2023年高中考试数学模考适应模拟卷02（新高考专用）（答案版）

这是一份2023年高中考试数学模考适应模拟卷02（新高考专用）（答案版），共14页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，函数的图象大致形状是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(每小题5分，共40分)
1．已知集合，，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的定义域化简集合，根据一元二次不等式的解法化简，根据交集的定义求即可.
【详解】，
，
所以，.
故选：D.
2．若，，是的共轭复数，则（ ）
A．B．2C．D．10
【答案】C
【分析】根据共轭复数的概念写出，然后，求出，进而求出的模长.
【详解】，所以，
故选：C
3．函数的图象大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性可得函数为偶函数，可排除CD，然后根据时的函数值可排除B.
【详解】因为，定义域为R，
又，
所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除CD，
又当时，，，故排除B.
故选：A.
4．中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》，八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.某同学计划从“金、石、匏、竹、丝5种课程中选2种作兴趣班课程进行学习，则恰安排了1个课程为吹奏乐器、1个课程为打击乐器的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题目首先列出总的事件数，再列出满足条件的基本事件数，进一步求出答案.
【详解】“金、石”为打击乐器共2种，“匏、竹”为吹奏乐器共2种，“丝”为弹拨乐器，共1种，5选2的基本事件有（金、石）（金、匏）（金、竹）（金、丝）（石、匏）（石、竹）（石、丝）（匏、竹）（匏、丝）（竹、丝），共10种情况，其中恰安排了1个课程为吹奏乐器、1个课程为打击乐器的基本事件为（金、匏）（金、竹）（石、匏）（石、竹），共4种，
故所求概率为.
故选：B.
5．美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式．已知描述的是一种果树的高度随着栽种时间x（单位：年）变化的规律，若刚栽种（x＝0）时该果树的高为1.5m，经过2年，该果树的高为4.5m，则该果树的高度不低于5.4m，至少需要（ ）
A．3年B．4年C．5年D．6年
【答案】A
【分析】根据函数模型解析式，代入值得到方程组，解出，则得到函数解析式，代入或列不等式均可.
【详解】由题意可得,,则,
解得,所以,，
由函数的解析式可得,在上单调递增,且,
故该果树的高度不低于,至少需要3年.
故选：A.
6．点在圆上运动，直线分别与轴、轴交于、两点，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出以及点到直线的距离的最大值，利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.
【详解】易知点、，则，
圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最大值为，
所以，面积的最大值是.
故选：D.
7．如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用坐标法，设，可得，进而可得，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】如图建立平面直角坐标系，
则，
∴，
设，，
∴，
又，
∴，
解得，
∴，
即的最小值为.
故选：B.
8．已知函数，若，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据得到，即，然后分和两种情况，利用基本不等式求最小值即可.
【详解】因为，
由上面结论可得，
所以，其中，则.
当时，
当且仅当，，时等号成立；
当时，
，当且仅当，时等号成立；因为，所以的最小值为.
故选：A.
二、多选题(每小题5分，共20分)
9．如图是国家统计局于2021年3月10日发布的2020年2月到2021年2月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图，其中同比是指本期与同期作对比，如2020年10月与2019年10月相比；环比是指本期与上期作对比，如2020年12月与2020年11月相比.下列关于“居民消费价格涨跌幅”图表的理解，正确的选项是（ ）
注：，
A．2020年10月，全国居民消费价格同比下降
B．2020年11月，全国居民消费价格环比下降
C．2020年2月至2021年2月，全国居民消费价格环比在2021年1月涨幅最高
D．2020年4月的全国居民消费价格高于2019年5月的全国居民消费价格
【答案】BCD
【分析】A选项，由于，故可判断2020年10月，全国居民消费价格同比上升；B选项，，故2020年11月全国居民消费价格环比下降；C选项，2020年2月至2021年2月，全国居民消费价格环比在2021年1月涨幅为1.0，最高，C正确；设2019年4月的全国居民消费价格为，表达出2020年4月的全国居民消费价格为，及2019年5月的全国居民消费价格，比较大小，从而作出判断.
【详解】从图中可以看出2020年10月，全国居民消费价格同比为，故全国居民消费价格同比上升，A错误；
2020年11月，全国居民消费价格环比为，故全国居民消费价格环比下降，B正确；
2020年2月至2021年2月，全国居民消费价格环比在2021年1月涨幅为1.0，最高，C正确；
设2019年4月的全国居民消费价格为，则2020年4月的全国居民消费价格为，则2020年5月的全国居民消费价格为，故2019年5月的全国居民消费价格为，而，故2020年4月的全国居民消费价格高于2019年5月的全国居民消费价格，D正确.
故选：BCD
10．已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆A和直线l都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据动圆C与圆A和直线l都相切，分圆C与圆A相外切和圆C与圆A相内切，分别取到A的距离为d+1，d-1，且平行于l的直线，，利用抛物线的定义求解.
【详解】解：动圆C与圆A和直线l都相切，
当圆C与圆A相外切时，取到A的距离为d+1，且平行于l的直线，
则圆心C到A的距离等于圆心C到的距离，
由抛物线的定义得：圆心C的轨迹是以A为焦点，以为准线的抛物线；
当圆C与圆A相内切时，取到A的距离为d-1，且平行于l的直线，
则圆心C到A的距离等于圆心C到的距离，
由抛物线的定义得：圆心C的轨迹是以A为焦点，以为准线的抛物线；
所以，当时，抛物线不完整，
所以，，，，
故选：ABD
11．对于函数，下列结论正确得是（ ）
A．的值域为B．在单调递增
C．的图象关于直线对称D．的最小正周期为
【答案】AD
【分析】先分析函数的奇偶性与周期性，再利用周期性，选取一个周期来研究即可对每一个选项作出判断.
【详解】，，
所以，
所以是偶函数，
又，
所以是函数的周期，
又，
故的最小正周期为.
对于A，因为的最小正周期为，令，此时，
所以，
令，所以有，可知其值域为，故A正确；
对于B，由A可知，在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以在上不是单调递增，故B不正确；
对于C，因为，，
所以，
所以的图象不关于直线对称，故C不正确；
对于D，前面已证明正确.
故选：AD
12．以下四个不等关系，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】结合基本不等式及对数函数的单调性估计判断A；利用导数证明，赋值判断B；观察不等式的结构，构造函数，利用导数判断其单调性，利用函数单调性比较大小，判断C；根据函数的单调性判断D.
【详解】对于A，因为，所以A正确；
对于B，因为，故考虑构造函数，
因为，仅当时等号成立，
所以函数在上单调递减，所以，
故，所以，B不正确
对于C，不等式，等价于，等价于，
设，，则，
当时，，函数在单调递减，当时，，函数在单调递增，
所以，即，所以，C正确；
对于D，因为，所以，，
因为函数在单调递增，
又，所以，又，所以，即，D正确，
故选：ACD.
【点睛】本题解决的关键在于观察不等式的结构，通过构造函数，判断函数的单调性，利用单调性比较大小即可.
第II卷（非选择题）
三、填空题(每小题5分，共20分)
13．已知的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为______.
【答案】270
【解析】首先利用赋值法求出所有项的系数和，建立方程求出参数，然后利用二项展开式的通项求常数项即可.
【详解】令，的展开式中所有项的系数之和为，所以，解得，
所以展开式的通项，令，得，
所以常数项为.
故答案为：270.
【点睛】对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式中各项系数之和，只需令即可.
14．已知角的终边过点，则___________，___________.
【答案】
【分析】由题，根据三角函数定义直接求得的值，再利用诱导公式对原式进行化简，再分子分母同除以，代入可得结果.
【详解】因为角的终边过点，所以
原式
故答案为和
【点睛】本题考查了三角函数的知识，熟悉定义和诱导公式化简是解题的关键，属于基础题.
15．已知椭圆的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且，若，则椭圆C的离心率是___________.
【答案】
【分析】设右焦点为，连接，.判断出四边形为矩形.在中，解三角形求出，，利用椭圆的定义得到，即可求出离心率.
【详解】设右焦点为，连接，.
因为，即，可得四边形为矩形.
在中，，.
由椭圆的定义可得，所以，所以离心率.
故答案为：.
16．在长方体中，底面是边长为的正方形，，，分别为棱，的中点，为线段上的动点，则直线与平面的交点的轨迹长度为______.
【答案】
【分析】连接，然后可得，，，四点共面，连接，，，设，，连接，然后可得点的运动轨迹为，然后以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，然后根据条件求出点的坐标即可.
【详解】连接，因为，分别为棱，的中点，所以，
则，，，四点共面，连接，，，设，，
连接，平面平面，
所以当点在线段上运动时，点的运动轨迹为.
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由，，得.易得，且，
过点作，交于点，易得，，
则，从而可得，所以，
所以
故答案为：
四、解答题(共70分)
17．（本题10分）已知数列的首项，且满足．
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将已知条件转化为，由此证得数列是等比数列.
（2）利用分组求和法求得.
（1）
由，得，
又，故，
故，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
（2）
由（1）可知，所以，
所以．
18．（本题12分）在①；②的面积为；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，， ______？.
【答案】见解析
【分析】若选①，则，由正弦定理列方程可求出，再求出，然后利用正弦的二倍角公式可求出，再利用正弦定理可求出c的值，
若选②，则由已知条件可求出，从而可得，然后利用余弦定理可求出c的值，
若选③，则由已知可得，再由正弦定理可得，从而可得三角形不存在
【详解】若选①，则，且,
因为，，
由正弦定理得，则，即,
所以，，
得，
因为，所以，
因为 ，所以角为锐角，
所以，
所以,
所以由正弦定理得,
若选②，则由的面积为，，，得，
所以，
当为锐角时，，此时由余弦定理得
，所以，
当为钝角时，，此时由余弦定理得
，所以，
综上，或，
若选③，由，得，
由正弦定理得，则，
所以三角形不存在
19．（本题12分）中医药传承数千年，治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率.对改善发热､咳嗽､乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果.”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组服用甲种中药，B组服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概率分别为，，.
(1)设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好有1人康复，求；
(2)若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲､乙两种中药哪种药性更好？
【答案】(1)
(2)甲种中药药性更好
【分析】（1）分别计算出示A组中恰好有1人康复， B组中恰好有1人康复的概率，根据相互独立事件同时发生的概率的计算方法，求得答案;
（2）根据二项分布的期望公式求得A组中服用甲种中药康复人数积分的期望值，再计算出B组中服用乙种中药康复人数积分的期望值，比较可得答案.
（1）
依题意有，，
.
又事件C与D相互独立，
则，
所以.
（2）
设A组中服用甲种中药康复的人数为，则，
所以.
设A组的积分为，则，
所以.
设B组中服用乙种中药康复的人数为，则的可能取值为：0,1,2,3,
，
，
，
，
故的分布列为
所以,
设B组的积分为，则，
所以,
因为，
所以甲种中药药性更好.
20．（本题12分）已知矩形中，，，是的中点，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面.
(1)证明：；
(2)若是否存在，使得与平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）根据为矩形，且是中点得到，利用勾股定理得到，然后利用面面垂直的性质定理得到平面，再结合平面即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，根据得到，然后利用向量的方法求与平面所成的角的正弦值，列方程求即可.
【详解】（1）依题意矩形，，，是中点，
所以，
又，所以，，，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，
又平面，所以.
（2）
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系.
则，，，，
设是的中点，
因为，所以，
又平面平面，平面平面，
所以平面，，
假设存在满足题意的，则由.
可得，.
设平面的一个法向量为，
则，令，可得，，即，
设与平面所成的角为，所以
解得（舍去），
综上，存在，使得与平面所成的角的正弦值为.
21．（本题12分）已知椭圆 ，直线l：与椭圆交于两点，且点位于第一象限.
(1)若点是椭圆的右顶点，当时，证明：直线和的斜率之积为定值；
(2)当直线过椭圆的右焦点时，轴上是否存在定点，使点到直线 的距离与点到直线的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)见解析；
(2)存在，.
【分析】(1) 联立直线方程和椭圆方程得，由韦达定理可得的关系，再由计算即可得证；
(2)由题意可得直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程得，由韦达定理之间的关系，假设存在满足题意的点，设，由题意可得.代入计算，如果有解，则存在，否则不存在.
（1）
证明：因为，所以直线l：，
联立直线方程和椭圆方程： ，得，
设，
则有，
所以，
又因为，
所以，，
所以==
所以直线和的斜率之积为定值；
（2）
解：假设存在满足题意的点，设，
因为椭圆的右焦点，所以,即有，
所以直线的方程为.
由，可得，
设，
则有；
因为点到直线的距离与点到直线的距离相等，
所以平分,
所以.
即==，
又因为，
所以，
代入，
即有，
解得.
故轴上存在定点，使得点到直线 的距离与点到直线的距离相等.
22．（本题12分）已知函数，为的导数.
(1)证明：当时，；
(2)设，证明：有且仅有2个零点.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
【分析】（1）令，利用导数判断的单调性，并求出其最小值即可证明；
（2）由（1）可知，在上单调递增，利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点，通过构造函数即可证明在上单调递减，同理利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点，即可得证.
(1)
由，
设，则，
当时，设，，
∵，，
∴和在上单调递增，
∴，，
∴当时，，，
则，
∴函数在上单调递增，
∴，
即当时，;
(2)
由已知得，
①当时，
∵，
∴在上单调递增，
又∵，，
∴由零点存在性定理可知在上仅有一个零点，
②当时，
设，则，
∴在上单调递减，
∴，
∴，
∴，
∴在上单调递减，
又∵，，
∴由零点存在性定理可知在上仅有一个零点，
综上所述，有且仅有2个零点.
0
1
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