2024年新高中考试数学解答题模拟训练——导数（原卷版）

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(1)证明：当时，；
(2)设，证明：有且仅有2个零点.
2．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数，是其导函数，其中．
(1)若在上单调递减，求a的取值范围；
(2)若不等式对恒成立，求a的取值范围．
3．（2023春·天津·高二天津市宁河区芦台第一中学校联考期末）已知函数.
(1)若是的极值点，求的值；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线的方程；
(2)若函数在处取得极大值，求的取值范围；
(3)若函数存在最小值，直接写出的取值范围.
5．（2023春·黑龙江·高二富锦市第一中学校考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的极值点的个数；
(2)若函数有两个极值点，证明：.
6．（2023·陕西西安·交大附中校考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若函数恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为，，求证：.
7．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知函数，．
(1)求函数的极值点；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
8．（2023春·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）设是函数的一个极值点，曲线在处的切线斜率为8.
(1)求的单调区间；
(2)若在闭区间上的最大值为10，求的值.
9．（2023春·宁夏银川·高二银川唐徕回民中学校考阶段练习）已知函数，其中．
(1)若，求函数的极值；
(2)讨论函数的单调性．
10．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角的对边分别为，且，，依次组成等差数列.
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围.
11．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)若，求证：.
12．（2023春·新疆昌吉·高三校考阶段练习）已知函数，.
(1)当时，
①求曲线在处的切线方程；
②求证：在上有唯一极大值点；
(2)若没有零点，求的取值范围.
13．（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考期末）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线斜率为，求的值；
(2)若在上有最大值，求的取值范围.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求证：；
(2)若函数无零点，求a的取值范围.
15．（2023·河北·校联考一模）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
16．（2023·青海西宁·统考一模）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)任取两个正数，当时，求证：.
17．（2023春·福建厦门·高二厦门市湖滨中学校考期中）已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)若在上有解，求实数a的取值范围.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若，证明：；
(2)若有两个不同的零点，求a的取值范围，并证明：．
19．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有三个零点，求的取值范围．
20．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数（a∈R且a≠0）．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若关于x的方程有两个实数根，且，求证：．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，且，从下面两个结论中选一个证明．
①；
②．
22．（2023·天津河北·统考一模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值.
23．（2023·北京·高三专题练习）已知函数，其中，为的导函数.
(1)当，求在点处的切线方程；
(2)设函数，且恒成立.
①求的取值范围；
②设函数的零点为，的极小值点为，求证：.
24．（2023·青海西宁·统考一模）已知函数存在两个极值点.
(1)求的取值范围；
(2)求的最小值.
25．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，证明: .
26．（2023春·山东淄博·高二山东省淄博第一中学校考阶段练习）已知函数（为自然对数的底数）.
(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
27．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校考三模）已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若，且在上，恒成立，求实数的取值范围．
28．（2023春·天津和平·高三天津市第二南开中学校考开学考试）已知函数．
(1)当时，求的极值．
(2)讨论的单调性；
(3)若，证明：．
29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点．
(1)求a的取值范围；
(2)设是的两个零点，证明：．
30．（2023春·辽宁·高二校联考期末）已知函数．
(1)若存在使得成立，求a的取值范围；
(2)设函数有两个极值点，且，求证：．
31．（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第二十五中学校考期中）已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间上的最大值为－3，求a的值．
32．（2023春·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值；
(3)设实数使得对恒成立，写出的最大整数值，并说明理由.
33．（2023春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.
34．（2022春·北京·高二北理工附中校考期末）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：.
35．（2020·全国·高三专题练习）已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，，，证明：．
36．（2022·湖南常德·临澧县第一中学校考一模）已知函数，．
（1）若函数在处取得极大值，求实数的值；
（2）当时，若对，不等式恒成立，求实数的值．
37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)设在区间上的最小值为，求及的最大值．
38．（2023·广东·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．
39．（2023·北京朝阳·高三专题练习）已知函数.
(1)若，求的值；
(2)当时，
①求证：有唯一的极值点；
②记的零点为，是否存在使得？说明理由.
40．（2022·江西新余·统考二模）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)设为两个不等的正数，且（），若不等式恒成立，求实数的取值范围．