新高中考试数学名师三模模拟卷（3）（答案版）

这是一份新高中考试数学名师三模模拟卷（3）（答案版），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
本题考查并集运算，一元二次不等式的求解，属于基础题.
解：由题意可得，，则
2. 若，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，由复数的几何意义即可得出所在象限．
解：因为，所以在第一象限.
3. 已知向量，满足，，，则向量与所成的夹角为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
本题考查向量的数量积，向量的夹角，属于基础题.
设的夹角为，由已知结合向量的数量积公式可得 ，解得，即可得解.
解：，，且，
设的夹角为，，
则，
即，
即，解得，
，则向量与的夹角为
故选
4. 已知等比数列的前n项和为，若，，则( )
A. 3B. 6C. 12D. 14
【答案】A
【解析】
本题考查等比数列中基本量的计算，属于中档题.
由等比数列的通项公式与求和公式求得首项与公比q，即可得到答案.
解：设等比数列的公比为q，，若，则，与题意矛盾，所以，
由解得所以
故选
5. 已知双曲线的左焦点为F，直线l过原点O且与双曲线C交于P，Q两点，若直线l与直线相互垂直，且，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
本题考查求双曲线的离心率、两条直线垂直的应用、双曲线的定义，属于中档题.
求出直线l的斜率k，记双曲线C的右焦点为，P为第二象限上的点，连接PF，，QF，，判断出四边形为矩形，利用，即可求出结果.
解：依题意，直线l的斜率，
记双曲线C的右焦点为，P为第二象限上的点，
连接PF，，QF，，
根据双曲线的和直线l的对称性知，四边形为平行四边形，
因为，
故四边形为矩形，
而，
故，，
则
故选
6. 已知事件A，B，C的概率均不为0，则的充要条件是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
本题考查充要条件的判断，随机事件的概率，属于基础题.
由成立的条件判断A；由判断B，由判断C；由条件判断D；
解：对于A，只要A，B是互斥事件等式就成立，
不是的充要条件，故A错误；
对于B，由，
，
若\(P(A\cup C)=P(B\cup C)\)，得\(P(A)-P(A⋂C)=P(B)-P(B⋂C)\)，\(⇏P(A)=P(B)\)，故B错误；
对于C，由，得，，
，故必要性成立；
当，
由，
则，又，
则，故充分性成立，故C正确；
对于D，当A与C，B与C不相互独立时，不是的充要条件，故D错误.
故选
7. 蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术即“积层造型法”过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等已知某鞠的表面上有四个点A、B、C、D，满足任意两点间的直线距离为，现在利用打印技术制作模型，该模型是由鞠的内部挖去由ABCD组成的几何体后剩余的部分，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为参考数据：取，，，精确到( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
本题考查正四面体的外接球问题.
解题时先计算出ABCD外接球的半径以及体积，然后减去正四面体的体积，即可得到模型的体积，乘以密度可得质量.
解：由已知条件可知正四面体棱长为，
其底面外接圆半径，高为，
设其外接球半径为R，则有，
所以正四面体体积，
其外接球体积，
所以制作的模型体积为
，
所以模型质量，
故选

8. 已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数a的取值范围( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，属于中档偏难题.解题的关键是将已知条件转化为函数的单调性，即，然后构造来进行求解.
解：不妨令，则，
即在单调递增即可，
，
则恒成立，，则，
又，

二、多选题
9. 最近几个月，新冠肺炎疫情又出现反复，各学校均加强了疫情防控要求，学生在进校时必须走测温通道，每天早中晚都要进行体温检测并将结果上报主管部门．某班级体温检测员对一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论中正确的是( )
A. 甲同学体温的极差为
B. 甲同学体温的第75百分位数为
C. 乙同学体温的众数、中位数、平均数相等
D. 乙同学的体温比甲同学的体温稳定
【答案】ACD
【解析】
本题考查折线图以及极差、众数、中位数、平均数，百分位数，属于较易题.
根据折线图的数据由极差、众数、中位数、平均数、百分位数的定义，逐项判断即可得到答案.
解：对于A，甲同学体温的极差为，故A正确;
对于B，甲同学的体温从低到高依次为，，，，，，，
因，则甲同学体温的第75百分位数为，B不正确.
对于C，乙同学的体温从低到高依次为，，，，，，，
故众数为，中位数为，平均数，故C正确;
对于D，从折线图上可以看出，乙同学的体温波动较甲同学的小，极差为，也比甲同学的小，因此乙同学的体温比甲同学的体温稳定，故D正确;
故选
10. 设单位圆O与x轴的左、右交点分别为A、B，直线其中分别与直线、交于C、D两点，则( )
A. 时，l的倾斜角为
B. ，点A、B到l的距离之和为定值
C. ，使l与圆O无公共点
D. ，恒有
【答案】BD
【解析】
本题考查了直线与圆的位置关系，考查了同角三角函数的基本关系，向量的数量积运算，点到直线的距离，属于中档题.
代入求出直线l的斜率可判断A；根据点到直线的距离等于半径可判断C；根据梯形中位线定理可判断B；求出C，D的点坐标，根据平面向量的坐标运算可判断
解：当时，，
故直线l的方程为，即，
故直线l的斜率为，易得直线l的倾斜角为，故A错误；
到直线l的距离为，
所以直线l与圆O恒相切，故C错误；
如图，过A作，垂足为E，作，垂足为F，直线l与圆O相切于点Q，
因为O为AB的中点，所以OQ为梯形ABFE的中位线，
所以，故B正确；
在中，令，可得令，可得，
所以，
所以，
所以，恒有，故D正确.
故选

11. 已知是定义在的可导函数，且对于任意的x都有，若，给出下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
本题考查利用导数研究函数单调性，属中档题.
根据已知可得进而可得为单调递增函数.进而判断AB；利用化简进而判断CD，属于中档题.
解：因为，所以
因为x为正，所以，函数为单调递增函数.
且，
所以，故A正确，B错误；
又因为，
所以
则，故C正确，D不正确;
故选：
12. 如图，在正方体中，点M是棱上的动点不含端点，则( )
A. 过点M有且仅有一条直线与AB，都垂直
B. 有且仅有一个点M到AB，的距离相等
C. 过点M有且仅有一条直线与，都相交
D. 有且仅有一个点M满足平面平面
【答案】ABC
【解析】
本题考查了空间中直线、平面的位置关系，空间向量在立体几何中的应用，属于中档题.
根据题目画出图形，结合异面直线和空间中直线与直线的位置关系的相关知识进行判断ABC；以D为原点，DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，利用向量法判断即可.
解：对于A选项，在正方体中，，
所以过M作AB，的垂线相当于过M作底面ABCD的垂线，
又过M点有且仅有这一条直线垂直于底面ABCD，故A正确；
对于B选项，在正方体中，
所以平面平面，
因为平面，平面，
所以，，
要使点M到AB，的距离相等，则需，
所以点M为的中点，有且仅有一个点M到AB，的距离相等，故B正确；
对于C选项，如图所示，连接与相交于点O，连接和BD，
因为，在平面上，所以平面，
由于点M在上，MO的延长线与相交，O又在上，
所以过点M有且仅有一条直线与，都相交，故C正确；
对于D选项，平面平面，
以D为原点，DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，
设正方体边长为1，
设，，
则，，，，，
设平面的法向量为，
，，
则，即，取，得，，
所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，
，，
则，即 ，令，得，，
所以平面的法向量为
要使平面平面，则，
则，
所以不存在点M使得平面平面，故D错误.
故选
三、填空题
13. 已知展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，则其展开式中常数项是___;
【答案】
【解析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．
由二项式系数的性质求得，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．
解：展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，
，
展开式的通项公式为
令，求得，则展开式中的常数项是，
故答案为：
14. 已知为R上的奇函数，且，当时，，则__________.
【答案】
【解析】
本题考查利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题.
由，求得m，再由，结合奇偶性即可求解.
解：由题意，函数为R上的奇函数，且当时，，
所以，即当时，，
又，所以，即，
所以
故答案为
15. 已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，直线过抛物线的焦点F与抛物线交于P、Q两点和椭圆交于A、B两点，M为抛物线准线上一动点，满足，，当面积最大时，直线AB的方程为__________.
【答案】
【解析】
本题考查椭圆与抛物线的几何性质、三角形面积公式、基本不等式的应用，属于中档题.
由椭圆定义和基本不等式得到，当且仅当时三角形面积最大，即可求倾斜角，得到直线方程.
解：由椭圆，可知，，，
，，
，，
，
当且仅当时，等号成立，
P点到准线距离为4，则P点横坐标x满足，
故，P点在抛物线上，所以P点坐标为或，
直线AB过P，F，故AB斜率为，
所以直线方程
故答案为
16. 已知函数，下列说法正确的是__________.
①函数的最小正周期为；
②若函数是偶函数，则；
③函数的一个零点为；
④若，，则
【答案】②④
【解析】
本题考查了函数的图象与性质和三角恒等变换，是中档题.
先利用三角恒等变换得，再由三角函数性质逐一判定即可.
解：
，
函数的最小正周期为，故①错误；
由为偶函数，得，
得，所以，故②正确；
，故③错误；
易知的最大值为，最小值为，所以若，，当为相邻的最值时，为半个最小正周期，则，故④正确.
故答案为：②④

四、解答题
17. 本小题分
佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应.坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，总高度米.坊塔塔楼由底部4个高度相同的方体组成塔基，支托上部5个方体，交错叠合成一个外形时尚的塔身结构.底部4个方体高度均为米，中间第5个方体也为米高，再往上2个方体均为24米高，最上面的两个方体均为米高.
请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列的通项公式，该数列以为首项，并使得24和也是该数列的项;
佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米.根据你得到的等差数列，连续取用该数列前项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依次为、、、、表示高度为的方体连续堆叠层的总高度，请问新堆叠坊塔的高度是否超过310米?并说明理由.
【答案】
解：由，，，
确定公差的等差数列符合要求，且，
所以，
故等差数列的通项公式为；
以为例，
，，，，
，
则新堆叠坊塔的高度超过310米.
18. 本小题分
中，角 A， B， C所对应的边分别为a， b， c，且
求角A的大小;
若的面积为，边a是b，c的等差中项，求的周长
【答案】
解：，
，
，
，
，，，，或
因为的面积为，所以，由边a是b，c的
等差中项，得，且A不是最大的角，，
，，
，，，所以的周长为

19. 本小题分
如图，和都是边长为2的等边三角形，平面平面BCD，平面
证明：平面
若点E到平面ABC的距离为，求平面ECD与平面BCD夹角的正切值.
【答案】
解：取CD的中点O，连接AO，BO，
因为是等边三角形，所以，
因为平面平面BCD，平面平面，平面ACD，
所以平面BCD，
因为平面BCD，所以，
又平面ACD，平面ACD，
所以平面ACD；
因为O是CD中点，是等边三角形，
所以，
由知平面BCD，而BO，平面BCD，故，，
则以点O为原点，OD，OB，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设，
则，，，，，
，，，
设平面ABC的法向量为，
则，得，
取，得，，则，
则E到平面ABC的距离为，，解得，
则，
，，
设平面ECD的法向量为，
则，得，
取，得，，则，
易得平面BCD的法向量为，
则，，
所以平面ECD与平面BCD夹角的余弦值为，
则正切值为，
故平面ECD与平面BCD夹角的正切值为
20. 本小题分
某品牌汽车厂今年计划生产10万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件M，其中由本厂自主生产的配件M可以满足的生产需要，其余的要向甲、乙两个配件厂家订购．已知本厂生产配件M的成本为500元/件，从甲、乙两厂订购配件M的成本分别为600元/件和800元/件，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件M的平均成本控制为640元/件．
分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件M的数量；
已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的次品率分别为，和，求该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率；
现有一辆轿车由于使用了次品配件M出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为14000元，若维修费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件M来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？
【答案】
解：设使用甲厂生产的配件M的比例为a，则使用乙厂生产的配件M的比例为，
由已知可得，解得
所以需要从甲厂订购配件M的数量为万个；
从乙厂订购配件M的数量为万个．
由知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的比例分别为，，，
所以该汽车厂使用的配件M的次品率的估计值为，
所以该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率为
设“该轿车使用了次品配件M”，“配件M来自甲厂”，
“配件M来自乙厂”，“配件M来自本厂”．
由可知
该次品配件M来自甲厂的概率为：，
该次品配件M来自乙厂的概率为：，
该次品配件M来自本厂的概率为：，
所以甲厂应承担的费用为元，乙厂应承担的费用为元，
本厂应承担的费用为元．
21. 本小题分
在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足，记M的轨迹为以轨迹C与y轴正半轴交点T为圆心作圆，圆T与轨迹C在第一象限交于点A，在第二象限交于点
求C的方程；
求的最小值，并求出此时圆T的方程；
设点P是轨迹C上异于A，B的一点，且直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，O为坐标原点，求证：为定值．
【答案】
解：已知点，，点M满足，
所以点M的轨迹是以，为焦点的椭圆，
由题可知，，即，所以，
所以曲线C的方程为
由题知，设，则，
则，
又，即，
所以，
当时，取得最小值，
此时，，
所以圆T的半径，
所以圆T的方程为：；
证明：设，
则直线PA的方程为，
直线PB的方程为，
可得，
所以，
又，
即，代入上式可得：
，
即为定值．
22. 本小题分
已知函数，为的导数.
证明：在区间上存在唯一的极大值点；
讨论零点的个数.
【答案】
解：证明：由题意可知，令，
，
当时，，，
故，所以在区间上单调递增，无极值点.
当时，单调递减，，，
所以存在一的，，
且时，，
当时，，
故为的一极大值点，
所以在区间上存在唯一的极大值点.
由题意得的定义域为
当时，，，
则恒成立，故无零点;
当时，，，
则恒成立，故无零点;
当时，，，
则等成立，故单调递减，
又，，
故在该区间内有唯一零点;
当时，注意到，故0是的一个零点，
由知，在上单调递增，
又，，
所以存在唯一的使得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
因为，所以，
又，
故在区间上有唯一等点，上无零点;
当时，由可知，在上单调递增，在上单调递减；
又，，
所以存在唯一的使得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减；
因为，，
所以在上无零点；
综上所述共有3个零点.