宁夏吴忠市吴忠中学2023-2024学年高二（上）期末数学试题（含解析）

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知双曲线的实轴长为，焦点为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．若向量，且，则实数的值为（ ）
A．1B．0C．D．
3．在等差数列中，若是方程的两根，则（ ）
A．1B．2C．3D．
4．已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．某校校庆日为每年5月4日，根据气象统计资料，这一天吹南风的概率为20%，下雨的概率为30%，吹南风或下雨的概率为35%，则既吹南风又下雨的概率为（ ）
A．6%B．15%C．30%D．50%
6．已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．-4D．4
7．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知点，．若直线上存在点P，使得，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．若，，，则事件与的关系错误是（ ）
A．事件与互斥B．事件与对立
C．事件与相互独立D．事件与既互斥又独立
10．若为圆：上任意一点，点，则的取值可以为（ ）
A．0.6B．2C．3.41D．3.42
11．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M，N两点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是
B．焦点到准线的距离是4
C．若点P的坐标为，则的最小值为5
D．若Q为线段MN中点，则Q的坐标可以是
12．如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，点为棱上一点，满足，下列结论正确的是（ ）
A．平面平面；
B．在棱上不存在点，使得平面
C．当时，异面直线与所成角的余弦值为；
D．点到直线的距离；
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知数列的前n项和，则数列通项公式为 .
14．圆与圆的公共弦所在直线方程为 .
15．已知某双曲线的渐近线方程为，且该双曲线过点，则该双曲线的标准方程为 ．
16．过点的直线与抛物线交于，两点，点在轴上方，若，则直线的斜率 .
四、解答题（本大题共6个题，17题10分，18-22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．已知圆C：.
(1)求实数m的取值范围；
(2)若直线l：与圆C相交于M、N两点，且，求m的值.
18．已知椭圆：过点 ，且短轴长为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求椭圆上点到直线：的最短距离
19．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且.
(1)求抛物线的方程，并写出焦点坐标；
(2)过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程.
20．如图，在四棱锥中，平面，．，E为的中点，点在上，且．

(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值；
21．与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及学生安全教育，某社区举办学生安全知识竞赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是．乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响，
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率：
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率
22．已知椭圆过点，点A为下顶点，且AM的斜率为．

(1)求椭圆E的方程；
(2)如图，过点作一条与y轴不重合的直线，该直线交椭圆E于C、D两点，直线AD，AC分别交x轴于H，G两点，O为坐标原点．证明：为定值，并求出该定值．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据题意设出双曲线的标准方程并列出关系式求解即可.
【解答】根据题意设双曲线的标准方程为：.
则，解得：.
所以双曲线的标准方程为.
故选：A
2．D
【分析】根据题意，得到，结合向量垂直的坐标运算，列出方程，即可求解.
【解答】由向量，可得，
因为，所以，解得.
故选：D.
3．A
【分析】根据等差数列的性质求得正确答案.
【解答】由于是方程的两根，
所以，即.
故选：A
4．A
【分析】利用抛物线准线方程得到，从而求得其标准方程，由此得解.
【解答】因为抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，设抛抛物线的标准方程为，
所以，得，故所求抛物线的标准方程为.
故选：A.
5．B
【分析】根据概率的加法公式即可求解.
【解答】记吹风为事件A，下雨为事件B,
因为，
所以既吹南风又下雨的概率为：，
故选：B.
6．A
【分析】设出交点代入椭圆方程，相减化简得到答案.
【解答】设弦与椭圆交于，，斜率为，
则，，相减得到，
即，解得.
故选：A.
7．C
【分析】由长度关系可得，知，在中，利用可构造齐次方程求得双曲线离心率.
【解答】
设，
为等边三角形，，，又，
，，，
，，
，解得：（舍）或，
双曲线的离心率为.
故选：C.
8．D
【分析】将问题化为直线与圆有交点，注意直线所过定点与圆的位置关系，再应用点线距离公式列不等式求k的范围.
【解答】由题设，问题等价于过定点的直线与圆有交点，
又在圆外，所以只需，可得.
故选：D
9．ABD
【分析】根据积事件概率不为零可确定与不互斥，不对立，可得ABD错误；根据独立事件概率公式可知C正确.
【解答】对于ABD，，事件与不互斥，不对立，ABD错误；
对于C，，，事件与相互独立，C正确.
故选：ABD.
10．ABC
【分析】利用配方法，结合圆的几何性质进行求解即可.
【解答】圆：化为标准方程得，
半径，，
所以的取值区间为．
故选：ABC

11．BD
【分析】根据抛物线方程即可判断AB；过点作垂直于准线，垂足为，根据抛物线得定义结合图象即可判断C；假设Q的坐标是，利用点差法求出直线的方程，再判断焦点是否在直线上，即可判断D.
【解答】由题意，焦点到准线的距离是，故A错误，B正确；
对于C，过点作垂直于准线，垂足为，
则，
当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为，故C错误；
对于D，假设Q的坐标是，设，
则，
由直线l交抛物线于M，N两点，
得，两式相减得，
即，
所以，即，
所以直线的方程为，即，
将代入得，
所以直线过点，符合题意，
所以Q的坐标可以是，故D正确.
故选：BD.

12．ACD
【分析】根据面面垂直的判定定理可判断A；由A的结论，可推得，即可知点到直线的距离即为的长度，计算求得长，判断D；采用平移法，作出异面直线与所成角，解三角形可求得与所成角的余弦值，判断C；结合C选项，根据线面平行的判定定理即可判断B.
【解答】A选项，因为平面，平面，平面，
所以，，
故即为与底面所成的角，即，
故，而，所以，
在直角梯形中，，
则，故，
又因为平面，所以平面，
因为平面 ，故平面平面，故A正确；
D选项：由A选项的证明过程可知：平面，
因为平面，所以，
故点到直线的距离即为的长度，
因为平面，平面，故，
而，
即点到直线的距离，故D正确；
对于C，当时，，即为的中点，
设为的中点，连接，
则，
而，故，
故四边形为平行四边形，则，
故异面直线与所成角即为的夹角，
在中，，
则，
则异面直线与所成角的余弦值为，C正确；
对于B，由C选项知，当时，，
因为平面，平面，
所以平面，
所以时，平面，故B错误.
故选：ACD.
13．
【解析】当n＝1时直接由Sn求出a1，当n≥2时由an＝Sn﹣Sn﹣1解得an，然后验证a1适合an得结论．
【解答】由，得
当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，，
验：当n＝1时，a1＝1，不符合上式．
∴数列的通项公式为．
故答案为：.
【点拨】易错点拨：在数列中，由求时，分当n＝1时和当n≥2时两种情况，易错当n＝1时的检验在n≥2时是否成立.
14．
【分析】判断两圆相交，将两圆方程相减即可求得答案.
【解答】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
则，则两圆相交，
故将两圆方程相减可得：，即，
即圆与圆的公共弦所在直线方程为，
故答案为：
15．
【分析】设双曲线方程为：，然后将点代入即可求解.
【解答】因为双曲线的渐近线方程为，所以该双曲线的方程可设为，
将点代入双曲线方程得，，所以：该双曲线的标准方程为．
故答案为：.
16．
【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及，可求答案.
【解答】设，直线
与抛物线联立得，即；
，
因为，所以，
所以，代入可得
即，，
所以
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）变换得到，确定，解得答案.
（2）圆心到直线的距离为，再根据计算得到答案.
【解答】（1）圆C：，即，
故，，即；
（2）圆心为，半径，圆心到直线的距离为，
，解得.
18．(1)
(2).
【分析】（1）根据题意得，椭圆且过点，从而求解.
（2）设出直线的平行线与椭圆相切时即可求出最小值，从而求解.
【解答】（1）由题意知，得，又点在椭圆上，所以，
所以椭圆的方程为.
（2） 不妨设与直线：平行的直线与椭圆相切，
联立，消去并整理得，
因为，解得，
当时，直线与直线的距离；
当时，直线与直线的距离，
因为，所以符合题意，故距离的最小值为.
【点拨】方法点拨：求椭圆上到直线：的最小距离可转化为与直线平行且与椭圆相切的直线，然后利用直线与椭圆的位置关系即可求解.
19．(1)，焦点为
(2).
【分析】（1）首先表示出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义及焦半径公式求出，即可求出抛物线方程；
（2）设直线的方程为，、，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由得到方程，解得即可.
【解答】（1）易知抛物线的准线方程为，
因为点在抛物线上，且，所以，解得，
所以抛物线方程为，焦点为.
（2）由（1）知抛物线的焦点，易知直线的斜率不为0，
不妨设直线的方程为，，，
联立消去并整理得，
此时，由韦达定理得，，
所以，
又，所以，，
因为，所以，
即，
可得，解得，
所以直线的方程为，即.
20．(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，进而证明出线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，求出两法向量的夹角余弦值，进而求出二面角的正弦值.
【解答】（1）因为平面，平面，
所以，
因为，，平面，
所以平面；
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
，E为的中点，点在上，且，
故，
设，由得，
解得，故，
设平面的法向量为，
则，
令，则，所以，
又平面的法向量为，
故，

故二面角的正弦值为.
21．(1)，
(2)
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可得到方程，解出即可；
（2）利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到答案.
【解答】（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，
则，，，
即，，
所以，，
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为，．
（2）有3个家庭回答正确的概率为
，
有2个家庭回答正确的概率为
，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
22．(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）根据椭圆所过的点和已知的AM的斜率列出方程组求解即可；
（2）设直线BC：，与椭圆方程联立，运用韦达定理得到C、D两点横坐标的关系，得到，代入直线方程和韦达定理化简即可得到答案.
【解答】（1）因为椭圆过点，，且AM的斜率为，
所以，
解得，，
所以椭圆E的方程为
（2）证明：由题意知，直线BC的斜率存在，设直线BC：，
设，，
由，得，
，得，
则，，
因为，直线AD的方程为，
令，解得，
则，同理可得，
所以
为定值，
所以为定值，该定值为