人教版数学 八年级上册 寒假能力提升练习题

这是一份人教版数学 八年级上册 寒假能力提升练习题，共52页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一讲—分式及其运算 ……………………2
第二讲—分式方程 …………………………6
第三讲—二次根式 …………………………9
第四讲—一元一次不等式(组) ……………13
第五讲—勾股定理与逆定理的应用 ………18
第六讲—解直角三角形与最短路径问题 …24
第七讲—角平分线的性质、判定与模型……28
第八讲—等腰三角形与直角三角形(1)……32
第九讲—等腰三角形与直角三角形(2)……36
第十讲—全等三角形(1)……………………40
第十一讲—全等三角形(2)…………………44
第十二讲—平行四边形的性质及应用 ……48
第一讲 分式及其运算
一、选择题
1．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．计算所得结果是（ ）
A． B． C． D．2
3．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
4．如果，那么代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则下列三个等式：①，②，③中，正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．化简，其结果是（ ）
A． B． C． D．
7．如果，那么代数的值是（ ）
A．2 B． C． D．
8．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，则代数式的值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
10．化简等于（ ）
A． B． C． D．
11．化简：的结果为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
1．代数式有意义，则实数的取值范围是_______________.
2．计算：=____________ ．
3．要使代数式有意义，则x的取值范围是_____________. ．
4. 在函数中，自变量x的取值范围是______________ ．
5．化简：__________．
6．若，b互为倒数，代数式的值为_________ ．
7．若，则_________．
三、解答题
1．化简：(1) (2) ．
2．先化简，再求值：，其中．
3．先化简，再求值：，其中从0，1，2，3四个数中适当选取．
中考试题
1. （2017）化简求值：，其中
2. （2018）先化简，再求值：其中
3. （2019）先化简，再求值：，其中．
4．（2020）先化简，再求值：（xy−yx）•yx+y−1，其中x=2，y＝2．
5．先化简：，然后再从的范围内选取一个合适的的整数值代入求值．
第二讲 分式方程
一、选择题
1．分式方程的根为（ ）
A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．1或﹣3
2．如果解关于x的分式方程时出现增根，那么m的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4
3．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5cm3．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x元/cm3，根据题意列方程，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设乙每小时做x个，那么所列方程是（ ）
A． B． C． D．
5．若关于的方程与有一个解相同，则的值为（ ）
A．1 B．1或 C． D．或3
6．已知关于的分式方程的解是非负数，那么的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
7．一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为vkm/h，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
8．在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．关于的分式方程的解是______________ ．
10．分式与的和为，则的值为____________．
11．若关于的分式方程有增根，则实数的值是_____________ ．
12．甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程_______________________．
13．若关于的分式方程无解，则实数_______．
14．若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为 _______________ ．
三、解答题
15．解方程：．
16．为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．
（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；
（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．
中考试题
1. （2017）分式方程的解为___________
2．（2018）关于的分式方程解为，则常数的值为( D )
A、 B、 C、 D、
3．（2019）关于x的分式方程﹣＝0的解为（ ）
A．B．C．D．
4．关于的方程无解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
6．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
7．A，B两地相距180km，新修的高速公路开通后，在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h．若设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ）
A．x=4 B．x=5 C．x=6 D．x=7
9．分式方程的根是_______________ ．
10．某市为治理污水，需要铺设一段全长600m的污水排放管道，铺设120m后，为加快施工进度，后来每天比原计划增加20m，结果共用11天完成这一任务，求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设xm管道，那么根据题意，可列方程____________ ．
11．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是_____________ .
12．已知A，B两地相距160km，一辆汽车从A地到B地的速度比原来提高了25%，结果比原来提前0.4h到达，这辆汽车原来的速度是________ km/h．
第三讲 二次根式
一、选择题
1．下列说法中正确的是（ ）
A．8的立方根是±2
B．是一个最简二次根式
C．函数的自变量x的取值范围是x＞1
D．在平面直角坐标系中，点P（2，3）与点Q（，3）关于y轴对称
2．式子有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
3．若在实数范围内有意义，则x满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．下列式子为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列计算：（1），（2），（3），（4），其中结果正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．使代数式有意义的整数x有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题
11．若式子有意义，则x的取值范围是_____________ ．
12．计算的结果等于___________．
13．计算：__________．
14．计算：____________．
15．若，则________．
16．实数，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简_________.
17．在数轴上表示实数的点如图所示，化简_________ ．
三、解答题
18．计算：．
19．计算：．
20．计算：．
中考试题
1．（2019）（ ）
A． B．4C．D．
2．（2020）下列不等式错误的是（ ）
A．B． C．D．
3．（2020）计算23×(8+2)的结果是 ．
4．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1下列二次根式中，5．与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在函数中，自变量x的取值范围是____________．
8．计算：_____________ ．
9．计算__________ ．
10．计算：___________ ，____________．
11．实数、在数轴上对应点的位置如图所示，化简___________.
12．计算： ．
第四讲 一元一次不等式（组）
一、选择题
1．已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（ ）
A．a＞b B．a+2＞b+2 C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b
2．不等式组的非负整数解的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
B
C
D
A
3．一元一次不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
4．关于x的不等式组无解，那么m的取值范围为（ ）
A．m≤﹣1 B．m＜﹣1 C．﹣1＜m≤0 D．﹣1≤m＜0
5．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过
3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买（ ）
A．16个 B．17个 C．33个 D．34个
6．已知关于x的分式方程的解是非负数，那么的取值范围是（ ）
A．＞1 B．≥1 C．≥1且≠9 D．≤1
7．若实数3是不等式的一个解，则可取的最小正整数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
8．不等式组的整数解是____________________ ．
9．若关于的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是_____________．
10．若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为______________．
11．若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是_____________．
12．若不等式组的解集是，则的取值范围是___________ ．
三、解答题
13．解不等式组：,并把解集表示在数轴上．
14．求不等式组的整数解．
15．已知关于的不等式组恰好有两个整数解，求实数的取值范围．
16．为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．
（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；
（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．
中考试题
1. （2017）已知实数满足，则下列选项错误的为（ ）4
B . C. D.
2. （2018）下列哪个选项中的不等式与不等式组成的不等式组的解集为.( )
A、 B、 C、 D、
3．（2019）若a为有理数，且2﹣a的值大于1，则a的取值范围为__________.
4．（2020）下列哪个数是不等式的一个解？（ ）
A．B． QUOTE −12 C． QUOTE 13 D．
5．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．不等式组的解集为（ ）
A．x≤2 B．x＜4 C．2≤x＜4 D．x≥2
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．不等式组：的最大整数解为（ ）
A．1 B． C．0 D．
9．当满足时，方程的根是（ ）
A． B． C． D．
10．不等式组的解集是________________ ．
11．解不等式组：，并不等式的解集表示在数轴上．
12．为加强中小学生安全和禁毒教育，某校组织了“防溺水、交通安全、禁毒”知识竞赛，为奖励在竞赛中表现优异的班级，学校准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），购买1个足球和1个篮球共需159元；足球单价是篮球单价的2倍少9元．
（1）求足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共20个，但要求购买足球和篮球的总费用不超过1550元，学校最多可以购买多少个足球？
第五讲 勾股定理与逆定理的应用
模块一：勾股定理及证明
1．勾股定理：
如果直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边为c，那么．
即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
注：勾——较短的边、股——较长的直角边、弦——斜边．
2．勾股定理的证明：
（1）弦图证明

内弦图 外弦图

∴ ∴
（2）“总统”法（半弦图）
如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：

∴
3．勾股数：
满足的三个正整数，称为勾股数．
（1）3、4、5；6、8、10；9、12、15；12、16、20；15、20、25等．
（2）是组勾股数，则（k为正整数）也是一组勾股数.
（3）3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；11、60、61等
（4），，（n为大于1的自然数）
（5），，（，且m和n均为正整数）
模块二：勾股定理逆定理及应用
1．勾股定理的逆定理：
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么前两边的夹角一定是直角．即在中，如果，那么是直角三角形．
2．勾股定理的常见题型．
勾股证明的方法成百上千种，其中《几何原本》中的证法非常经典，是在一个我们非常熟悉的几何图形中实现的（如图所示），如果直角三角形ABC的三边长为a，b，c（c为斜边），以这三边向外作三个正方形，试利用此图证明．


练习：如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角
三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D
的面积之和为__________.
（1）若把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ）．
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
（2）若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为________．
（3）下面几组数：①7，8，9；②12，9，15；③，,2mn（m，n均为正整数，）；④，，．其中能组成直角三角形的三边长的是（ ）．
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
在中，，，．若，如图1，根据勾股定理，则．若不是直角三角形，如图2， ；如图3，．请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论．
图1
图2
图3

（1）如果直角三角形的两边长为4、5，则第三边长为________．
（2）如果直角三角形的三边长为10、6、x，则最短边上的高为________．
（3）若，则以、为边的直角三角形的第三边为________．

在中，，，高，求的周长．
如图，四边形ABCD中，，，，，，求四边形ABCD的面积．

练习：如图，在四边形ABDC中，，，，，，求该四边形面积．

（1）如图，梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE位置，BD长0.5米，则梯子顶端A下落了________米．
第1题图
第3题图


（2）梯子靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端向外移动到C，使梯子底端C到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至D，那么BD（ ）
A．等于1米 B．大于1米 C．小于1米 D．以上结果都不对
（3）如图，梯子AB斜靠在墙面上，，，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯子B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不确定

（1）若直角三角形斜边长为4，周长为，则三角形面积等于________．
（2）如图， 在中，，于点D，若，，请求出的周长．

（1）如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果， ，求EC的长．
练习：（1）如图1，长方形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在处， 交AD于E，，，求DE的长度．

（2）如图2，长方形形纸片ABCD的长，宽，沿EF将其折叠，使点D与点B重合，求折痕EF的长．

若，且，求：的最小值．
1.已知a，b，c是三角形的三边长，，，（n为大于1的自然数），试说明为直角三角形．
2.如图，四边形ABCD中，，，，，
且，则四边形ABCD的面积是（ ）cm2．
A．336 B．144 C．102 D．无法确定
3.如图，一根长5米的竹篙AB斜靠在与地面垂直的墙上，顶端A距离墙根4米，若竹篙顶端A下滑1米，则底端B向外滑行了多少米？
5.(1)在中, ，，高，则_______．
(2)如图，在中，，于点D，若，，求的周长．



第六讲 解直角三角形与最短路径问题
一、解直角三角形
1．直角三角形中的特殊线：
2．特殊直角三角形的三边关系：
3．基本图形（方法：作垂线构造含特殊角的直角三角形）


4．解题技巧
解含特殊角的斜三角形，方法是作高，利用特殊角构造直角三角形. 并且应注意以下问题：①作高时不能破坏已知的特殊角（、、、、、）；②作高时注意判断三角形是锐角、钝角还是直角三角形，尤其对于无图题，须讨论高线在三角形内部和外部的情况. 注意高线是否在三角形内部．
二、最短路径问题：
将立体图形适当地展开成平面图形后，利用两点之间线段最短的原理，用勾股定理计算，并比较得出最短路径长度．
探究下列三角形三条边长之间的关系．
（1）中，，；（2）中，，．
图1
图2
（1）如图1，在中，,，，则________．

（2）如图2，中，，点D在AC上，已知，， ，则________．
图1
图2
图3
（1）如图1所示，已知在中，，，，则________， ________．

（2）如图2，在中，，，，则________．
（3）在中，，，，那么________．
（2）如图3，在中，，，，求的长度．

如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，，，，，．求AC长和四边形ABCD的面积．
图1
图2
（1）如图1，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是_________．

（2）如图2，长方体的长、宽、高分别是8cm，2cm，4cm，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路径长为_________．
如图所示，圆柱形纸杯高8cm，底面周长为12cm，在纸杯内壁离杯底2cm的点C处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在纸杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_________．
图1
图2
图3
（1）如图1，已知中，，，，，则DB的长为_______．
（2）如图2，在中，，，，，则AD的长为_______．
（3）已知：如图3，中，，，，求BC．
图4
图5
图6
（4）某楼梯的侧面视图如图4所示，其中，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为__________．
（5）如图5，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若，则折痕CE的长为（ ）．
A．B． C． D．6
（6）如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为h cm，则h的最小值为_________cm．
（7）如图，已知在四边形ABCD中，，，，
，求四边形ABCD的面积．

第七讲 角平分线的性质、判定与模型
模块一 角平分线的性质和判定
模块二 角平分线模型
模型I：角平分线加平行线必出等腰三角形(双平出等腰)．

模型II：角平分线加射影模型必出等腰三角形．
→

模型III：角平分线的中心思想是对称，关于角平分线对称，因此常见做辅助线的方法有以下三种．




（1）如图，在中，，AD是角平分线，，，，则__________．


（2）在中，，，，，若点P是的三条角平分线的交点，则点P到边BC的距离是_____________．
（1）证明：三角形三个角的角平分线交于一点．


（2）如图，的外角一平分线CP和内角平分线BP相交于点P，若，则____________．


图1
图2
图3
（1）如图1，在中，BD、CD分别平分和，∥，∥．如果，则的周长为__________．

（2）如图2，的平分线与的外角平分线相交于点D，过点D作EF//BC，交AB于E，交AC于F，若，，则________．
（3）如图3，的内角和外角的平分线相交于点E，BE交AC于点F，过点E作EG//BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，有以下结论：①；②≌；③；④，其中正确的结论有_____________（只填序号）

图1
图2
（1）如图1，在中，，于点D，的平分线BE交AD于F，交AC于E，若，，则_____________．

（2）如图2，已知：在中，，于D，的角平分线交AD与F，交AB于E，∥交AB于G．，，则__________，__________．

已知OM是的平分线，点是射线上一点，点C、D分别在射线OA、OB上，连接PC、PD．
（1）发现问题
如图①，当，时，则PC与PD的数量关系是________．
（2）探究问题
如图②，点C、D在射线OA、OB上滑动，且∠AOB=90°，∠OCP＋∠ODP=180°，当时，PC与PD在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由．



（1）如图，的周长是，OB，OC分别平分和，于D，且，求的面积．

（2）如图，的、的外角平分线交于点D．
求证：AD是的平分线．



图1
图2
（3）如图1，在中，和的平分线交于点E，过点E作∥交于，交于，若，则线段的长为_____．
（4）如图2，平分，平分外角．∥交于，交于．线段与、有什么关系?
（7）如图，中，，，平分交于点．
求证：．

第八讲 等腰三角形与直角三角形(1)
一、选择题
1．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
第2题图
第3题图
第4题图
第5题图
3．如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（ ）
A．BC B．CE C．AD D．AC
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．75°
6．如图，AB∥CD，E为CD上一点，射线EF经过点A，EC=EA．若∠CAE=30°，则∠BAF=（ ）
第6题图
第7题图
第8题图
A．30° B．40° C．50° D．60°
7．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，则下列判断不正确的是（ ）
A．△AEE′是等腰直角三角形 B．AF垂直平分EE'
C． D．△AE′F是等腰三角形
8．如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（ ）
A．∠ECD=112.5° B．DE平分∠FDC C．∠DEC=30° D．AB=CD
9．已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．
第10题图
第11题图
第12题图
第13题图
11．如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（ ）
A．2 B． C． D．
13．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
第14题图
第15题图
第15题图
14．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
16．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
17．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（ ）
A． B．4 C．4.5 D．5
第19题图
第18题图
第17题图
18．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=60°，AD=1，BC=2，则四边形ABCD的面积是 （ ）
A． B．3 C． D．4
二、填空题
19．如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF=2，DE=8，则AB的长为________．
20．如上右图，点A、B、C在格点图中的位置如图5所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是____________ ．
21．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是__________ 尺．
第21题图
第22题图
第23题图
22．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为__________ 度．
23．如图，已知OB=1，以OB为直角边作等腰，再以为直角边作等腰，如此下去，则线段___________．
第24题图
第25题图
第26题图
24．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为____________ ．
25．如图，在△ABC中，AB=AC=，∠BAC=120°，点D、E都在边BC上，∠DAE=60°．若BD=2CE，则DE的长为___________ ．
26．在△ABC中，AB=6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME=DM．当AM⊥BM时，则BC的长为__________．
27．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ABC的顶角的度数为__________ ．
第28题图
28．如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为_________________．
第九讲 等腰三角形与直角三角形(2)
1．在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点 P分别作 PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分别为垂足．
（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；
（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．
2．如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB．AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
3．在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．
（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．
（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．
4．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．
（1）求证：BD=CE；
（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；
5．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与线段CA相交于点Q．且AP=AQ.
求证：△BPE≌△CQE；
6．在△ABC中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．
（1）如图1，若AB=，BC=5，求AC的长；
（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．
7．已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．
（1）如图1，求证：AE=BD；
（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．
8．已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．
（1）如图①所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；
（2）如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．
第十讲 全等三角形（1）
一、选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
第1题图
第2题图
第3题图
A．15 B．30 C．45 D．60
2．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（ ）
A．BO=OH B．DF=CE C．DH=CG D．AB=AE
3．如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE=4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点．若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为（ ）
A．3 B． C． D．4
4．如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）
A．∠A=∠D B．BC=EF C．∠ACB=∠F D．AC=DF
第4题图
5．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，网格中三个多边形（分别标记为①，②，③）的顶点都在网格上，被一个多边形覆盖的网格线中，竖直部分线段长度之和为m，水平部分线段长度之和为n，则这三个多边形满足m=n的是（ ）．
A．只有② B．只有③ C．②③ D．①②③
第5题图
第6题图
第7题图

6．如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD
7．如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（ ）
A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=OD C．∠OPC=∠OPD D．PC=PD
8．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CE=2DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③EG=DE+BG；④AG∥CF；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
第8题图
第9题图
第10题图
第11题图
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（ ）
A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．
10．如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（ ）
A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB
第12题图
11．如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（ ）
A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE
12．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，
那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB=DE B．AC=DF
C．∠A=∠D D．BF=EC
13．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（ ）
第13题图
第14题图
第15题图
第16题图
A．8 B．6 C．4 D．2
14．如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
15．如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（ ）
A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD
16．如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E为CD上一点，且∠BAE=45°．若CD=4，则△ABE的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
17．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是_______________ ．
第17题图
第18题图
第19题图
18．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB=2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF=90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是___________ （用含m的代数式表示）
19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为E点，请任意写出一组相等的线段_____________ ．
20．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③，其中正确结论是_____________ （填序号）
第20题图
21．如图，AD和CB相交于点E，BE=DE，请添加一个条件，使△ABE≌△CDE（只添一个即可），你所添加的条件是_______________ ．
第23题图
第22题图
第21题图
22．如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，则∠AOB的度数为______________ ．
23．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH=___________ ．
24．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论：
①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC．
其中所有正确结论的序号是________________ ．
第27题图
第25题图
第24题图
第26题图
25．如图，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是______________．
26．如图，∠BAC=45°，AB=8，要使满足条件的△ABC惟一确定，那么BC的长度x的取值范围是 ________________ ．
27．如图，在△ABC中，AB=AC=，∠BAC=120°，点D、E都在边BC上，∠DAE=60°．若BD=2CE，则DE的长为______________ ．
三、解答题
28．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．
（1）求证：AC=CD；
（2）若AC=AE，求∠DEC的度数．
第十一讲 全等三角形（2）
1．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE．
2．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．
（1）求证：AC∥DE；
（2）若BF=13，EC=5，求BC的长．
3．已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB叫AE的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若∠DCF=120°，DE=2，求BC的长．
4．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是了AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：AF=BE．
5．如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1=42°，求∠BDE的度数．
6．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是AC上一点，连接BE．
（1）如图1，若AB=，BE=5，求AE的长；
（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF=DF时，求证：DC=BC．

7．已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求证：．
8．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：DE=DF．
9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AD=，∠DAC=30°，求AC的长．
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=AD，DG=DC，E，F分别是BG，AC的中点．
（1）求证：DE=DF，DE⊥DF；
（2）连接EF，若AC=10，求EF的长．
第十二讲 平行四边形的性质及应用
一、平行四边形的定义和表示：
二、平行四边形的性质：
（1）如图1，□的周长为20cm，AE平分，若，则AB的长度是______．
图3
图4
图1
图2
（2）如图2，□与□的周长相等，且，，则的度数为________．





（3）如图3，□的对角线AC、BD相交于O点，点E、F分别是线段AO、BO的中点，若， 的周长为，则______．
（4）如图4，在□中， ，， 于点E，则________．
反思：
如图，□中，P是四边形内任意一点，，，，的面积分别为，，，，则一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
（1）如图，□中，平行于边的两条线段EF，GH把□分成四部分，分别记这四部分的面积为，，，，则下列等式一定成立的是（ ）．
A．B．
C．D．
（2）现有如图的铁片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助师傅设计三种不同的分割方案．

在□中， 于E，DF平分交线段AE于F．
（1）如图1，若，，请直接写出线段CD与之间所满足的关系；
图1
图2
（2）如图2，若，你在（1）中得到的结论是否仍然成立，若成立，对你的结论加以证明． 若不成立，请说明理由．







如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边BD延长线上一点，连接AC、CE，使AB=AC．
（1）求证：≌；
（2）若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE的面积．
1．在□中，若周长为54cm，，则_______cm．
2．在平行四边形ABCD中，，则（ ）．
A． B．C． D．
3．如图，在平行四边形ABCD中，点、、、和、、、分别为AB和CD的五等分点，点、和、分别是BC和DA的三等分点，已知四边形的面积1，则平行四边形ABCD面积为（ ）．
第5题图
A．2 B． C． D．
第4题图
第3题图

4．如图，在□中，，F是AD的中点，作，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是________．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①； ②； ③； ④．
5．如图，在□中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F．已知，，；则__________，__________．
6．如图，再平行四边信不过ABCD中，E、F分别十AB、CD上的点，且角DAF=角BCE
7．如图，在□中，分别是上的点，且∠
（1）求证：；
（2）若，，的平分线交与，交于，求的度数．
知 识 点
课标要求
分式概念
整式A除以整式B，可以表示成的形式，除式B中含有字母，称为分式．
若B≠0，则有意义；若B=0，则无意义；若A=0且B≠0，则＝0．
分式的基本性质及应用
1．分式的基本性质
熟练掌握，特别是乘或除以的数不能为0
2．分式的变号法则
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．
3．分式的约分、通分
通分与约分的依据都是分式的基本性质
4．最简分式
分子与分母没有公因式
分式运算
1．分式的加减法
异分母的分式相加减，要先通分，然后再加减
2．分式的乘除法、乘方
熟练应用法则进行计算
3．分式的混合运算
应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．
知 识 点
考标要求
分式方程 的有关概念
1．分式方程
会识别分式方程．
2．分式方程的增根
会识别分式方程的增根．
分式方程的解法
步骤
会解分式方程．
分式方程的应用
由实际问题抽象出分式方程
要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系．
最后要检验结果是不是合理．
知 识 点
课标要求
二次根式的有关概念
1．二次根式：式子 叫做二次根式．
二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0.
2．最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；
（2）被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.
3．同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．
先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关．
二次根式的性质
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
要熟练掌握被开方数是非负数
二次根式的运算
（1）二次根式的加减法：合并同类二次根式
（2）二次根式的乘除法
二次根式的乘法：
二次根式的除法：．
二次根式的加减法就是把同类二次根式进行合并；
二次根式的乘除法要注意运算的准确性．
知 识 点
考标要求
不等式（组）有关 的概念
1． 不等式的概念
会识不等式．
2． 不等式的解（集）
会识别一个数是不是不等式的的解（集）并会在数轴上表示．
3． 一元一次不等式（组）
会识别一元一次不等式（组）．
4． 不等式基本性质
会应用性质进行恒等变形．
不等式（组）的解法
步骤
会解不等式（组），并会表示解集．
不等式（组）的应用
由实际问题抽象出不等式（组）
要不等式（组），首先要根据题意找出存在的不等式关系．
最后要检验结果是不是合理．
“直角三角形斜边中线”
“直角三角形斜边高”
“等腰直角三角形”
“含和的直角三角形”
边的比：
边的比：
角平分线
解释
示例
性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
如图，若射线OC是的角平分线，则．
判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
如图，若，则OC是的角平分线．
知 识 点
考标要求
等腰三角形
等腰三角形的性质
理解等腰三角形的性质，并能解决等腰三角形的有关计算
等腰三角形的判定
掌握等腰三角形的判定方法，会证明一个三角形是等腰三角形
等边三角形
等边三角形的性质
理解等边三角形的性质
等边三角形的判定
掌握等边三角形的判定方法，会证明一个三角形是等边三角形
直角三角形
直角三角形的性质
理解直角三角形的有关性质
直角三角形的判定
掌握直角三角形的判定方法，会证明一个三角形是直角三角形
勾股定理
理解并掌握勾股定理及其逆定理
知 识 点
名师点晴
全等三角形
全等图形
理解全等图形的定义，会识别全等图形
全等三角形的判定
理解并掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，并会判定两个三角形全等
直角三角形的判定
会利用HL判定两个三角形全等
角平分线
角平分线的性质
理解并掌握角平分线的性质
角平分线的判定
利用角平分线的判定解决有关的实际问题
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（如图），记作“”．
平行四边形的表示：一般按一定的方向依次表示各顶点，如右图的平行四边形不能表示成，也不能表示成．
四边形ABCD叫做平行四边形
①平行四边形的对边平行且相等
四边形ABCD为平行四边形，．
②平行四边形的对角相等；
四边形ABCD为平行四边形，．
③平行四边形的对角线互相平分．
四边形ABCD为平行四边形，．
④平行四边形是中心对称图形，对称中心就是两条对角线的交点；连接四边上任意一点和平行四边形的对称中心，与另一条边相交于一点，则这两个点关于平行四边形的对称中心对称；并且这条线段将平行四边形面积分成相等的两部分．
四边形ABCD为平行四边形，E、F在AD，BC上，且线段EF过点；
．
⑤平行四边形中重要结论：
⑥平行四边形的面积
；
平行四边形面积=底高