黑龙江省哈尔滨市实验中学2023-2024学年高二（上）期末数学试题（含解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市实验中学2023-2024学年高二（上）期末数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学学科试题
考试时间：120分钟 总分：150分
一、单选题（每题5分）
1．已知抛物线方程为，则其准线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．对于事件，，下列命题不正确的是（ ）
A．若，互斥，则
B．若，对立，则
C．若，独立，则
D．若，独立，则
3．与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（ ）
A．B．C．D．
4．某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为，且，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（ ）
A．的数据较更集中
B．
C．甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于
D．
5．已知圆与圆，若与有且仅有一条公切线，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
6．五一期间，小丁，小赵，小陈，小吴四人计划到溧阳天目湖，金坛茅山，春秋乐园三地旅游，每人只去一个地方，每个地方至少有一人去，且小丁不去溧阳天目湖，则不同的旅游方案共有（ ）
A．18种B．12种C．36种D．24种
7．若双曲线与直线没有交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（每题5分，少选给2分，全选对得满分，选错不得分）
9．下列结论错误的是（ ）
A．过点，的直线的倾斜角为
B．若直线与直线垂直，则
C．直线与直线之间的距离是
D．已知，，点P在x轴上，则的最小值是6
10．2022年6月18日，很多商场都在搞促销活动.重庆市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：
用最小二乘法求得关于的经验回归直线是，相关系数，则下列说法正确的有（ ）
A．变量与负相关且相关性较强
B．
C．当时，的估计值为13
D．相应于点的残差为
11．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（），事件“零件为次品”，则（ ）
A．B．
C．D．
12．已知抛物线C：的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，下列说法正确的是（ ）
A．若AB中点M的横坐标为3，则的最大值为8
B．若AB中点M的纵坐标为2，则直线AB的倾斜角为
C．设，则的最小值为
D．若，则直线AB过定点
三、填空题（每题5分）
13．展开式中常数项为 .（用数字作答）
14．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为 .
15．已知，B是圆（F为圆心）上一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 .
16．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别是，，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是 ．
四、解答题（共70分）
17．已知圆经过和两点，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)从点向圆C作切线，求切线方程．
18．某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动活动后，为了解阅读情况，学校随机选取了几名学生，统计了他们的阅读量并整理得到以下数据（单位：本）：
男生：3，4，6，7，7，10，11，11，12；
女生：5，5，6，7，8，9，11，13．
假设用频率估计概率，且每个学生的阅读情况相互独立．
(1)根据样本数据，估计此次活动中学生阅读量超过10本的概率；
(2)现从该校的男生和女生中分别随机选出1人，记为选出的2名学生中阅读量超过10本的人数，求的分布列和数学期望；
(3)现增加一名女生得到新的女生样本．记原女生样本阅读量的方差为，新女生样本阅读量的方差为．若女生的阅读量为8本，写出方差与的大小关系．（结论不要求证明）
19．已知抛物线的焦点为，直线与C交于A，B两点．
(1)若的倾斜角为且过点F，求；
(2)若线段AB的中点坐标为，求的方程．
20．钱学森、华罗庚、李四光、袁隆平、钟南山分别是我国著名的物理学家、数学家、古生物学家、农学家、呼吸病学专家，他们在各自不同的领域为我国作出了卓越贡献.为调查中学生对这些著名科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名中学生，请他们列举这些科学家的成就，把能列举这些科学家成就不少于4项的称为“比较了解”，少于4项的称为“不太了解”.调查结果如下表：
（1）完成如下列联表，并判断是否有的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”；
（2）在抽取的100名中学生中，按照性别采用分层抽样的方法抽取一个10人的样本，从这个样本中随机抽取4人，记为这4人中女生的人数，求的分布列和数学期望.
附：
，.
21．“颗颗黑珠树中藏，此物只在五月有．游人过此尝一颗，满嘴酸甜不思归．”东魁杨梅是夏天的甜蜜馈赠．每批次的东魁杨梅进入市场前都必须进行两轮检测，只有两轮检测都通过才能进行销售，否则不能销售，已知第一轮检测不通过的概率为，第二轮检测不通过的概率为，两轮检测是否通过相互独立．
(1)求一个批次杨梅不能销售的概率；
(2)如果杨梅可以销售，则该批次杨梅可获利400元；如果杨梅不能销售，则该批次杨梅亏损800元（即获利元）．已知现有4个批次的杨梅，记4批次的杨梅（各批次杨梅销售互相独立）获利元，求的分布列和数学期望．
22．已知椭圆的短轴的一个顶点与两个焦点构成面积为的三角形，且点在上.
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，设是椭圆的左､右焦点，椭圆的一个内接平行四边形的一组对边分别过点和，求这个平行四边形的面积的取值范围.
参考答案与解析
1．D
【分析】利用抛物线方程直接求解准线方程即可．
【解答】因为抛物线的焦点在y轴正半轴上，
所以准线方程为.
故选：D．
2．D
【分析】根据对立事件，独立事件和互斥事件的性质，分别进行判断即可.
【解答】因为，互斥，互斥事件概率和在(0,1]区间，所以，故选项正确；
因为，对立，对立事件概率和为1，所以，故选项正确；
因为，独立，则,也相互独立，所以，故选项正确；
因为，独立，由独立事件的性质可知：二者同时发生的概率，由概率大于零可知：不一定成立，故选项错误；
所以命题不正确的是，
故选：.
3．B
【分析】根据求出双曲线的渐近线方程 ，从而得，由求得，从而求解.
【解答】由题意设双曲线方程为，因为的渐近线方程为，
所以得，又因为的焦点为，所以.
由，所以可得：，，故双曲线的方程为，故B项正确.
故选：B.
4．D
【分析】根据正态分布曲线的性质和特点求解.
【解答】对于A，Y的密度曲线更尖锐，即数据更集中，正确；
对于B，因为c与 之间的与密度曲线围成的面积 与密度曲线围成的面积 ，
，正确；
对于C， ， 甲种茶青每500克超过 的概率 ，正确；
对于D，由B知： ，错误；
故选：D.
5．D
【分析】由两圆有且仅有一条公切线，得到两圆内切，再求出结果即可.
【解答】圆可化为，圆心，半径；
圆可化为，圆心，半径；
因为与有且仅有一条公切线，所以两圆内切，
所以，即，解得.
故选：D
6．D
【分析】利用分类加法计数原理，分小丁单独旅游与小丁与他人一起旅游两种情况，根据分组分配的解题思路，可得答案.
【解答】第一种情况：当小丁独自去旅游，从金坛茅山、春秋乐山中选一个，其方法数为；
小赵、小陈、小吴三人去另外两个地方旅游，利用分组分配的思路，可得方法数为；
则该情况下，总的方法数为.
第二种情况：当小丁与他人组队去旅游，再从金坛茅山、春秋乐山中选一个，其方法数为，
其他两人去另外两个地方，其方法数为，
则该情况下，总的方法数为.
故不同的旅游方法共有种.
故选：D.
7．C
【分析】由双曲线可得渐近线方程为，对于与双曲线无交点只需或，即可得，进而求离心率的范围.
【解答】由题设，双曲线渐近线方程为，要使直线与双曲线无交点，
则，即，而.
故选：C
8．C
【分析】设关于平分线的对称点为Q，结合角平分线的性质可得是正三角形，再运用椭圆定义求得，，根据三角形面积公式求的面积即可.
【解答】设椭圆的长半轴为，则
设关于平分线的对称点为Q，
由椭圆对称性及角平分线性质可知P，，Q三点共线且
又因为，所以是正三角形，
设，
由椭圆定义可得，，
又，
所以，
所以，即，，
所以的面积.
故选：C.
9．AD
【分析】A选项，求出直线的斜率，进而判断出倾斜角的大小；B选项，利用两直线垂直关系得到方程，求出a；C选项，利用两平行线间距离公式求出平行线间距离；D选，作出辅助线，利用对称思想求出最小值.
【解答】对于A，直线的斜率，设其倾斜角为，则，
由于在上单调递增，故，
故倾斜角小于，A错误；
对于B，由直线与直线垂直，得，
解得，B正确；
对于C，直线化为，
因此两平行直线的距离，C正确；
对于D，点关于x轴的对称点为，
连接交x轴于点，点是x轴上任意一点，

连接，
于是，
当且仅当点与重合时取等号，
因此，D错误.
故选：AD
10．ABD
【分析】根据相关性、相关系数判断A，利用样本中心点判断B，将代入回归直线方程判断C，求得时的估计值，进而求得对应的残差，从而判断D.
【解答】对A，由回归直线可得变量，线性负相关，且由相关系数可知相关性强，故A正确；
对B，由题可得，，
故回归直线恒过点，故，即，故B正确；
对C，当时，，故C错误；
对D，相应于点的残差，故D正确.
故选：ABD.
11．ACD
【分析】AB选项，根据题意可得到，，判断AB；C选项，根据全概率公式进行求解；D选项，根据贝叶斯公式进行计算.
【解答】AB选项，事件“零件为第i台车床加工”（ ），事件“零件为次品”，
则，，，
，，，故A正确，B错误；
C选项，
，故C正确；
D选项，，故D正确．
故选：ACD．
12．ABD
【分析】对于A：利用A，B，F三点的位置与的关系及抛物线的定义求的最大值；对于B：利用点A，B在抛物线上及直线的斜率公式，将斜率转化为A，B两点纵坐标间的关系；对于C：利用点A在抛物线上及两点间的距离公式，将转化为点A纵坐标的代数式，结合二次函数的性质求的最小值；对于D：设直线AB的方程，与抛物线方程联立，转化为关于点A，B纵坐标的一元二次方程，结合及一元二次方程根与系数的关系求解直线AB方程中的参数，确定直线AB所过的定点
【解答】设．
对于选项A：若AB中点M的横坐标为3，则，
可得，当且仅当A，B，F三点共线时，等号成立，
所以的最大值为8，故A正确；
对于选项B：若AB中点M的纵坐标为2，则，
由题意可知直线AB的斜率存在，则，
所以直线AB的倾斜角为，故B正确；
对于选项C：设，
则，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，故C错误；
对于选项D：设直线AB的方程，
代入抛物线，得，
则，可得，
因为，所以
，
因为，解得，满足，
则直线AB的方程为，所以直线AB过定点，故D正确．
故选：ABD．
13．54
【分析】根据的展开式的通项公式可求出结果.
【解答】展开式的通项为，
令，得，所以展开始得常数项为.
故答案为：.
14．2
【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可.
【解答】双曲线 的一条渐近线不妨设为: ,，
圆 的圆心 , 半径为2，
双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ，
可得圆心到直线的距离为，等式两边同时平方即有 ，
可得 ， 即 .
故答案为：2.
15．．
【分析】根据椭圆的定义求轨迹方程．
【解答】由题意，在线段的垂直平分线上，则，
所以，又，
所以在以为焦点，长轴长为2的椭圆上，
，，，则，
所以轨迹方程为．
故答案为：．
16．
【分析】根据椭圆和双曲线的定义、椭圆和双曲线的离心率公式，结合等腰三角形的性质，从而可得，进而可得到关于的表达式，构造函数，再根据函数在上的单调情况即可解得的取值范围．
【解答】设椭圆和双曲线的半焦距为，，，，
由于是以为底边的等腰三角形，
由，即有，，
由椭圆的定义可得，由双曲线定义可得，
则，，相减可得，
即，得，
所以，，
显然在上单调递增，
所以，
所以的取值范围是．
故答案为：．
【点拨】关键点点拨：根据题意得到，从而得到关于的表达式，构造函数，再根据函数在上的单调性是解答本题的关键．
17．(1)
(2)或
【分析】(1)根据弦的中垂线过圆心,联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解;(2)根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解.
【解答】（1）由题可知,所以线段的中垂线的斜率等于1，
又因为的中点为，
所以线段的中垂线的直线方程为，
即，
联立 解得 ，所以圆心
又因为半径等于,所以圆的方程为.
（2）设圆的半径为，则，
若直线的斜率不存在，因为直线过点，
所以直线方程为，
此时圆心到直线的距离，满足题意;
若直线的斜率存在，设斜率为，
则切线方程为，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，
解得，
所以切线方程为，即.
所以切线方程为或.
18．(1)
(2)分布列见解析；期望为
(3)
【分析】（1）根据样本数据统计超过10本的个数即可求解，
（2）根据乘法公式求解概率，进而得分布列，由期望公式即可求解，
（3）根据方差的计算公式即可求解.
【解答】（1）共选出了17名学生，其中有5人的阅读量超过10本，
所以此次活动中学生阅读量超过10本的概率为．
（2）由题意，从男生中随机选出1人其阅读量超过10本的概率为；
从女生中随机选出1人，其阅读量超过10本的概率为．
由题设，的可能取值为0，1，2．
且；
；
．
所以的分布列为：
的数学期望．
（3）．
理由：设原女生的8个阅读量分别为，
原女生阅读量的平均数为，新增一名女生后，平均数依然为8，
则
所以
19．(1)
(2)
【分析】（1）首先可得直线的方程，设，然后联立直线与抛物线的方程消元，然后可得的值，然后可得答案.
（2）利用点差法求出的斜率即可得答案.
【解答】（1）因为的倾斜角为，，
所以直线的方程为，
联立可得，
设，则，
所以；
（2）设，则，
所以，
因为线段AB的中点坐标为，所以，
所以，所以的斜率为，
所以的方程为，即.
20．（1）列联表见解析，没有的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”；（2）分布列见解析，1.6.
【分析】（1）依题意填写的列联表，根据公式求出，然后判断是否有的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”．
（2）求出抽取的女生人数，男生人数，可知的可能取值为0，1，2，3，4，求出概率，得到的分布列，然后求数学期望 ．
【解答】（1）依题意填写的列联表如下：
，
没有的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”.
（2）抽取的女生人数为（人），男生人数为（人）.
所以X的可能取值为，
则
.
因此X的分布列为
数学期望为.
【点拨】本题主要考查了离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立检验的应用，属于基础题．
21．(1)
(2)分布列见解析，640
【分析】（1）求一个批次杨梅不能销售的概率，可用对立事件来求解，即两轮检查都通过.
（2）每个批次杨梅销售情况相互独立且重复，基于此可快速利用独立事件的计算公式求出分布列,进而算出期望.
【解答】（1）记“一个批次杨梅不能销售”为事件A，
则，
所以一个批次杨梅不能销售的概率为.
（2）依据题意，X的取值为，，，400，1600，
，
，
，
，
，
所以X的分布列为：
22．(1)
(2)
【分析】（1）由题意列出方程租，解方程组即可得出答案；
（2）可设直线的方程为，联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理表示出的面积，椭圆的内接平行四边形的面积，再由基本不等式求解即可.
【解答】（1）由题意可知，解得
椭圆的方程为.
（2）易知直线的斜率不为0.由（1）得，故可设直线的方程为，
联立消去并整理，得，
显然恒成立，.
，
连接，
，
椭圆的内接平行四边形的面积.
令，则.
设，易知在上单调递增，
，故平行四边形的面积取值范围是.
【点拨】关键点拨：本题的关键点在于联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理表示出的面积，椭圆的内接平行四边形的面积，再由基本不等式求解即可.
90
95
100
105
110
11
10
8
6
5
0项
1项
2项
3项
4项
5项
5项以上
男生（人）
1
6
6
7
20
17
3
女生（人）
2
5
5
8
10
8
2
比较了解
不太了解
合计
男生
女生
合计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
0
1
2
比较了解
不太了解
合计
男生
40
20
60
女生
20
20
40
合计
60
40
100
X
0
1
2
3
4
P
X
400
1600
P