+4y−10=0，得x2−2x+1+y2+4y+4=15，
则圆M的标准方程为(x−1)2+(y+2)2=15，
圆M的圆心坐标M(1,−2)，半径为 15；
(2)由|AB|=2 5，得圆心M到直线x+3y+C=0的距离为 15−(|AB|2)2= 10，
则圆心M到直线x+3y+C=0的距离|1−6+C| 12+32= 10，得C=15或−5．
【解析】(1)配方得到圆的标准方程，得到圆心坐标和半径；
(2)由垂径定理得到圆心到直线距离，从而根据点到直线距离公式得到方程，求出答案．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
17.【答案】解：(1)以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D1−xyz，
A(4,0,8)，B(4,4,8)，E(0,4,4)，O1(2,2,0)，
AB=(0,4,0)，EO1=(2,−2,−4)，
则cs=AB⋅EO1|AB||EO1|=−84× 24=− 66，
即异面直线AB与EO1所成角的余弦值为 66；
(2)AO1=(−2,2,−8)，AB=(0,4,0)，AE=(−4,4,−4)，
设平面ABE的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AB=n⋅AC=0，即4y=−4x+4y−4z=0，
可取n=(1,0,−1)，
cs=n⋅AO1|n||AO1|=−2+0+86 2× 2=12，
即=π3，则直线AO1与平面ABE所成角为π6；
(3)O1到平面ABE的距离为d=|AO1⋅n|n||=6 2=3 2．
【解析】(1)以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D1−xyz，求得AB，EO1，由向量的夹角公式计算可得所求值；
(2)求得平面ABE的法向量，由向量的夹角公式计算可得所求值；
(3)由向量的投影计算可得所求值．
本题考查异面直线市场价、线面角和点到平面的距离，考查转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)因为数列{an}是公比大于0的等比数列，数列{bn}是等差数列，且a1=b1=2，2a2+a3=a4，b3=a1+a2+a3，
所以4q+2q2=2q32+2d=2+2q+2q2q>0，解得q=2，d=6，
所以an=2×2n−1=2n，bn=2+6(n−1)=6n−4；
(Ⅱ)因为cn=an+bn=2n+6n−4，
Sn=a1+a2+…+an+(b1+b2+…+bn)
=2+22+23+…+2n+(2+8+…+6n−4)
=2(1−2n)1−2+(2+6n−4)n2=2n+1+n(3n−1)−2；
(Ⅲ)设dn=anbn=(6n−4)⋅2n，
则Tn=2×2+8×22+…+(6n−4)⋅2n，
所以2Tn=2×22+8×23+…+(6n−10)⋅2n+(6n−4)⋅2n+1，
两式相减得，−Tn=4+6(22+23+…+2n)−(6n−4)⋅2n+1
=4+6×4(1−2n−1)1−2−(6n−4)⋅2n+1=(10−6n)⋅2n+1−20，
故Tn=(6n−10)⋅2n+1+20．
【解析】(Ⅰ)结合等差与等比数列的通项公式即可求解；
(Ⅱ)利用分组求和，结合等差与等比数列的求和公式即可求解；
(Ⅲ)结合错位相减求和方法即可求解．
本题主要考查了等差与等比数列的通项公式及求和公式的应用，还考查了分组求和及错位相减求和方法的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)因为椭圆C的右焦点为F(1,0)，短轴长为2，
所以c=1，2b=2，
又a2=b2+c2，
解得a= 2，
则椭圆C的方程为x22+y2=1；
(Ⅱ)证明：不妨设直线l的方程为y=k(x−1)(k≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=k(x−1)x22+y2=1，整理可得(2k2+1)x2−4k2x+2k2−2=0，
由韦达定理得x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2−21+2k2，
因为M为线段AB的中点，
所以xM=x1+x22=2k22k2+1，
此时yM=k(xM−1)=−k2k2+1，
则kOM=yMxM=−12k，
因为kOM⋅kl=−12k×k=−12，
即证得直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值−12；
(Ⅲ)若四边形OAPB为平行四边形，
此时OA+OB=OP，
所以xP=x1+x2=4k22k2+1，yP=y1+y2=k(x1+x2)−2k=−2k2k2+1，
因为点P在椭圆上，
所以(4k22k2+1)2+2×(−2k2k2+1)2=2，
解得k=± 22，
故当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的斜率为k=± 22．
即直线l的方程为y=± 22(x−1)，即x± 2y−1=0，
则O到直线l的距离d=1 3，
由(Ⅱ)可得x1+x2=4×121+2×12=1，x1x2=2×12−21+2×12=−12，
所以|AB|= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1x2= 1+12⋅ 1−4×(−12)=3 22，
所以S△OAB=12×|AB|×d=12×3 22×1 3= 64，
所以S四边形OAPB=2S△OAB=2× 64= 62．
【解析】(Ⅰ)由题可知，c=1，2b=2，再结合a2=b2+c2，解出a值，可得椭圆的方程；
(Ⅱ)设直线l的方程为y=k(x−1)(k≠0)，联立直线l的方程和椭圆的方程，得韦达定理；利用中点坐标公式以及斜率公式得直线OM的斜率，进而得解；
(Ⅲ)若四边形OAPB为平行四边形，则OA+OB=OP，利用平面向量的线性坐标运算可以用k表示点P的坐标，再将其代入椭圆方程即可得到关于k的方程，解之即可得解，即求出直线l的方程，求出原点O到直线l的距离d及弦长|AB|的值，可得△OAB的面积，进而可得平行四边形OAPB的面积．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．