新高中考试数学名师二模模拟卷（4）（答案版）

这是一份新高中考试数学名师二模模拟卷（4）（答案版），共15页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，若，，则等内容，欢迎下载使用。
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共40分)
1．若复数满足，则的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用复数的运算法则和复数模的公式及共轭复数的概念即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：C
2．已知集合，全集，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先解分式不等式求出集合，再解对数不等式求出集合，最后根据补集、交集的定义计算可得；
【详解】解：由，即，等价于，解得或，
所以或，由，解得，
所以，
所以，所以；
故选：C
3．已知数列满足，，，则“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由题意可得为等差数列，后据此判断与间关系可得答案.
【详解】设首项为，由，可得，
则可得.
则
.故“”是“”的充分必要条件.
故选：A
4．如图所示，正方体的棱长为，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，那么该正八面体的内切球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由图形可得正八面体的棱长为，分别求出正八面体的体积及表面积，再由等体积法求正八面体的内切球半径，即可求出球的表面积．
【详解】根据图形，在正方体中易知正八面体的棱长为,
如图，
在正八面体中连接，，，可得，，互相垂直平分，
在中，
则该正八面体的体积，
该八面体的表面积
设正八面体的内切球半径为，
，即，解得，
故选：B
5．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将两边同时平方得到，进而可以缩小角的范围，得到，从而得到，然后结合二倍角以及同角的平方关系即可求出结果.
【详解】将两边同时平方，，所以，
因此，异号，故，且，则，
因此，而，，
所以，
故选：D.
6．数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，其焦点坐标为，校门最高点到地面距离约为18米，则校门位于地面宽度最大约为（ ）
A．18米B．21米C．24米D．27米
【答案】C
【分析】将抛物线方程化为标准式，根据焦点坐标求出的值，即可得到抛物线方程，再令求出的值，即可得解.
【详解】解：抛物线，即，
因为抛物线的焦点坐标为，所以，所以，
所以抛物线即为，令，则，解得，
所以校门位于地面宽度最大约为米.
故选：C
7．已知、是双曲线的左，右焦点，过的直线l与双曲线C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】由已知条件结合双曲线的定义可得为等边三角形，从而得，然后在中，利用余弦定理化简可得到，从而可求出离心率的值.
【详解】设，则，设，则由双曲线的定义得，
，解得，
所以，， ，，
所以为等边三角形，
所以，则，
在中，由余弦定理得，,
即，化简得，，
所以双曲线的离心率为，
故选：C.
8．某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在随机变量的期望和方差存在但其分布末知的情况下，对事件“”的概率作出上限估计，其中为任意正实数.切比雪夫不等式的形式为：，其中是关于和的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据所学相关知识，确定该形式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题知，计算可得结果.
【详解】切比雪夫不等式的形式为：，
由题知，
则的具体形式为.
故选：D.
二、多选题(共20分)
9．已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲组数据的极差大于乙组数据的极差
B．若甲，乙两组数据的平均数分别为，则
C．若甲，乙两组数据的方差分别为，则
D．甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数
【答案】BD
【分析】根据折线图中的数据，结合极差的概念、平均数的求法、方差的求法及其意义、中位数的概念，即可判断各项的正误.
【详解】由折线图得：
对于A，甲组数据的极差小于乙组数据的极差，故A错误；
对于B，甲组数据除第二天数据略低于乙组数据，其它天数据都高于乙组数据，可知，故B正确；
对于C，甲组数据比乙组数据稳定，，故C错误；
对于D，甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，故D正确．
故选：BD．
10．已知函数，且正实数，满足，则下列结论可能成立的是（ ）
A．B．的最大值为
C．D．的最小值为
【答案】AC
【分析】去绝对值分类讨论，判断一个命题是假命题要举反例
【详解】当，时，，
则
所以，所以，故A正确
当，时，，，
则
所以，故C正确
当，时，，
则
所以
对于B，当，，且时
取，时，
（，）
当，且时
取，时，
当，且时，
取，时，
故B错误
对于D， 当，且时，，时，等号成立，故D错误
故选：AC
11．已知点，，是椭圆上的动点，当取下列哪些值时，可以使 （ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】ABC
【分析】设，利用求得的最大值和最小值即可得．
【详解】设，且.
因为，
将点坐标代入椭圆，得，所以代入上式可得
.
所以，.对照选项可以取ABC.
故选：ABC．
12．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ）
A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面B．存在点Q，使平面MBN
C．三棱锥P-MBN的体积为D．经过C，M，B，N四点的球的表面积为
【答案】ABC
【分析】对于A，连接，，可证得，从而可得结论，对于B，连接PQ，，当Q是的中点时，由线面平行的判定可证得，对于C,利用求解，对于D，分别取，的中点E，F，构造长方体MADF-EBCN，其体对角线就是外接球的直径，求出体对角线的长，可求出球的表面积
【详解】如图，在正方体中，连接，，
因为N，P分别是，的中点，所以，
又因为，所以，
所以，B，N，P四点共面，即当Q与重合时，B，N，P，Q四点共面，故选项A正确；
连接PQ，，当Q是的中点时，因为，，所以，
因为平面BMN，平面BMN，所以平面BMN，故选项B正确；
连接，，，
因为，
所以，
故选项C正确；
分别取，的中点E，F，构造长方体MADF-EBCN，
则经过C，M，B，N四点的球即为长方体MADF-EBCN的外接球，
设所求外接球的直径为2R，
则长方体MADF-EBCN的体对角线即为所求的球的直径，
即，
所以经过C，M，B，N四点的球的表面积为，故选项D错误.
故选：ABC
第II卷（非选择题）
三、填空题(共20分)
13．若随机变量，且，则等于_________．
【答案】##
【分析】利用正态分布曲线的对称性直接求解即可.
【详解】，，
.
故答案为：.
14．若一个偶函数的值域为，则这个函数的解析式可以是___________.
【答案】（答案不唯一，其它正确答案同样给分）
【分析】取，验证函数为偶函数且值域为即可.
【详解】取，函数的定义域为且关于原点对称，
，所以函数为偶函数.
，即
所以函数的值域为.
故答案为：（答案不唯一，其它正确答案同样给分）.
15．已知数列的通项公式则的前项和_____．
【答案】241
【分析】讨论、对应的通项可得，结合等差数列前n项和公式求值即可.
【详解】当且时，
当且时，，
所以
.
故答案为：241
16．三棱锥的底面是以为底边的等腰直角三角形，且，各侧棱长均为3，点为棱的中点，点是线段上的动点，则到平面的距离为___________；设到平面的距离为到直线的距离为，则的最小值为___________.
【答案】 ## ##
【分析】取中点，连接，通过得出平面可求出到平面的距离，以为原点建立空间直角坐标系设，利用向量关系表示出，求导可求出最小值.
【详解】取中点，连接，
因为，，所以，且，
因为是等腰直角三角形，所以，且，
又，满足，所以，
因为，所以平面，
因为点为棱的中点，所以到平面的距离为；
如图，以为原点建立空间直角坐标系，设,
则，
则，
设，则可得，
则，则，
所以，
所以,
所以,
设平面的法向量为，
则，即，令，可得，
则，
所以，
所以，令，解得，
又，所以在单调递增，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，即的最小值为.
故答案为：；.
四、解答题(共70分)
17．在△ABC中，已知
(1)求B的大小；
(2)在下面3个条件中选一个，使得△ABC唯一存在，并求其面积．
①②③
【答案】(1)
(2)答案不唯一，具体见解析
【分析】（1）利用正弦定理将边变角，然后整理化简可得B的大小；
（2）利用正弦余弦定理求出三角形其他边角，再利用面积公式求出面积.
(1)
由正弦定理得
，
，即，
又，；
(2)
选①：
或，所以△ABC不唯一存在
所以①不能选；
选②：，即
选③
即
或（舍）
.
18．数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由可求得的值，令，由可得，两式作差可推导出数列从第二项开始成以为公比的等比数列，即可求得数列的通项公式；
（2）分、两种情况讨论，结合错位相减法可求得.
【详解】（1）解：当时，，
当时，由可得，
上述两个等式作差得，可得，且，
所以，数列从第二项开始成以为公比的等比数列，则，
因为不满足，故.
（2）解：，
当时，；
当时，，①
，…②
①②得：，
所以，，
又也满足，所以.
19．如图，圆台下底面圆的直径为， 是圆上异于的点，且，为上底面圆的一条直径，是边长为的等边三角形，.
(1)证明：平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)线线垂直从而证明线面垂直.
(2)利用向量法，即可求二面角的余弦值.
【详解】（1）∵为圆台下底面圆的直径，是圆上异于的点，
故
又∵，，
∴
∵，
∴，
∴
∴，又∵，，平面
∴平面
（2）取的中点，连接，则，由(1)可知，
∵，∴平面，
又∵
∴以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
由题意可得，，
∵平面，∴，
四边形为矩形，
∴
平面的一个法向量为.
设平面的一条法向量为，，
由 得 令，则，
平面的一个法向量为
则平面与平面的夹角的余弦值为
∴平面和平面夹角的余弦值为
20．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下.
（1）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；
（2）小红､小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动.小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入m号球槽得到的奖金为元，其中.小明改进了高尔顿板(如图2)，首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，……，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入n号球槽得到的奖金为元，其中.两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由.
【答案】（1）；（2）小明的盈利多，理由见解析.
【分析】（1）设这个小球掉入5号球槽为事件，掉入5号球槽，需要向右4次向左2次，利用独立重复试验的概率计算可得；
（2）的可能取值为0，4，8，12，分别求出对应的概率，列出分布列求出；的可能取值为0，1，4，9，求出对应的概率，列出分布列求出，比较与的大小，确定小明的盈利多.
【详解】（1）设这个小球掉入5号球槽为事件，掉入5号球槽，需要向右4次向左2次，所以，
所以这个小球掉入5号球槽的概率为.
（2）小红的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为0，4，8，12.
，
，
，
.
一次游戏付出的奖金，则小红的收益为.
小明的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为0，1，4，9.
，
，
，
.
一次游戏付出的奖金，则小明的收益为.
显然，，所以小明的盈利多.
【点睛】方法点睛：本题考查独立重复试验的概率问题以及离散型随机变量的分布列和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.
21．动点P到定点F(0，1)的距离比它到直线的距离小1，设动点P的轨迹为曲线C，过点F的直线交曲线C于A、B两个不同的点，过点A、B分别作曲线C的切线，且二者相交于点M．
(1)求曲线C的方程；
(2)求证：；
(3)求△ ABM的面积的最小值．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)4．
【分析】（1）利用定义判断出曲线为抛物线；
（2）设出点的坐标，利用导数分别求出过点的切线方程，求出交点的坐标为，联立直线和抛物线的方程，利用韦达定理算出，从而得到，利用向量可以计算，所以；
（3）利用焦半径公式和点到直线的距离可以求得，从而求得面积的最小值为．
【详解】（1）解：由已知，动点在直线上方，
条件可转化为动点到定点的距离等于它到直线距离，
∴ 动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
故其方程为．
（2）证：设直线的方程为：，
由得：
，
设，
则，．
由得：
，
，
∴ 直线的方程为：① ，
直线的方程为：② ，
① －② 消y得：
，
即，
将代入① 得：
，
，
故，

，
．
（3）解：由（2）知，点到的距离，
，
，
∴ 当时，的面积有最小值4．
【点睛】形如的抛物线，考虑其切线时可以利用导数去讨论．
22．已知函数（e是自然对数的底数）．
(1)当时，试判断在上极值点的个数；
(2)当时，求证：对任意，．
【答案】(1)在上只有一个极值点，即唯一极小值点；
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，判断其正负，结合零点存在定理，判断函数的单调性，求得答案；
（2）求出函数的导数，构造函数，判断其正负情况，确定函数单调性，进而确定函数的最小值，故可将原问题转化为对任意，，再构造函数，利用其单调性即可证明结论.
【详解】（1）当时，,
则 ，
设，则 在上是增函数，
当 时，，，
所以存在 ，使得，
当时，，则，即在上单调递减，
当时，，则，即在上单调递增，
所以在上只有一个极值点，即唯一极小值点；
（2）证明：由，
设，则 在上是增函数，
当 时，，因为，所以，
所以存在 ，使得，
当时，，则，即在上单调递减，
当时，，则，即在上单调递增，
故 是函数的极小值点，也是最小值点，
则 ，
又因为，所以，
即证：对任意，，
即证：对任意，，
设，则在上单调递减，
因为，所以 ，
故，
故对任意，.
【点睛】本题考查了利用导数判断函数的极值点的个数以及证明不等式成立的问题，综合性较强，要能熟练求导，利用导数判断函数的单调性以及求函数最值，解答的关键是根据函数或导数的特点，构造函数，进而结合零点存在定理判断导数正负，求得函数的最值，利用函数最值进而证明不等式成立.
0
4
8
12
0
1
4
9