初中2 直角三角形课后练习题

这是一份初中2 直角三角形课后练习题，共8页。试卷主要包含了下列四句话中，正确的是，下列命题中是假命题的是等内容，欢迎下载使用。

（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．下列四句话中，正确的是（ ）
A．任何一个命题都有逆命题。 B．任何一个定理都有逆定理。
C．若原命题为真，则其逆命题也为真。 D．若原命题为假，则其逆命题也假。
2．一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么x为（ ）
A．13 B．5 C．13或5 D．无法确定
3．如图，∠BAC=90°，AB丄BC，则图中互余的角有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
4．下列命题中是假命题的是（ ）
A．△ABC中，若∠B=∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形
B．△ABC中，若a2=(b+c)(b﹣c)，则△ABC是直角三角形
C．△ABC中，若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形
D．△ABC中，若a：b：c=5：4：3，则△ABC是直角三角形
5．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）
A．25海里 B．30海里 C．40海里 D．50海里

第3题图 第5题图 第8题图 第9题图
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是_______________，这个逆命题是____命题．
7．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为_____________，此三角形的形状为____________.
8．如图，在6×6正方形网格（每个小正方形的边长为1cm）中，网格线的交点称为格点，△ABC的顶点都在格点处，则AC边上的高的长度为_____cm．
9．如图，棱长为1的正方体形盒中，一只蚂蚁从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，蚂蚁爬行的最短路程是________．
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．已知a，b，c为△ABC的三条边的长，且满足b2+2ab=c2+2ac.
(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)若a=6，b=5，求△ABC的面积.
11．小敏通过学习，知道了“在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”，她猜想这个命题的逆命题为“在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”．为了证明这个命题的正确性，她画出了如图所示的图形．她又结合图形把这个命题理解为“在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直角边BC的长等于斜边AB长的一半时，BC所对的锐角∠A的度数等于30°”．请你根据小敏的图形和理解，补全已知和求证，并完成证明．
已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ．
求证： ．
小敏把自己的猜想与数学小组的同学们进行了交流，经过充分交流、研讨，得出了以下两种想法：
想法一：取AB中点D，连结CD，利用直角三角形斜边中线的性质使问题得到解决；
想法二：沿AC翻折△ABC，得△ADC，构造特殊的三角形，使问题得到解决．
请选择其中一种想法，帮助小敏完成解答过程．
12．如图，已知RtΔABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，AB=6cm.点P在线段AC上以1cm/s的速度由点C向点A运动，同时，点Q在线段AB上以2cm/s由点A向点B运动，设运动时间为t(s).
（1）当t=1时，判断ΔAPQ的形状（可直接写出结论）；
（2）是否存在时刻t，使ΔAPQ与ΔCQP全等？若存在，请求出t的值，并加以证明；若不存在，请说明理由；
（3）若点P、Q以原来的运动速度分别从点C、A出发，都顺时针沿ΔABC三边运动，则经过几秒后（结果可带根号），点P与点Q第一次在哪一边上相遇？并求出在这条边的什么位置.
试题解析
2．C
【解析】分类讨论当3为斜边时和x为斜边时,利用勾股定理列出等式即可解题.
解：当3为斜边时,
32=22+x2,解得：x=5,
当x为斜边时,
x2=32+22,解得：x=13,
∴x为13或5,
故选C.
3．C
【解析】根据在直角三角形中两锐角互余，得到互余的角.
解: 由∠BAC=90°可得∠B+∠C=90°①；∠BAD+∠CAD=90°②；再由AD⊥BC，可得∠BDA=∠CDA=90°，所以∠B+∠BAD=90°③；∠C+∠CAD=90°④．所以图中互余的角共4对．
故答案为：C．
4．C
【解析】有一个角是直角的三角形是直角三角形，两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，逐一分析即可．
解：A、∠B+∠A=∠C，所以∠C=90°，所以△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．
B、若a2=（b+c）（b-c），所以a2+c2=b2，所以△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．
C、若∠A：∠B：∠C=3：4：5，最大角为75°，故本选项符合题意．
D、若a：b：c=5：4：3，则△ABC是直角三角形，故本选不项符合题意．
故选：C．
5．C
【解析】首先根据路程=速度×时间可得AC、AB的长，然后连接BC，再利用勾股定理计算出BC长即可．
解：连接BC，
由题意得：AC=16×2=32（海里），AB=12×2=24（海里），
CB=AC2+AB2=40（海里），
故选C．
6．如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形；真
【解析】等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形，这个逆命题是真命题．
故答案为：如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形； 真
7．6米，8米，10米 直角三角形
【解析】根据题意三边长为三个连续偶数，可设三边分别为：n-2，n，n+2，然后根据周长为24，列出关系式即可求出三边的长，然后由勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状为直角三角形．
解：根据题意得：设三边分别为：n-2，n，n+2，
则n-2+n+n+2=24，
解得：n=8，
所以n-2=6，n+2=10，
所以三边长分别为：6，8，10；
∵62+82=102，
∴此三角形的形状是直角三角形．
故答案是：6米，8米，10米；直角三角形．
8．22
【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC的长度，然后利用等面积法求得AC边上的高的长度.
解：如图，在Rt△ABC中，AB＝4cm，BC＝4cm，
由勾股定理知，AC＝AB2+BC2=42+42=42．
设AC边上的高的长度为hcm，则12AB•BC＝12AC•h，
∴h=AB⋅BCAC=4×442=22（cm）．
故答案是：22．
9．5
【解析】由题意可知，蚂蚁从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，将正方体盒展开，构成一个直角三角形，由勾股定理即可求得AB的长.
解：如图，
∵AB=22+12=5，
∴蚂蚁爬行的最短路程是5.
故答案为：5.
10．(1)△ABC是等腰三角形，理由见解析；(2)12.
【解析】（1）由已知条件得出b2-c2+2ab-2ac=0，用分组分解法进行因式分解得出（b-c）（b+c+2a）=0，得出b-c=0，因此b=c，即可得出结论；
（2）作△ABC底边BC上的高AD．根据等腰三角形三线合一的性质得出BD=DC=12BC=3，利用勾股定理求出AD=AB2-BD2=4，再根据三角形的面积公式即可求解．
解：(1)△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵a，b，c为△ABC的三条边的长，b2+2ab=c2+2ac，
∴b2﹣c2+2ab﹣2ac=0，因式分解得：(b﹣c)(b+c+2a)=0，
∴b﹣c=0，
∴b=c，
∴△ABC是等腰三角形；
(2)如图，作△ABC底边BC上的高AD.
∵AB=AC=5，AD⊥BC，
∴BD=DC=12BC=3，
∴AD=AB2-BD2=4，
∴△ABC的面积=12BC•AD=12×6×4=12.
11．BC=12AB；∠A=30°
【解析】想法一：根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到 CD=AD=BD=12AB．根据已知条件BC=12AB，得到CD=BD=BC．求出∠B=60°．即可求出∠A的度数,
想法二：沿AC翻折△ABC，得△ADC，根据折叠的性质得到△ABC≌△ADC．判定BD=AB=AD，得到∠B=60°．即可求出∠A的度数,
解：想法一证明：取AB中点D，连结CD．
∵∠ACB=90°，
∴CD=AD=BD=12AB．
∵BC=12AB，
∴CD=BD=BC．
∴∠B=60°．
∴∠A=30°．
想法二证明：沿AC翻折△ABC，得△ADC，
∴△ABC≌△ADC．
∴BC=CD，AB=AD，∠ACD=∠ACB=90°,
∴∠ACB+∠ACD=180°．
∴D，C，B三点在同一条直线上．
∵BC=12AB，
∴BD=AB=AD，
∴∠B=60°．
∴∠BAC=30°．
12．（1）ΔAPQ是等边三角形，证明见解析；（2）存在时间t，使ΔAPQ和ΔCPQ全等，时间t=1.5s；证明见解析；（3）经过(6+33)秒点P与点Q第一次在边BC上距C点3cm处相遇.
【解析】（1）分别求出AP、AQ的长，根据等边三角形的判定推出即可；
（2）根据全等的条件和已知分别求出AP、CP、AQ、CQ的长，根据全等三角形的判定推出即可；
（3）根据勾股定理求出BC，根据已知得出方程2t-t=AB+BC，求出t的值即可．
解：（1）ΔAPQ是等边三角形，证明如下：
∵t=1，
∴AP=3-1×1=2，AQ=2×1=2，
∵∠A=60∘，
∴ΔAPQ是等边三角形；
（2）存在t，使ΔAPQ和ΔCPQ全等，
∵点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，
∴当t=1.5s时，AP=PC=1.5cm，AQ=3cm，
∴AQ=AC，
又∵∠A=60∘，
∴ΔACQ是等边三角形，
∴AQ=CQ，
在ΔAPQ和ΔCPQ中AQ=CQAP=CPPQ=PQ ，
∴ΔAPQ≅ΔCPQ，
即存在时间t，使ΔAPQ和ΔCPQ全等，时间t=1.5s；
（3）在RtΔABC中，BC=AB2-AC2=62-32=33，
由题意得：2t-t=AB+BC，即t=6+33，
∴点P运动的路程是(6+33)cm，
∵3+6<6+33<3+6+33，
∴第一次相遇在BC边上，又(9+33)-(6+33)=3，
∴经过(6+33)秒点P与点Q第一次在边BC上距C点3cm处相遇.