2023-2024学年云南省大理州高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年云南省大理州高二（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A={1,a}，B={1,2}，若A=B，则实数a的值为( )
A. 1B. 2C. 0D. −1
2.已知复数z=−i，则z的虚部为( )
A. 1B. iC. −1D. −i
3.已知在△ABC中，点D在边BC上，且BD=5DC，则AD=( )
A. 16AB+56ACB. 16AC+56ABC. 15AB+45ACD. 45AB+15AC
4.已知函数f(x)=x2−2mx+m在区间(−∞,3]上单调递减，则实数m的取值范围是( )
A. [−3,+∞)B. [3,+∞)C. (−∞,32]D. (−∞,3]
5.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且椭圆C过点T(1,32)，点F为椭圆C的左焦点，则点F的坐标为( )
A. (−2,0)B. (2,0)C. (1,0)D. (−1,0)
6.下表是某班10个学生的一次数学测试成绩：
这10名学生此次数学测试平均成绩为135，则m=( )
A. 147B. 140C. 135D. 134
7.已知直线l：(2+m)x+(4m+1)y−3−m=0(m∈R)，圆O：x2+y2=4，则直线l与圆O的位置关系为( )
A. 无法确定B. 相离C. 相切D. 相交
8.如图，已知在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=2，BC=7，AD=CD=4，则AC=( )
A. 6 105
B. 105
C. 6 305
D. 305
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列是随机事件的是( )
A. 小明上学路上通过的5个路口都碰到绿灯B. 地球每天都在自转
C. 太阳从西边升起D. 明天会下雨
10.已知x>0，y>0且x+y=1，若1x+1y≥4a恒成立，则实数a可取( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
11.已知函数g(x)=f(2x)+f(x)，( )
A. 若函数f(x)的定义域为[1,2]，则函数g(x)的定义域为[2,4]
B. 若函数f(x)是偶函数，则函数g(x)是偶函数
C. 若函数f(x)是周期函数，则函数g(x)是周期函数
D. 若函数f(x)在定义域内单调递增，则函数g(x)在定义域内单调递增
12.在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”.已知棱台ABCD−A′B′C′D′是一个侧棱相等、高为2的“刍童”，其中AB=2A′B′=6，BC=2B′C′=8，则( )
A. 该“刍童”的表面积为90+18 2
B. 该“刍童”中BD⊥平面ACC′A′
C. 该“刍童”外接球的球心到平面ABCD的距离为5916
D. 该“刍童”侧棱A′A与平面ABCD所成角的正弦值为4 4141
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=(1,1)，b=(2,3)，则2a+b= ______ ．
14.在一个圆柱型的杯中放入一个球，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则该圆柱的体积与该球的体积之比为______ ．
15.如果函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)的最小正周期为3π2，则ω的值为______ ．
16.已知抛物线y2=4x的焦点为F，A(x1,y1)，B(x2,y2)是抛物线上两点，若|AB|=8，则AB的中点到y轴距离的最小值为______ ．
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图，在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC，CC1的中点．
(1)证明：AD1/​/PQ；
(2)求三棱锥A−B1QP的体积．
18.(本小题12分)
在等腰△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=5，csA=−23．
(1)求sinB；
(2)求三角形ABC的面积．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax|x|+1(a≠0)．
(1)证明：函数f(x)为奇函数；
(2)当a>0时，求f(x)的值域．
20.(本小题12分)
已知M(x0,y0)是双曲线C：x2a2−y2=1上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若||MF1|−|MF2||=2 3．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)当MF1⋅MF20且x+y=1，若1x+1y≥4a恒成立，则4a≤(1x+1y)min，
而1x+1y=(1x+1y)(x+y)=2+yx+xy≥2+2 xy⋅yx=4，当且仅当xy=yx，即x=y=12时取等号，
所以1x+1y的最小值为4，
所以4a≤4，即a≤1．
故选：AB．
由题意可得4a≤(1x+1y)min，由“1”的活用及基本不等式可得(1x+1y)min，进而求出a的范围，选出答案．
本题考查“1”的活用及基本不等式的性质的应用，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：A选项，由题意得1≤x≤21≤2x≤2，解得x=1，故定义域为{1}，A错误；
B选项，函数f(x)是偶函数，故f(x)的定义域关于原点对称，且f(−x)=f(x)，
则g(x)的定义域关于原点对称，且g(−x)=f(−2x)+f(−x)=f(2x)+f(x)=g(x)，
故g(x)为偶函数，B正确；
C选项，f(x)的周期为T≠0，故f(x+T)=f(x)，则g(x+T)=f(2x+2T)+f(x+T)=f(2x)+f(x)=g(x)，
故g(x)为偶函数，C正确；
D选项，设函数f(x)的定义域为D，则f(2x)的定义域E⊆D，即g(x)的定义域为E⊆D，
由于f(x)在定义域内单调递增，故f(2x)在E上单调递增，由于增函数加上增函数仍为增函数，则函数g(x)在定义域内单调递增， D正确．
故选：BCD．
A选项，结合函数定义域的求解即可判断；B选项，由函数奇偶性定义进行判断；C选项，设出f(x)的周期为T，推出g(x)的一个周期即可；D选项，根据增函数加上增函数仍为增函数得到 D正确．
本题主要考查了函数的基本概念的应用，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：设上下两底面的中心分别为N，M，A′B′的中点为S，C′B′的中点为G，
由题意NM⊥面ABCD，
设P，Q分别为AB，BC的中点，则MP⊥MQ，
而PM，QM⊂面ABCD，所以NM⊥PM，NM⊥QM，
所以MP，MQ，MN两两垂直，
所以以点M为原点，MP，MQ，MN所在直线分别为x，y，z轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
对于A，因为AB=2A′B′=6，BC=2B′C′=8，过点S作SE⊥MP于点E，
则SE=MN=2，PE=PM−ME=12BC−12B′C′=4−2=2，所以SP= 4+4=2 2，
同理过点G作GF⊥MQ于点F，则GF=MN=2，
QF=QM−FM=12BA−12B′A′=3−32=32，所以GQ= 94+4=52，
所以侧面面积之和为
2×[12×(3+6)×2 2+12×(4+8)×52]=18 2+30，
而上下底面之和为3×4+6×8=60，
所以该“刍童”的表面积为(18 2+30)+60=90+18 2，故A正确；
对于B，由题意知四边形ABCD为矩形，AB=6，BC=8，
MA=MB=12AC=12× 62+82=5，
但MA2+MB2≠AB2，这表明了BD与AC不垂直，
所以BD不垂直平面ACC′A′(否则由线面垂直的性质得BD⊥AC，导出矛盾)，故B错误；
对于C，由对称性可知该“刍童”外接球的球心在直线MN上，
不妨设它为O(0,0,z)，而AB=2A′B′=6，BC=2B′C′=8，
所以A(4,−3,0),B′(2,32,2)，
由OA=OB′，即|OA|2=|OB′|2得，16+9+z2=4+92+(z−2)2，
解得z=−5916，所以该“刍童”外接球的球心到平面ABCD的距离为5916，故C正确；
对于D，因为AB=2A′B′=6，BC=2B′C′=8，
所以A(4,−3,0),A′(2,−32,2),AA′=(−2,−32,2)，
又NM⊥面ABCD，故取平面ABCD的法向量为n=(0,0,1)，
不妨设该“刍童”侧棱A′A与平面ABCD所成角为θ，
则该“刍童”侧棱A′A与平面ABCD所成角的正弦值为
sinθ=|cs|=|n⋅A′A||n||A′A|=21× 4+94+4=4 4141，故D正确．
故选：ACD．
对于A，把两个相邻的侧高求出来，然后就可以求侧面积，最终求表面积验算即可；对于B，可以证明BD与AC不垂直，即可推翻结论(结合线面垂直的性质)；对于C，建立适当的空间直角坐标系，可设O(0,0,z)，由OA=OB′，即|OA|2=|OB|2求出z的值即可；对于D，由线面角的正弦值的向量公式进行验算即可．
本题考查空间点线面位置关系的判定，考查空间几何体的表面积，考查线面角的正弦值求法，属中档题．
13.【答案】(4,5)
【解析】解：a=(1,1)，b=(2,3)，
则2a+b=(2,2)+(2,3)=(4,5)．
故答案为：(4,5)．
根据已知条件，结合平面向量的运算法则，即可求解．
本题主要考查平面向量的运算，属于基础题．
14.【答案】3：2
【解析】解：设球的半径为：1，所以球的体积为：4π3，
圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的体积为：2π，
所以圆柱的体积与球的体积之比为：2π4π3=32．
故答案为：3：2．
设出球的半径，求出圆柱的体积，球的体积，即可得到体积比．
本题主要考查圆柱的体积与球的体积的比，考查计算能力，属于基础题．
15.【答案】43
【解析】解：∵函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)的最小正周期为2πω=3π2，
∴ω=43．
故答案为：43．
由题意，利用正弦函数的周期性，求出ω的值．
本题主要考查正弦函数的周期性，属于基础题．
16.【答案】3
【解析】解：抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程x=−1，
过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，如图所示，
|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，
则|AF|+|BF|≥|AB|，当且仅当A，B，F三点共线时等号成立，
所以|AF|+|BF=|AA1|+|BB1|=x1+1+x2+1≥|AB|=8，
x1+x2≥6，
AB的中点到y轴的距离d=x1+x22≥3，当且仅当A，B，F三点共线时等号成立，
即AB的中点到y轴距离的最小值为3．
故答案为：3．
根据三角形两边之和大于第三边，求出当A，B，F三点共线时，AB的中点到y轴距离的最小，由抛物线的定义即可求出最小值．
本题考查抛物线的定义，属中档题．
17.【答案】解：(1)证明：连接BC1，

∵P，Q分别为棱BC，CC1的中点，∴BC1//PQ，
∵棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，C1D1=AB=3，C1D1/​/AB，
∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴BC1/​/AD1，
∴AD1//PQ．
(2)由题意得正方形BCC1B1的面积为3×3=9，
S△BB1P=S△C1B1Q=12×3×32=94，S△CPQ=12×32×32=98，
∴S△B1QP=9−94×2−98=278，
又AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥平面B1PQ，
三棱锥A−B1QP的体积为V=13S△B1QP⋅AB=13×278×3=278．
【解析】(1)作出辅助线，得到四边形ABC1D1为平行四边形，结合中位线证明出结论；
(2)求出底面积和高，利用锥体体积求出答案．
本题考查正方体结构特征、线线平行、三棱锥的体积公式等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
18.【答案】解：(1)因为三角形ABC为等腰三角形，且csA=−230，x>0时，f(x)=ax|x|+1=axx+1=a(x+1)−ax+1=a−ax+1，
因为x>0，所以x+1>1,0