新高中考试数学名师三模模拟卷（1）（答案版）

这是一份新高中考试数学名师三模模拟卷（1）（答案版），共18页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，如图在中，，为中点，，，，则，已知，则下列说法正确的是，已知函数等内容，欢迎下载使用。
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】化简集合A,B，根据集合的补集及交集运算求解即可.
【详解】或，
，
故选：B
【点睛】本题主要考查了集合交集、补集的运算，属于容易题.
2．“”是“直线平行于直线”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】试题分析：直线平行于直线，因此正确答案应是充分必要条件，故选C.
考点：充要条件.
3．若圆心坐标为的圆被直线截得的弦长为，则这个圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设出圆的方程，求出圆心到直线的距离，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足的勾股定理，求出圆的半径，得到圆的方程．
【详解】由题意得这个设圆的方程为:
圆心到弦的距离为.
因为圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理.
所以.
所以圆的方程为：
故选：C
【点睛】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，注意点到直线的距离公式的应用．属于基础题.
4．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为的球面上，其上、下底面半径分别是、，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】计算出圆台的高，利用圆台的体积公式可求得结果.
【详解】由于圆台的下底面直径为，故球心为圆台的下底面圆圆心，
设圆台的高为，则，
因此，圆台的体积为.
故选：B.
5．如图在中，，为中点，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积；
【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
又，，，
则，
即，即，
则，
则，，
则；
故选：C．
6．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将题设中等式两边平方后相加可得，结合角的范围可求，从而可得正确的选项.
【详解】由题意知，，，
将两式分别平方相加，得，
，故选项AB错误；
，，，
又，，，故选项D正确，C错误．
故选：D
7．已知数列为等比数列，公比，，，，成等差数列，将数列中的项按一定顺序排列成，，，，，，，，，，…的形式，记此数列为，数列的前n项和为，则的值是（ ）
A．1629B．1641C．1668D．1749
【答案】C
【分析】由题知，进而结合等比数列相关知识得，前项和为，进而，再计算即可得答案.
【详解】解：因为数列为等比数列，公比，，，，成等差数列，
所以，即，解得或
因为，所以.
所以，其前项和为，
所以
故选：C
8．已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出函数的图象，利用导数的几何意义求出对应的切线方程以及斜率，利用数形结合进行求解即可．
【详解】解：作出函数的图象如图：
依题意方程有且仅有三个实数解，即与有且仅有三个交点，
因为必过，且，
若时，方程不可能有三个实数解，则必有，
当直线与在时相切时，
设切点坐标为，则，即，
则切线方程为，
即，
切线方程为，
且，则，所以，
即当时与在上有且仅有一个交点，
要使方程有且仅有三个的实数解，
则当时与有两个交点，设直线与切于点，此时，则，即，
所以，
故选：B
二、多选题
9．近年来，报考教师资格证的人数越来越多，教师行业逐渐升温．下图给出了近四年四所师范院校的录取分数排名，则（ ）
A．近四年北京师范大学录取分数排名变化最不明显
B．近四年湖南师范大学录取分数排名的平均值最大
C．近四年华南师范大学录取分数排名的极差值最大
D．近四年华中师范大学的生源质量呈现下降的趋势
【答案】ABC
【分析】利用折线图逐项判断可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，由图可知，近四年北京师范大学录取分数排名比较稳定，排名变化最不明显，A对；
对于B选项，近四年，湖南师范大学录取分数排名的平均值为，
华南师范大学录取分数排名的平均值为，
由图观察可知，华中师范大学和北京师范大学录取分数排名的平均值都比湖南师范大学录取分数排名的小，B对；
对于C选项，近四年，湖南师范大学录取分数排名的极差为，
华南师范大学录取分数排名的极差为，
由图可知，华中师范大学和北京师范大学录取分数排名变化不大，
这两所学校录取分数排名的极差比华南师范大学录取分数排名的极差小，
故近四年华南师范大学录取分数排名的极差值最大，C对.
对于D选项，近四年华中师范大学录取分数的排名越来越靠前，该校的生源质量越来越好，D错.
故选：ABC.
10．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．满足的的取值范围为（）
C．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象的一条对称轴
D．函数与的图象关于直线对称
【答案】ABD
【分析】根据图象求出的解析式，然后运用三角函数的知识逐一判断即可.
【详解】由图可得，，
所以，因为，所以，
所以，因为，所以
，故A正确；
由可得，
所以，解得，，故B正确；
将函数的图象向右平移个单位长度，得到的是函数的图象，直线不是其对称轴，故C错误；
因为，
所以函数与的图象关于直线对称，故D正确；
故选：ABD
11．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（ ）
A．椭圆的长轴长为
B．线段AB长度的取值范围是
C．面积的最小值是4
D．的周长为
【答案】ABD
【分析】由题意可得b、c，然后可得a，可判断A；由椭圆性质可判断B；取特值，结合OA长度的取值范围可判断C；由椭圆定义可判断D.
【详解】由题知，椭圆中的几何量，得，则，A正确；
，由椭圆性质可知，所以，B正确；
记，则
取，则，C错误；
由椭圆定义知，，所以的周长，D正确.
故选：ABD
12．在直四棱柱中，所有棱长均2，，P为的中点，点Q在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（ ）
A．当点Q在线段上运动时，四面体的体积为定值
B．若平面，则AQ的最小值为
C．若的外心为M，则为定值2
D．若，则点Q的轨迹长度为
【答案】ABD
【分析】由题易证得面，所以直线到平面的距离相等，又的面积为定值，可判断A；取的中点分别为，连接，由面面平行的判定定理可得平面面，因为面，所以平面，当时，AQ有最小值可判断B；由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断C；在上取点，使得，易知点Q的轨迹为圆弧可判断D.
【详解】对于A，因为，又因为面， 面，所以面，所以直线到平面的距离相等，又的面积为定值，故A正确；
对于B，取的中点分别为，连接，
则易证明：，面，面，所以面，
又因为，，面，面，所以面，
，所以平面面，面，所以平面
当时，AQ有最小值，则易求出，所以重合，所以则AQ的最小值为，故B正确；
对于C，若的外心为M，，过作于点，
则.故C错误；
对于D，过作于点，易知平面，
在上取点，使得，则，
所以若，则在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，
又因为所以，则圆弧等于，故D正确.
故选：ABD.
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课可设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”6门课程，每周开设一门，连续开设六周．若课程“乐”不排在第一周，课程“书”排在第三周或第四周，则所有可能的排法种数为__________．
【答案】192
【解析】对“乐”课程进行讨论，一类排在第2，5，6周，一类排在3或4周，再利用排列数进行计算，即可得答案；
【详解】（1）当“乐”课程排在第2，5，6周时，；
（2）当“乐”课程排在第3或4周时，，
所有可能的排法种数为192.
【点睛】本题考排列数计算，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意进行分类.
14．命题“，”为假命题，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】分析可知命题“，”为真命题，分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于的不等式（组），综合可求得实数的取值范围.
【详解】由题意可知，命题“，”为真命题.
①当时，可得.
若，则有，合乎题意；
若，则有，解得，不合乎题意；
②若，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
15．已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，记点的轨迹为，直线交于，两点，，若的面积为2，则实数的值为___________.
【答案】或1##1或
【分析】先求得点的轨迹的方程，再利用的面积为2列出关于实数的方程，进而求得实数的值
【详解】设，则有
整理得，即点的轨迹为以为圆心以2为半径的圆
点到直线的距离
直线交于，两点，则
则的面积
解之得或
故答案为：或1
16．已知函数（且），若对任意的，，不等式恒成立，则实数a的取值范围为________.
【答案】
【分析】求导，分，，求得，再根据对任意的，，不等式恒成立求解.
【详解】解：因为函数（且），
所以，
当，时，，
则在上成立，
所以在上递增，
所以，
所以，
因为任意的，，不等式恒成立，
所以，即，
解得，
当，时，，
则在上成立，
所以在上递增，
所以，
所以，
因为任意的，，不等式恒成立，
所以，即，
解得，
综上：实数a的取值范围为，
故答案为：
四、解答题
17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B；
(2)若b=4，求周长的最大值.
【答案】(1)；
(2)12.
【分析】（1）利用差角的余弦公式，结合正弦定理，化简计算作答.
（2）利用余弦定理，结合均值不等式求出a+c的最大值
【详解】（1）因为，则，
在中，由正弦定理得，，而，即，
整理得，即，又，解得，
所以.
（2）在中，由余弦定理得：，即，
而，于是得，当且仅当a=c=4时取“=”，
因此，当a=c=4时，a+c取最大值8，从而a+b+c取最大值12，
所以周长的最大值为12.
18．设为等差数列的前项和，已知，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据等差数列的通项公式，等比中项，列出方程求出公差、首项即可得解；
（2）由（1）求出，根据错位相减法求和即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，由得：，整理得，
因为，，成等比数列，所以，
解得（舍去），或，又由，
解得，，满足条件，故．
（2）由（1）得，所以，
所以，
所以，
则，
两式相减得：
.
所以.
19．《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，深度睡眠时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表：
注：早睡人群为23：00前入睡的人群，晚睡人群为01：00后入睡的人群．
(1)根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数25%分位数与晚睡人群睡眠指数25%分位数分别在第几组?
(2)据统计，睡眠指数得分在区间内的人群中，早睡人群约占80%．从睡眠指数得分在区间内的人群中随机抽取3人，以X表示这3人中属于早睡人群的人数，求X的分布列与数学期望．
【答案】(1)分别在第3组，第2组
(2)分布列见解析，
【分析】(1)根据百分位数的定义，结合题意给的表格与数据直接得出结果；
(2)利用二项分布求概率公式分别求出，
进而列出分布列，结合数学期望的计算公式计算即可.
【详解】（1）早睡人群睡眠指数25%分位数估计在第3组，
晚睡人群睡眠指数25%分位数估计在第2组．
（2）X的所有可能取值为0，1，2，3．
，
，
所以随机变量X的分布列为：
所以随机变量X的数学期望为
.
20．如图，在平面五边形中，为正三角形，，且.将沿翻折成如图所示的四棱锥，使得.，分别为，的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1) 取的中点，连接，.可得面面，从而可证平面；
(2) 取的中点，连接，， 以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系,用向量法求解即可.
（1）
解：（1）证明：取的中点，连接，.
则，.
因为面，面，
所以，面，面，
因为，
所以，面面，
因为面，所以面.
（2）
（2）取的中点，连接，，
因为为正三角形，，所以且，
在直角梯形中，，，，
所以，且，
又因为，
所以在中，，即，
所以，以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
.
因为，即，，
所以，，
所以，.
设为平面的一个法向量，
则，即，取.
又平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，
.
21．已知F为抛物线的焦点，点P在抛物线T上，O为坐标原点，的外接圆与抛物线T的准线相切，且该圆周长为.
(1)求抛物线的方程；
(2)如图，设点A，B，C都在抛物线T上，若是以AC为斜边的等腰直角三角形，求的最小值.
【答案】(1)
(2)32
【分析】（1）可得的外接圆圆心在直线上，然后可求出圆的半径，然后根据周长可求出的值；
（2）设点，，，直线AB的斜率为，由可得，然后结合、可得，然后可得，然后可求出答案.
(1)
因为，所以的外接圆圆心在直线上，又外接圆与准线相切，
所以半径为
所以周长为，所以
故抛物线方程为
(2)
设点，，，直线AB的斜率为，
因为，则直线BC的斜率为.因为，
则，得，①
因为，则，得，②
因为，则，即，③
将②③代入①，得，即，
则，
所以
因为，则，又，则
从而，当且仅当时取等号，所以的最小值为32.
22．已知函数，.
(1)当b=1时，讨论函数的单调性；
(2)若函数在处的切线方程为，且不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)（－∞，1]
【分析】（1）先求定义域与导数，再分讨论与两种情况讨论即可求解；
（2）由题意先求出的值，f(x)≤g(x)即，
等价于对x>0恒成立，即对x>0恒成立.
令，所以，再用导数法求出的最小值即可
【详解】（1）当b=1时，，定义域为（0，+∞），.
当时，，所以函数在（0，+∞）上单调递减.
当时，，
令，得；令，得，
所以函数在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减.
综上，当时，函数在（0，+∞）上单调递减，
当时，函数在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减.
（2）因为函数在处的切线方程为y=(e－1)x－2，
所以，且，由于，
所以解得a=b=1，所以f(x)=lnx－x，
所以f(x)≤g(x)即，等价于对x>0恒成立，即对x>0恒成立.
令，所以，
.令，，
则恒成立，所以G(x)在（0，＋∞）上单调递增.
由于G(1)=e>0，，所以使得，
即，（※）
所以当时，G(x)0，
即F(x)在上单调递减，在上单调递增，
所以，
由（※）式可知，，，
令，，又x>0，所以，即s(x)在（0，+∞）上为增函数，所以，即，所以，
所以
所以，实数m的取值范围为（－∞，1].
【点睛】本题考查了函数的单调性、切线问题和最值问题，考查导数的应用以及转化思想与分类讨论思想.
组别
睡眠指数
早睡人群占比
晚睡人群占比
1
0.1%
9.2%
2
11.1%
47.4%
3
34.6%
31.6%
4
48.6%
11.8%
5
5.6%
0.0%
X
1
2
3
4
P