2023-2024学年湖南省多校联考高二（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省多校联考高二（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.1+2i1−3i=( )
A. 12+12iB. −12+12iC. 12−12iD. −12−12i
2.已知集合M={x|lg2x0,a≠1)，对于任意的m，n∈N*，都有am+n=am⋅an，则称{an}为“指数型数列”.若数列{an}满足：a1=1，an=2an+1+an⋅an+1；
(1)判断{1an+1}是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
(2)若bn=1an+n，求数列{bn}的前n项和Tn．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，离心率为12，点A( 33,− 112)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点T(2a,0)作直线l1(直线l1的斜率不为0)与椭圆C相交于M，N两点，过焦点F作与直线l1的倾斜角互补的直线l2，与椭圆C相交于P，Q两点，求|PF|⋅|QF||TM|⋅|TN|的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：1+2i1−3i=(1+2i)(1+3i)10=−12+12i．
故选：B．
根据复数四则运算法则计算即可．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵M={x|lg2x 102，可得− 155 102，再利用点线距离公式列式，解之即可得解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：因为−π6,5π6为函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0)的零点，且在区间(−π6,5π6)上有且仅有两条对称轴，
所以T=5π6−(−π6)=π，得ω=2πT=2，
由函数f(x)的零点为−π6，
得2×(−π6)+φ=π2+kπ,k∈Z，
所以φ=5π6+kπ，k∈Z，
当k=0时，φ=5π6，
此时ω⋅φ=5π3．
故选：A．
根据函数零点的概念和三角函数的图象与性质可得T=π，且ω>0可得ω=2πT=2，由2×(−π6)+φ=π2+kπ,k∈Z，取k=0可求φ的值，进而可得结论．
本题主要考查余弦函数的图象与性质，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：设点A，B的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)且x1，x2≠0，
又A，B两点都在C上，
则y12=2px1,y22=2px2，
则k1=y1x1=y1y122p=2py1,k2=y2x2=y2y222p=2py2，k3=y2−y1x2−x1=y2−y1y222p−y122p=(y2−y1)2p(y2−y1)(y2+y1)=2py1+y2，
由k3=−2k1，
有2py1+y2=−2×2py1，
可得y1y2=−23，
有k2k1=2py22py1=y1y2=−23．
故选：B．
根据题意，设点A，B的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，并把k1，k2，k3表示出来，由k3=−2k1得y1y2值，从而得到k2k1．
本题考查了抛物线的性质，重点考查了斜率公式，属中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：由题意，这组数据按从小到大排列为：30，31，31，37，40，46，47，57，62，67，
则众数为31，选项A正确；
中位数为40+462=43，选项B错误；
极差为67−30=37，选项C正确；
∵10×10%=1，∴10%分位数为30+312=30.5，选项D正确．
故选：ACD．
将这组数据按从小到大排列，分别按众数，中位数，极差和百分位数的定义求解即可．
本题考查统计的应用，考查学生数据分析能力，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：由题四边形ABCD为正方形，平面ABCD⊥平面ABF，E为AB的中点，AF⊥BF，且AB= 2AF=2，
对于A，所以CE2=CB2+BE2，|CA+CB|=2|CE|=2 12+22=2 5，故A正确；
对于B，易知BC/​/AD，BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，
所以BC/​/平面ADF，又AF⊥BF，AD⊥BF，
所以BF⊥平面ADF，
所以直线BC到平面ADF的距离为BF= 2，即B错误；
对于C，异面直线AD与FC所成角即BC与FC所成角，因此余弦值为BCFC= 63，故C正确；
对于D，易知AF⊥平面BCF，即∠AFC=90°，
所以AC与平面BCF所成角的正弦值为AFAC=12，故D正确．
故选：ACD．
根据几何体特征，可利用空间线面位置关系和夹角逐项计算求解即可．
本题考查求异面直线所成的角，求直线与平面的距离，求线面角，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：对于A：因为等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且a1